1、青辣椒考研试卷网 考研专业课特工！ - 1 - 青辣椒考研试卷网 考研专业课特工！ 电磁场 与电磁波（第四版） 课后答案 第一章 习 题 解答 1.1 给定三个矢量 A 、 B 和 C 如下： 23x y z A e e e4yz B e e 52xzC e e 求：（ 1）Aa；（ 2） AB；（ 3） AB；（ 4）AB；（ 5） A 在 B 上的 分量；（ 6）AC； （ 7） ()A B C 和 ()A B C ；（ 8） ()A B C 和 ()A B C 。 解 （ 1）2 2 223 1 2 31 4 1 4 1 41 2 ( 3 )x y zA x y z e e eAa
2、e e eA （ 2） AB ( 2 3 ) ( 4 )x y z y z e e e e e6 4 5 3x y z e e e（ 3） AB ( 2 3)x y ze e e ( 4 )yz ee 11 （ 4 ）由 cosAB 1 1 1 11 4 1 7 2 3 8 ABAB，得 1cosAB 11( ) 135.5238 （ 5） A 在 B 上的分 量 BA A cosAB 1117ABB（ 6） AC 1 2 35 0 2x y ze e e4 13 10x y z e e e （ 7）由于 BC 0 4 15 0 2x y ze e e8 5 20x y ze e e AB 1
3、 2 30 4 1x y ze e e10 1 4x y z e e e 所以 ()A B C ( 2 3)x y ze e e ( 8 5 2 0 ) 4 2x y z e e e ()A B C ( 1 0 1 4 )x y z e e e( 5 2) 42xz ee（ 8） () A B C 10 1 45 0 2x y z e e e2 40 5x y ze e e 青辣椒考研试卷网 考研专业课特工！ - 2 - 青辣椒考研试卷网 考研专业课特工！ () A B C 1 2 38 5 20x y ze e e55 44 11x y ze e e 1.2 三角形的三个顶点 为1(0,
4、1, 2)P 、2(4,1, 3)P 和3(6,2,5)P。 （ 1）判断 1 2 3PPP是否为一 直角三角形； （ 2）求三角形的面积。 解 （ 1）三个顶点1(0,1, 2)P 、2(4,1, 3)P 和3(6,2,5)P的位置 矢量分别为 1 2yzr e e，2 43x y z r e e e，3 6 2 5x y z r e e e则 1 2 2 1 4xz R r r e e， 2 3 3 2 28x y z R r r e e e， 3 1 1 3 67x y z R r r e e e由此可见 1 2 2 3 ( 4 ) ( 2 8 ) 0x z x y z R R e e
5、e e e故1 2 3PPP为一直角三角形。 （ 2）三角形的面积 1 2 2 3 1 2 2 31 1 1 1 7 6 9 1 7 . 1 32 2 2S R R R R1.3 求 ( 3,1,4)P 点到 (2, 2,3)P 点的距离矢量 R 及 R 的方向。 解 34P x y z r e e e， 2 2 3P x y z r e e e， 则 53P P P P x y z R r r e e e 且PPR与 x 、 y 、 z 轴的夹角分别为 11 5c o s ( ) c o s ( ) 3 2 . 3 135x P PxPP eRR 11 3c o s ( ) c o s (
6、) 1 2 0 . 4 735y P PyPP eRR 11 1c o s ( ) c o s ( ) 9 9 . 7 335z P PzPP eRR 1.4 给定两矢量 2 3 4x y z A e e e和 4 5 6x y z B e e e，求它们之间的夹角和 A 在 B 上的分量 。 解 A 与 B 之间的 夹角 为 11 31c o s ( ) c o s ( ) 1 3 12 9 7 7 AB ABABA 在 B 上的分量为 31 3 .5 3 277BA BA B 1.5 给定 两 矢量 2 3 4x y z A e e e和 64x y z B e e e，求 AB在x y
7、z C e e e上的分量。 解 AB 2 3 46 4 1x y ze e e13 22 10x y z e e e 所以 AB在 C 上的分量为 ()CAB ( ) 2 5 1 4 . 4 33 A B CC1.6 证明：如果 ABAC 和 AB AC，则 BC； 青辣椒考研试卷网 考研专业课特工！ - 3 - 青辣椒考研试卷网 考研专业课特工！ 解 由 AB AC，则有 ( ) ( ) A A B A A C，即 ( ) ( ) ( ) ( )A B A A A B A C A A A C 由于ABAC ，于是得到 ( ) ( )A A B A A C 故 BC 1.7 如果 给定一
8、未知 矢量与一已知矢量的标量积和 矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设 A 为 一已知矢量， pAX 而 P A X ， p 和 P 已知，试求 X 。 解 由 P A X ，有 ( ) ( ) ( ) ( )p A P A A X A X A A A X A A A X 故得 p A A PXAA1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由 2(4, ,3)3定出，求该点在：（ 1）直角坐标中的坐标；（ 2）球坐标中的坐标。 解 （ 1）在直角坐标系中 4 c o s ( 2 3 ) 2x 、 4 sin ( 2 3) 2 3y 、 3z 故 该点的直角坐标为 ( 2,2 3,3) 。 （ 2 ） 在
