1、奥数网 奥数纲要1数学奥林匹克小学部分复习纲要一、速算与巧算1近整法99+1072分组法99+107+203+307+3033基准法346+353+339+327+3434定理法：一般说来，将一个整数拆成两部分（或两个整数） ，两部分的差值越小时，这两部分的乘积越大。5规律法I 3334=1122 333334=111222II 111111=12321 1111111111=123454321 111111=12221III 2525=625 3535=1225 4545=2025 5555=3025IV 111111111=123456799V 两个接近 100、1000的数相乘的速算两
2、个都略小于 100(或 1000、10000、. ) 的数相乘(积的位数等于两个乘数位数的和)：例如 9997=9603两个都略大于 100(或 1000、10000、. ) 的数相乘(积的位数等于两个乘数位数的和-1)：例如 102105=10710一个略大于 100(或 1000、10000、. )、一个略小于 100(或1000、10000、. ) 的数相乘 (积的位数等于两个乘数位数的和或-1)：例如 97105=101856公式法二、定义新运算abxbxacccbababa)()(: 23:)(2: )():223232 3222展 开 式展 开 式展 开 式展 开 式展 开 式展
3、开 式立 方 差 公 式立 方 和 公 式平 方 差 公 式奥数网 奥数纲要21深入理解运算律（加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律）三、等差数列及其运用1等差数列的定义若前后两项的差为定值，我们把这样的数列称之为等差数列。2公式：a n=a1+(n-1)dsn=na1+n(n-1)d/2sn=(a1+an)n/21+3+5+7+9+.+(2n-1)=n22+4+6+8+10+2n=n(n+1)1+2+3+4+5+.+(n-1)+n+(n-1)+.+5+4+3+2+1=n2等差中项：如果在 a 和 b 中间插入一个数 A，使 a、A 、b 成等差数列，那么 A
4、叫做 a 和 b 的等差中项。如果 a、b、c 三项成等差数列，则 2b=(a+c),这就是等差中项的基本性质。四、等比数列4等比中项性质：等比中项的值等于距该项等距的积的平方根。五、方程1数阵图2填横式3列方程解应用题的基本步骤I 根据题意，设未知数II 寻求等量关系，建立方程III 解方程，求出答案（注意：要注意检验，一是要满足方程，二是要有实际意义。IV 作答4不定方程I Ax+by=cII X+Y+XY=4(含交差项)6)12(.22 )1(76543nn)01|(:.3:.2)0(:.1111)()(1qaSqann且无 穷 等 比 数 列 的 和等 比 数 列 的 和等 比 数 列
5、 通 项 公 式 cabcaba)(:)(: )(:乘 法 对 加 法 的 分 配 律乘 法 结 合 律乘 法 交 换 律加 法 结 合 律加 法 交 换 律奥数网 奥数纲要3III 若整数系数方程 ax+by=c 的一组特解是5一元一次方程的解法步骤I 有分母的先去分母，在去分母的同时，若分子是多项式，应添括号，与此同时，每一项都有应乘以最小公分母，特别是常数项。II 去括号，在去括号的同时，要注意符号。III 移项。一般将含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边。IV 合并同类项。V 化成最简形式：ax=bVI 讨论：6绝对值方程的解法7一次方程组的解法六、应用题1行程问题行程问题
6、是研究物体运动的，它涉及的主要是速度、距离、时间三者之间的相依关系。行程问题有一个物体运动甚至三个物体运动的情况，但主要是两个物体相向运动和同向运动。两个物体相向和同向运动大致有以下四种情形：同时相向而行：相遇时间距离速度和；同时同地相背而行：距离速度和时间；同时同向而行：速度慢的在前，快的在后，追及时间距离速度差；同时同地同向而行：速度慢的在后，快的在前，距离速度差时间。这类问题，除了速度、距离、时间外，还涉及如下一些重要因素，解题时千万不可忽视。运动方向：相向、相背、同向。出发地点：同地、不同地。运动途径：直线、圆周。运动结果：相遇、相距、交叉而过、追及。解答这类问题，关键在于考虑相同的单
7、位 1 与整体之间的关系，相同单位 1 的数也称“同数” ，所以行程问题，又叫同数问题。2工程问题工作总量（一般视为单位 1）=工作效率工作时间3浓度问题溶液=溶质+溶剂%0溶 液溶 质浓 度)0,(00 不 同 时 为则 通 解 是 batxtyxy无 解则且若 为 任 意 实 数则且若 要 注 意 化 简则若 xbab0.32 )(.1奥数网 奥数纲要4一种物质溶解到另一种物质里，形成均一的、相对稳定的混合物，通常叫做溶液。我们把前一种物质叫做溶质，后一种物质叫做溶济。解决浓度问题的关键是根据题意，明白溶质、溶液、与浓度三者之间的关系。4利率问题利息=本金期数利率备注：在建立方程时，用加
