1、2010 年高考试题数学试题（文史类）-福建卷第 I 卷（选择题 共 60 分）1. 若集合 A=x|1x3，B=x|x2，则 AB 等于A x | 2x3 B x | x1 C x | 2x 3 D x | x22. 计算 12sin 222.5的结果等于A.1/2 B. /2 C /3 D /23. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其侧面积等于A. B.2C.2 D.64. i 是虚数单位， （1+i）/(1-i)） 4 等于A.i B.-i C.1 D.-15. 若 x，yR，且 ，则 z=x+2y 的最小值等于A.2 B.3 C.5 D.96. 阅读右图所示的程序框图，运
2、行相应的程序，输出的 i 值等于A.2 B.3 C.4 D.57. 函数 f（x）= 的零点个数为A.2 B.2 C.1 D.08.若向量 a=（x，3） （xR） ，则 “x=4”是“| a |=5”的A.充分而不必要 B.必要而不充分 C 充要条件 D.既不充分也不必要条件9.若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是A.91.5 和 91.5 B.91.5 和 92 C 91 和 91.5 D.92 和 9210.将函数 f（x）=sin（x+）的图像向左平移 /2 个单位，若所得图像与原图像重合，则 的值不可能等于A.4 B.6 C.8 D
3、.1211.若点 O 和点 F 分别为椭圆 x2/4 +y2/3 =1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上点的任意一点，则 的最大值为A.2 B.3 C.6 D.812.设非空集合 S=x | mxl满足：当 xS 时，有 x2S . 给出如下三个命题：若 m=1，则 S=1；若 m=1/2 ，则 1/4 l 1； l=1/2，则 /2m0其中正确命题的个数是A.0 B.1 C.2 D.3第 II 卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分. 把答案填在答题卡的相应位置.13.若双曲线 x2 / 4y 2 / b2=1 (b0) 的渐近线方程为 y=
4、1/2 x ，则 b 等于 .14.将容量为 n 的样本中的数据分成 6 组. 绘制频率分步直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为 2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频率之和等于 27，则 n 等于 .15. 对于平面上的点集 ，如果连接 中任意两点的线段必定包涵 ，则称 为平面上的凸集，给出平面上 4 个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：其中为凸集的是 （写出所有凸集相应图形的序号）.16.观察下列等式： cos2=2 cos 2 1； cos 4=8 cos 4 8 cos 2 +1； cos 6=32 cos 6 48 cos 4 18 cos 2 1； cos 8= 128 c
5、os 8256cos 6 160 cos 4 32 cos 2 1； cos 10=mcos 101280 cos 81120cos 6 ncos 4 p cos2 1；可以推测，mn+p= .三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 12 分）数列a n中，a 1 =1/3，前 n 项和 S n 满足 S n+1 S n =（1 / 3） n + 1 (n)N *.（I）求数列a n的通项公式 a n 以及前 n 项和 S n（II）若 S 1，t（S 1+ S 2） ，3 （S 2+ S 3）成等差数列，求实数 t 的值.18
6、.（本小题满分 12 分）设平面向量 a m =（m，1） ，b n =（2，n） ，其中 m，n1,2,3,4.（I）请列出有序数组（m，n）的所有可能结果；（II）记“使得 a m （a mb n）成立的（m，n） ”为事件 A，求事件 A 发生的概率.19.（本小题满分 12 分）已知抛物线 C 的方程 C：y 2 =2 p x（p0）过点 A（1，-2）.（I）求抛物线 C 的方程，并求其准线方程；（II）是否存在平行于 OA（O 为坐标原点）的直线 l，使得直线 l 与抛物线 C 有公共点，且直线 OA 与 l 的距离等于 ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由。20.（
7、本小题满分 12 分）如图，在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E，H 分别是棱 A1B1，D 1C1 上的点（点 E 与 B1 不重合） ，且 EHA 1 D1. 过 EH 的平面与棱 BB1 ，CC 1 相交，交点分别为 F，G 。（I） 证明：AD平面 EFGH；（II） 设 AB=2AA1 =2 a .在长方体 ABCDA 1B1C1D1 内随机选取一点。记该点取自几何体 A1ABFE-D1DCGH 内的概率为 p，当点 E，F 分别在棱 A1B1 上运动且满足EF=a 时，求 p 的最小值.21. （本小题满分 12 分）某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船
8、上，在小艇出发时，轮船位于港口的 O 北偏西 30且与该港口相距 20 海里的 A 处，并正以 30 海里/ 小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 t 小时与轮船相遇.（I） 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（II） 为保证小艇在 30 分钟内（含 30 分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；（III） 是否存在 v，使得小艇以 v 海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定 v 的取值范围；若不存在，请说明理由.22 （本小题满分 14 分）已知函数 的图像在
9、点 P(0,f(0)处的切线方程为 .21()3fxaxb 32yx（）求实数 a，b 的值；（）设 是 上的增函数.224(),1ypA()1mgxfx2,)（）求实数 m 的最大值；（）当 m 取最大值时，是否存在点 Q，使得过点 Q 的直线能与曲线 围成()ygx两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由.参考答案选择题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分，满分 60 分.1.A 2.B 3.D 4.C 5.B 6.C7.B 8.A 9.A 10.B 11.C 12.D填空题：本大题考查基础知识和基本运算. 每小题 4 分，满分
10、16 分.13.1 14.60 15. 16.962三、 解答题：本大题共 6 小题；共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.本小题主要考查数列、等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想.满分 12 分.解：() 由 S n+1 S n =（ ）n + 1 得 (nN *)；311()3nna又 ，故 (nN *)13a()n从而 (nN *).1()1()233nns()由( )可得 ， ，1S24937S从而由 S 1，t（S 1+ S 2） ，3 （S 2+ S 3）成等差数列可得：，解得 t=2.443()()979t18.