9、 球 坐 标 系 中 224 3 5r 、 1tan (4 3) 5 3 .1 、2 3 120 故 该点的球坐标为 (5,53.1 ,120 ) 1.9 用球坐标表示的场225r rEe， （ 1）求在直角坐标中点 ( 3,4, 5)处的 E 和xE； （ 2）求在直角坐标中点 ( 3,4, 5)处 E 与矢量 22x y z B e e e构成的夹角。 解 （ 1） 在直角坐标 中点 ( 3,4, 5)处， 2 2 2 2( 3 ) 4 ( 5 ) 5 0r ，故 225 12r rEe1 3 3 2c o s 2 2 052x x r xE e E E （ 2）在直角坐标中点 ( 3,4
10、, 5)处， 3 4 5x y z r e e e，所以 233 4 52 5 2 5 1 0 2x y zrr e e erE 故 E 与 B 构成的夹角为 11 19 ( 10 2 )c os ( ) c os ( ) 153 .632 EB EBEB1.10 球坐标中两个点1 1 1( , , )r 和2 2 2( , , )r 定出两个位置矢量1R和2R。证明1R和2R间夹角的余弦为 1 2 1 2 1 2c o s c o s c o s s i n s i n c o s ( ) 解 由 1 1 1 1 1 1 1 1 1s i n c o s s i n s i n c o sx
11、 y zr r r R e e e 2 2 2 2 2 2 2 2 2s i n c o s s i n s i n c o sx y zr r r R e e e 得到 1212cos RRRR 青辣椒考研试卷网 考研专业课特工！ - 4 - 青辣椒考研试卷网 考研专业课特工！ 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2s i n c o s s i n c o s s i n s i n s i n s i n c o s c o s 1 2 1 2 1 1 2 1 2s i n s i n ( c o s c o s s i n s i n ) c o s c o s 1 2 1 2 1
12、 2s i n s i n c o s ( ) c o s c o s 1.11 一球面 S 的半径为 5 ，球心在原点上，计算： ( 3sin ) drS eS的值。 解 ( 3 s in ) d ( 3 s in ) dr r rSS Se S e e2 2200d 3 s in 5 s in d 7 5 1.12 在由 5r 、 0z 和 4z 围成的圆柱形区域，对矢量 2 2rzA e e验证散度定理。 解 在 圆柱坐标系中 21 ( ) ( 2 ) 3 2r r z rr r z A所以 4 2 50 0 0d d d ( 3 2 ) d 1 2 0 0z r r r A 又 2d
13、( 2 ) ( d d d )r z r r z zSS r z S S S A S e e e e e4 2 5 220 0 0 05 5 d d 2 4 d d 1 2 0 0z r r 故有 d 1 2 0 0 A dSAS1.13 求（ 1）矢量 2 2 2 2 2 324x y zx x y x y z A e e e的散度；（ 2）求 A 对中心在原点的一个单位立方体的积 分；（ 3）求 A 对此立方体表面的 积分，验证散度定理。 解 （ 1） 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2( ) ( ) ( 2 4 ) 2 2 7 2x x y x y z x x y x y zx y
14、z A（ 2） A 对中心在原点的一个单位立方体的积分为 1 2 1 2 1 2 2 2 2 21 2 1 2 1 21d ( 2 2 7 2 ) d d d 24x x y x y z x y z A （ 3） A 对此立方体表面的积分 1 2 1 2 1 2 1 2221 2 1 2 1 2 1 211d ( ) d d ( ) d d22Sy z y z AS 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2112 ( ) d d 2 ( ) d d22x x z x x z 1 2 1 2 1 2 1 22 2 3 2 2 31 2 1 2 1 2 1 21
15、1 12 4 ( ) d d 2 4 ( ) d d2 2 2 4x y x y x y x y 故有 1d24 A dSAS1.14 计算矢量 r 对一个球心在原 点、半径为 a 的球表面的积分，并求 r对球体积的积分。 解 2 2300d d d s in d 4rSSS a a a r S r e 青辣椒考研试卷网 考研专业课特工！ - 5 - 青辣椒考研试卷网 考研专业课特工！ 又在球坐标系中， 221 ( ) 3rrrr r，所以 2 230 0 0d 3 s in d d d 4a r r a r 1.15 求矢量 22x y zx x y z A e e e沿 xy 平面上的