8、减号连接起来的每一项具有相同的物理意义；方程里每一个单项式都要有相同的物理意义。七、几何问题1计数问题定理一：对于 nn 个顶点，可作出斜向正方形的个数恰好等于（n-1） (n-1)个顶点时所有正方形的个数。例如：顶点个数 22 33 44 55正向正方形个数 1 5 14 30斜向正方形个数 0 1 6 20正方形总数 1 6 20 502图形的剪拼定理一：剪拼前后，面积不变。定理二：将一个大正方形分割成 n 个大小、形状相同的图形，则分割线必过中心点，而且将其中一个绕中心点旋转 360/n 的倍数后，必与其它图形重合。3格点与面积定理一：如果用 S 表示面积，用 N 表示图形内的格点数，用
9、 L 表示周界上的格点数，那么 S=N+L/2-1（正方形格点，且最小正方形面积为 1 个单位）定理二：（同上，关于三角形格点的面积）S=2N+L-2（最小三角形面积为 1 个单位）4面积如果两个图形能够完全重合，则这两个图形面积相等。把一个图形分成有限个小部分，则整个图形的面积等于所有这些小部分的面积和。这两条性质是面积割补的理论依据。导出三角形：以平行四边形的一条边为底边，第三顶点在平行四边形中这条边对边上的三角形，叫做该平行四边形的一个导出三角形。同一个平行四边形的所有导出三角形的面积相等，且等于平行四边形面积的一半。平行四边形的一条对角形平分该平行四边形面积。等底等高的三角形等积。共边
10、三角形面积与边比。图形绕定点的旋转：在平面图形的割补中，有时要将一个图形绕定点旋转到一个新的位置、产生一种新的图形结构。利用这种图形结构可以帮我们解决面积的计算问题，当然，图形在转动过程中形状大小不发生改变。轴对称与图形的折叠：轴对称图形沿对称轴折叠，轴两侧的部分可以完全重叠，因此如果一个图形是轴对称图形，那么对称轴平分这个图形的面积。等腰三角形是轴对称图形，由顶点引向底边的高所在的直线是它的对称轴。长方形是轴对称图形，对边中点连线是它的对称轴。长方形有两条对称轴。正方形是轴对称图形，对边中点连线、两条对角线所在直线都是它的对称轴，正奥数网 奥数纲要5方形共有四条对称轴。菱形是轴对称图形，两
11、条对角线所在直线是它的对称轴。筝形也是轴对称图形，其中有一条对角线是另一条对角形的垂直平分线，这条对角线所在直线是筝形的对称轴。圆是最典型的轴对称图形。过圆心的任一条直线都是它的对称轴，因此，圆的对称轴有无数多条。圆的直径平分圆的面积。弦图的妙用（一般不要求掌握，但参加华赛杯竞赛理解）I 三角形的等积变形定理一：等底等高的三角形面积相等。定理二：底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等。定理三：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。定理四：梯形的两条对
12、角线及两腰所夹的两个三角形面积相等。定理五：梯形的两条对角形及上、下两底所形成的两个三角形的面积比等于上、下底边长的平方。定理六：中线将三角形的面积平方。定理七：若两个三角形的两边的积相等，且夹角相等或互补，那么这两个三角形的面积相等。II 面积公式：正方形面积：S=a 2长方形面积：S=ab平形四边形面积：S=底高三角形面积：S=底高/2等边三角形面积：梯形的面积：S=（a+b）X h/2aS243rS2圆 的 面 积 lRnSr21360扇 形 的 面 积 rh2圆 柱 的 表 面 积 LS21圆 锥 的 表 面 积)(2R圆 环 的 表 面 积 RbaS2 )(球 的 表 面 积 线分
13、别 为 菱 形 的 两 条 对 角和其 中菱 形 的 表 面 积奥数网 奥数纲要6III 度分秒与弧度的互化IV 图形的变换（轴对称、中心对称图形、求几何最短距离、平移、轴变换、旋转变换）轴对称和轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折过来，如果它能够与另一个重合，那么我们说这两个图形叫做关于这条直线对称的轴对称图形。两个图形的对应点（互相重合的点）叫做关于这条直线的对称点，这条直线叫做对称轴。如果两个图形关于某直线对称，那么对应点的连线被对称轴垂直平分。两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或其延长线相交，那么交点在对称轴上。中心对称和中心对称图形：把一个图形绕着一个点旋转 180 度后
14、，它和另一个图形重合，那么我们说这两个图形叫做关于这个点对称的中心对称图形，这个点叫对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于这个对称中心的对称点。平移变换：一个图形沿着一定的方位移动一定距离的运动叫做图形的平移。平移后的图形与原图形全等，即对应边、对应角都相等。V 图形面积的巧算5周长公式：6体积公式：7基本元素RnCbaCc23602)(4)(2扇 形 周 长弧 周 长圆 周 长 两 腰 长 度下 底上 底梯 形 周 长平 形 四 边 形 周 长三 角 形 周 长正 方 形 周 长长 方 形 周 长 RaVhSbcV324:1:球 的 体 积圆 锥 体 积圆 柱 体 积长 方 体 体 积正 方