16、一个边长为 2 的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与 x 轴和 y 轴相重合。再求 A 对此回路所包围的 曲面积分，验证斯托克斯定理。 解 2 2 2 220 0 0 0d d d 2 d 0 d 8Cx x x x y y Al 又 2222x y zxzy z xx y zx x y z e e eA e e 所以 2200d ( 2 2 ) d d 8x z zSy z x x y A S e e e 故有 d8C Al dS AS1.16 求矢量 2xyx xyA e e沿圆周 2 2 2x y a的线积分， .再计算 A 对此圆面积的积分。 解 2d d dCC x x x y
17、 y Al2 42 4 2 20( c o s s in c o s s in ) d 4aaa d ( ) dy xzzSSA A Sxy A S e e2 42 2 200d s in d d 4aSay S r r r 1.17 证明：（ 1） 3R ；（ 2） R0；（ 3） ()A R A 。其中x y zx y z R e e e， A 为一常矢量。 解 （ 1） 3x y zx y z R（ 2） x y zx y zx y y e e eR0 （ 3）设 x x y y z zA A A A e e e，则 x y zA x A y A z AR ，故 ( ) ( ) ( )x
18、 x y z y x y zA x A y A z A x A y A zxy A R e e ()z x y zA x A y A zz e x x y y z zA A A e e e A 1.18 一径向矢量场 ()r frFe表示，如果 0F ，那么函数 ()fr 会有什么特点呢？ 解 在圆柱坐标系中，由 1d ( ) 0d rf rrr F可得到 青辣椒考研试卷网 考研专业课特工！ - 6 - 青辣椒考研试卷网 考研专业课特工！ ()Cfrr C为任意常数。 在球坐标系中，由 221d ( ) 0d r f rrr F可得到 2()Cfrr1.19 给定矢量函数xyyxE e e
19、，试求从点1(2,1, 1)P 到点 2(8,2, 1)P 的线积分 dEl：（ 1）沿抛物线 2xy ；（ 2）沿连接该两点的直线。这个 E 是保守场吗？ 解 （ 1） d d dxyCC E x E y El ddC y x x y2 221d ( 2 ) 2 dy y y y 2 21 6 d 14yy （ 2） 连接点 1(2,1, 1)P 到点 2(8,2, 1)P 直线方程为 2812xxyy 即 6 4 0xy 故 21d d d d ( 6 4 ) ( 6 4 ) dxyCCE x E y y y y y El 21(1 2 4 ) d 1 4yy 由此可见积分与路径无关，故是
20、保守场。 1.20 求标量函数 2x yz 的梯度及 在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量 3 4 55 0 5 0 5 0x y ze e e定出；求 (2,3,1) 点的方向导数值。 解 2 2 2( ) ( ) ( )x y zx y z x y z x y zx y z e e e222x y zx y z x z x ye e e 故沿方向 3 4 55 0 5 0 5 0l x y z e e e e的方向导数为 226 4 55 0 5 0 5 0l x y z x z x yl e点 (2,3,1) 处沿le的方向导数值为 3 6 1 6 6 0 1 1 25 0 5 0
21、 5 0 5 0l 1.21 试 采 用 与 推 导 直 角 坐 标 中yx zAA Ax y z A 相似的方法推导圆柱坐标下的公式 1 () zr A ArAr r r z A 。 解 在 圆柱坐标中，取小体积元如题 1.21 图所示。矢量场 A 沿re方向穿出该六面体的表面的通量为 r roxyr z 题 1.21 图 青辣椒考研试卷网 考研专业课特工！ - 7 - 青辣椒考研试卷网 考研专业课特工！ ( ) d d d dz z z zr r r r r rzzA r r r A r r ( ) ( , , ) ( , , ) rrr r A r r z r A r z z ( )
22、 ( )1rrr A r Arzr r r 同理 d d d dr r z z r r z zr z r zA r z A r z ( , , ) ( , , ) A r z A r z r z AArz r d d d dr r r rz z z z z zrrA r r A r r ( , , ) ( , , ) zzA r z z A r z r r z zzAAr r z 因此，矢量场 A 穿出该六面体的表面 的通量为 ()1rzrz Ar A A r r r z 故得到圆柱坐标下的散度表达式 0()1l im rzAr A Ar r r z A 1.22 方程 2 2 22 2 2x
23、 y zu a b c给出一椭球族。求 椭球表面上任意点的单位法向矢量。 解 由于 2 2 22 2 2x y zx y zu a b c e e e2 2 22 2 22 ( ) ( ) ( )x y zu abc 故椭球表面上任意点的单位法向矢量为 2 2 22 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )x y zu x y z x y za b c a b cu n e e e 1.23 现有三个矢量 A 、 B 、 C 为 s i n c o s c o s c o s s i nr A e e e 22s in c o s 2 s inrzz z r z B e e e 22(