15、 体 体 积奥数网 奥数纲要7I 线段、角、角平分线、三角形中位线、梯形中位线、高、中线、相交线、平行线II 三角形、等腰三角形、三角形的不等关系、直角三角形、勾股定理、四边形、平行四边形、平行四边形、矩形、正方形、梯形、菱形、筝形。三角形中位线性质：中位线平行于底边且等于底边长的一半。三角形的不等关系：两边之和大于第三边，两边之差（大减小）小于第三边。这条性质也是判断三角形成立的依据。等腰三角形性质：两腰相等，底角相等。平行四边形性质：对边相等且平行，对角相等，邻角互补，对角线互相平分。梯形性质：两底平行，上、下两邻角互补。勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方。 （在 Rt 中，a 2
16、+b2=c2）直角三角形性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30 度，那么该角所对的直角边等于斜边的一半。直角三角形的性质：在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。角平分线定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等。中垂线定理：中垂线上的点到该线段两个端点的距离相等。III 比例的四大性质比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积。如果 a:b=c:d,则 bc=ad了解比例中项。8 圆基本元素：圆周角、弦切角、直径、半径、弦、周长、弧、拱形、圆心角、公切线、优弧、劣弧、半圆五心：外心、内心、垂心、中心、旁心定理一：直径所对的圆周角为直角。定理二：同弦所对的圆心角等于圆周角的两倍。九、排列组
17、合1乘法原理一般地，如果完成一件事需要 n 个步骤，其中，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法， .，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么，完成这件事一共有N=m1m2mnkfdbecafdbkfedcbacdbadcbc则等 比 性 质 则合 分 比 性 质 则分 比 性 质 则合 比 性 质 )0,0(奥数网 奥数纲要8种不同的方法。2加法原理一般地，如果完成一件事有 K 类方法，第一类方法中有 m1 种不同方法，第二类方法中有 m2 种不同的方法，. ，第 K 类方法中有 mk 种不同的方法，则完成这件事共有N=m1+m2+.+mk 种不同的方法。3排列一
18、般地，从 n 个不同的元素中任取 m 个元素（m n ） ，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同的元素中取出 m 个元素的一个排列。一般地，从 n 个不同的元素中任取 m 个元素（m n）的所有排列的个数，叫做从 n 个不同的元素中取出 m 个元素的排列数，我们把它叫做 Pnm.4组合一般地，从 n 个不同元素中取出 m 个（m n）元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从 n 个不同的元素中取出 m 个元素的一个组合。一般地，从 n 个不同元素中取出 m 个（m n）元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个不同元素的组合数，记作 Cnm.5排列组合运用这两个基本原理
19、时要注意：不同类的方法（其中每一个方法都能各自独立的把事情从头到尾做完）数之间做加法，可求得完成事情的不同方法总数。不同步的方法（全程分成几个阶段（步） ，其中每一个方法都只能完成这件事的一个阶段）数之间做乘法，可求得完成整个事情的不同方法总数。解决排列组合，主要有两种方法：捆绑法、插空法。十、数学游戏1轮流报数，最后致胜策略2数阵图I 一般地说，在 nn(n 行 n 列) 的方格里，既不重复又不遗漏地填上 n2 个连续的自然数（一般从 1 开始，也可不从 1 开始）每个数占一格，并使排在任一行、任一列和两条对角线上的 n 个自然数的和都相等，这样的数表叫做 n 阶幻方。这个和叫做幻和，n 叫
20、阶。 （九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出）1 9 94 2 4 2 4 27 5 3 7 5 3 3 5 78 6 8 6 8 69 1 1九子排列 上、下对易 左右相更!)1(2.3213.)(2)1( )(. nPnnnm 2.4321)1()(!5210 nnmnCCP奥数网 奥数纲要9十一、 统筹规划1串行性2并行性十二、 整数问题1约数和倍数：如果整数 a 能被整数 b 整除，a 就叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的约数。记作：b|a2.如果 bc|a,则 b|a,c|a.3.如果 b|a 且 c|a,且(b,c)=1, 那么 bc|a.4.数的整除特征：（2，3，4，5，