24、 3 2 ) 2x y zy x x z C e e e （ 1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？ （ 2）求出这些矢量的源分布。 解 （ 1） 在球坐标系中 221 1 1( ) ( s i n )s i n s i nr Ar A Ar r r r A 青辣椒考研试卷网 考研专业课特工！ - 8 - 青辣椒考研试卷网 考研专业课特工！ 221 1 1( s i n c o s ) ( s i n c o s c o s ) ( s i n )s i n s i nrr r r r 2 c o s 2 s i n c o s c o ss i
25、n c o s 0s i n s i nr r r r 2sin1sinsinrrrrrrA rA r A e e eA 2s in1 0s ins in c o s c o s c o s s in s inr rrrrrr e e e故矢量 A 既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示； 在圆柱坐标系中 11() zr B BrBr r r z B= 2211( s i n ) ( c o s ) ( 2 s i n )r z z r zr r r z 22s i n s i n 2 s i n 2 s i nzz rrrr 2211 0si n c o s 2 si
26、 nr z r zrzr r z r r zB rB B z rz rz e e e e e eB 故矢量 B 可以由一个标量函数的梯度表示； 直角在 坐标系中 yx zCC Cx y z C= 22( 3 2 ) ( ) ( 2 ) 0y x x zx y z 22( 2 6 )3 2 2x y zz xyx y zy x x z e e eCe 故矢量 C 可以由一个矢量函数的旋度表示。 （ 2）这些矢量的源分布为 0A ， 0 A ； 2 sinr B= ， 0 B ； 0C ， (2 6 )z xy Ce 1.24 利用直角坐标，证明 青辣椒考研试卷网 考研专业课特工！ - 9 -
27、青辣椒考研试卷网 考研专业课特工！ ()f f f A A A 解 在直角坐标中 ( ) ( )yx z x y zAA A f f ff f f A A Ax y z x y z AA ( ) ( ) ( )yx zx y zAA Af f ff A f A f Ax x y y z z ( ) ( ) ( ) ( )x y zf A f A f A fx y z A 1.25 证明 () A H H A A H 解 根据 算子的微分运算性质，有 ( ) ( ) ( )AH A H A H A H 式中A表示只对矢量 A 作微分运算，H表示只对矢量 H 作微分运算。 由 ( ) ( ) a
28、 b c c a b，可得 ( ) ( ) ( )AA A H H A H A 同理 ( ) ( ) ( )HH A H A H A H故有 () A H H A A H 1.26 利用直角坐标，证明 ()f f f G G G 解 在直角坐标中 ( ) ( ) ( ) yyxxzzx y zGGGGGGff y z z x x y G e e e f G ( ) ( ) ( ) x z y y x z z y xf f f f f fG G G G G Gy z z x x y eee 所以 ff GG ( ) ( ) yzx z y GGffG f G fy y z z e ( ) ( )
29、 x zy x zG GffG f G fz z x x e ( ) ( ) y xz y xG GffG f G fx x y y e ()()yzx fGfGyz e () ()x zy fG fGzx e () ()y xz fG fGxy e ()fG 1.27 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义 下证明( ) 0u 及 ( ) 0 A ，试证明之。 解 （ 1）对于任意闭合曲线 C 为边界的任意曲面 S ，由斯托克斯定理有 ( ) d d d d 0S C C Cuu u l ul Sl 由于曲面 S 是任意的，故有 ( ) 0u 1n12C2S1S2n题 1.27 图 青
30、辣椒考研试卷网 考研专业课特工！ - 10 - 青辣椒考研试卷网 考研专业课特工！ （ 2）对于任意闭合 曲面 S 为边界的体积 ，由散度定理有 12( ) d ( ) d ( ) d ( ) dS S S A A S A S A S 其中1S和2S如题 1.27 图所示。由斯托克斯定理，有 11( ) d dSC A S A l， 22( ) d dSC A S A l 由题 1.27 图可知1C和2C是方向相反的同一回路，则有 12ddCCA l A l 所以得到 1 2 2 2( ) d d d d d 0C C C C A A l A l A l A l 由于体积 是任意的，故有 ( ) 0 A