21、7，9，11，13，17，19，23，29）定理一：能被 2 或 5 整除的特征，是它的末位数字能被 2（或 5）整除。定理二：能被 4(或 25)整除的特征，是它的末两位数字能被 4（或 25）整除。定理三：能被 8(或 125)整除的特征，是它的末三位数字能被 8(被 125)整除。定理四：能被 11 整除的特征，是这个数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字的和的差能被 11 整除。定理五：能被 7(11 或 13)整除特征，是奇位千进位的总和与偶位千进位的总和的差（或者反过来）能被 7(11 或 13)整除。定理六：能被 17 整除特征，是末三位与 3 倍的前面的隔出数的差能被 17 整除
22、。定理七：能被 19 整除的特征，是末三位与 7 倍的前面的隔出数的差能被 19 整除。定理八：能被 23（或 29）整除的特征，是末四位与前面 5 倍的隔出数的差能被23(或 29)整除。5质数（素数） 、合数、质因数、分解质因数一个数除了 1 和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数） 。一个数除了 1 和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。注意：1 不是质数，也不是合数。如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。6约数个数的判断：36=2 232 约数的个数=(2+1)(2+1)7所有约数的和： 36
23、=2232 约数的和=(1+2+4)(1+3+9)8最大公约数和最小公倍数I 熟练运用辗转相除法II 定理：两个数最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。 （a,b）xa,b=axbIII 两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数。IV 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。.16,: 263175: 或 少的 倍 数 多都 比的 质 数任 何 大 于结 论质 数 的 一 个 特 点 奥数网 奥数纲要109带余除法I 方法一例如：一个数除以 3 余款，除以 5 余额，除以 7 余款，求适合这条件的最小的数。解：先分别求出被 5 和 7 整除而被 3 除余 1 的数（
24、70） ，能被 3 和 7 整除而被 5整除余 1 的数（21） ，能被 3 和 5 整除而被 7 整除余 1 的数（15）70 2 + 21 3 +15 2 3 5 7 n=233-105n=23II 方法二III 方法三8 同余性质定理一：若 ab(mod m),cd(mod m),那么 acbd(mod m)可乘性定理二：若 ab(mod m),那么 anb n(mod m)其中 n 为自然数定理三：若 acbc(mod m),(c,m)=1,那么 ab(mod m)定理四：对于模 n 同余的两个整数 a 和 b，它们的差一定能被 n 整除。定理五：被除数扩大（或缩小）n 倍，除数不变，
25、则商和余数也相应扩大（或缩小）相同的倍数。9 数的进位制（各种进制的互化、与计算机相关部分的了解、基数、数码）10 完全平方数I 完全平方数的个位数字只可能是 0、1、4、5、6、9。II 一个完全平方数的约数的个数必是奇数，反之，一个自然数的约数的个数是奇数，这个数是完全平方数：一个非完全平方数的约数的个数必是偶数。III 完全平方数的个位数字为奇数时，它的十位数字必是偶数；完全平方数的个位数字是 6 时，它的十位数字一定是奇数。IV 一个完全平方数的质因数分解因式中，每个质因数的冥指数都有是偶数。V 完全平方数被 4 整除或被 4 整除余 1.VI 相邻两个整数 a 和(a+1)的平方 a
26、2 与(a+1) 2 之间，不存在完全平方数。11 把一个整数拆成几个自然数的和，使得所有数的积最大的原则：I 拆出的数不能有 1II 拆出的数中以 2 和 3 最好III 既能拆成若干个 2，又能拆成若干个 3 时，应当拆成 312数的分类扩展（数的表示方法及各种不同的进制表示方法、奇偶性）十三、 分数问题I 加成分数II 单位分数1/n=1/x+1/y1/n=1/x+1/y+1/z4/n=1/x-1/yIII 循环小数与分数（判断有限小数及小数位数、无限小数、纯循环小数、混循环小数及循环节最少位数和不循环部分位数、循环小数化分数的两种方法）循环小数：一个数的小数部分，如果从某一位起，一个或几个数字依次不断地重复出现，这样的数就叫做循环小数。循环小数是无限小数，它的位数是无限的。循环小数的小数部分中，依次不断重复的数字，叫做它的一个循环节。如果循环节