11、本小题主要考查概率、平面向量等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查化归与转化思想、必然与或然思想.满分 12 分.解：() 有序数组（m,n）的吧所有可能结果为：（1,1） ， （1,2） ， （1,3） ， （1,4） ， （2,1） ， （2,2） ， （2,3） ， （2,4） ， （3,1） ， （3,2） ， （3,3） ，（3,4） ， （4,1） ， （4,2） ， （4,3） ， （4,4） ，共 16 个.() 由 得 ，即 .()mnab21mno2(1)m由于 1,2,3,4 ，故事件 A 包含的基本条件为（2,1）和（3,4） ，共 2 个.又,基本事件的总数为
12、16，故所求的概率 .()168P19.本小题主要考查直线、抛物线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想.满分 12 分.解：（）将（1,-2）代入 ，所以 .2ypx2故所求的抛物线 C 的方程为 ，其准线方程为 .4yx1x（）假设存在符合题意的直线 l ，其方程为 y=2x + t ，由 ，得 y2 2 y 2 t=0.因为直线 l 与抛物线 C 有公共点，所以得 =4+8 t，解得 t 1/2 .另一方面，由直线 OA 与 l 的距离 d= ，可得 = ，解得 t=1.因为1- ,） ，1 ，） ，所以符合题意的直线
13、l 存在，其方程为2x+y-1 =0.20.本小题主要考察直线与直线、直线与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概念等基础知识，考察空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考察函数与方程思想、形数结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。满分 12 分解法一：（I） 证明：在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，ADA 1 D1 又EHA 1 D1 ，ADEH.AD平面 EFGHEH 平面 EFGHAD/平面 EFGH.（II） 设 BC=b，则长方体 ABCDA 1B1C1D1 的体积 V=ABADAA1 =2a2b，几何体 EB1F-HC1G 的体积 V1 =（1/2EB 1 B1F
14、）B 1C1 =b/2EB1 B1 FEB 12 + B1 F2=a2EB 12 + B1 F2 （EB 12 + B1 F2 ）/2 = a2 / 2,当且仅当 EB1 =B1 F= /2 a 时等号成立从而 V1 a2b /4 .故 p=1-V1/V 7/8解法二：（I） 同解法一（II） 设 BC=b，则长方体 ABCDA 1B1C1D1 的体积 V=ABADAA1 =2a2b ，几何体 EB1F-HC1G 的体积V1=（1/2 EB1 B1 F）B 1C1 =b/2 EB1 B1 F设B 1EF=（090 ） ，则 EB1 = a cos，B 1 F =a sin故 EB1 B1 F
15、= a2 sincos = ，当且仅当 sin 2=1 即 =45时等号成立.从而p=1- V 1/V =7/8，当且仅当 sin 2=1 即 =45时等号成立.所以，p 的最小值等于 7/821.本小题主要考察解三角形、二次函数等基础知识，考察推断论证能力、抽象概括能力、运算求解能力、应用意识，考察函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.满分 12分.解法一：（I）设相遇时小艇的航行距离为 S 海里，则S= = = 故 t=1/3 时，S min = ，v= =30即，小艇以 30 海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小（）设小艇与轮船在 B 处相遇由题意可知，（vt） 2 =
16、202 +（30 t） 2-22030tcos（90-30），化简得：v 2= +900 =400 +675由于 0t1/2，即 1/t 2,所以当 =2 时，1t取得最小值 ，v03即小艇航行速度的最小值为 海里/小时。103（）由（）知 ，设 ，2469vt1ut(0)于是 。 （*）20uv小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程（*）应有两个不等正根，即：解得 。22601(90),.vv1530v所以 的取值范围是 。(,)解法二：（）若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向。设小艇与轮船在 C 处相遇。在 中， ，RtOA20cos3
17、1。20sin31又 ,Ctvt此时，轮船航行时间 ， 。03t130v即，小艇以 海里/小时的速度行驶，相遇时小艇的航行距离最小。（）同解法一（）同解法一22. 本小题主要考察函数、导数等基础知识，考察推力论证能力、抽象概况能力、运算求解能力，考察函数与方程思想、数形结合思想、化归与转换思想、分类与整合思想。满分 14 分。解法一：（）由 及题设得 即 。2()fxa(0)32fab（） （）由 3211mgxx得 。22()()x是 上的增函数， 在 上恒成立，g,)()gx02,)即 在 上恒成立。2230(1)mxx,设 。2()t，,)x即不等式 在 上恒成立20mt1当 时，不等式
18、 在 上恒成立。0t,)当 时，设 ，0m2myt1,)t因为 ，所以函数 在 上单调递增，21t 2yt,)因此 。min3y，即 。i0,3m又 ，故 。综上， 的最大值为 3。（）由（）得 ，其图像关于点 成中心对称。213()1gxx1(,)3Q证明如下：3213()1gxx323()()()21x28xx因此， 。()3g上式表明，若点 为函数 在图像上的任意一点，则点 也一定在,Axy()g2(,)3Bxy函数 的图像上。而线段 中点恒为点 ，由此即知函数 的图像关于点()B1(,)3Qg成中心对称。Q这也就表明，存在点 ，使得过点 的直线若能与函数 的图像围成两个封1(,)3()
19、x闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等。解法二：（）同解法一。（） （）由 321()1mgxx得 。22 ()是 上的增函数， 在 上恒成立，()gx,)()gx02,)即 在 上恒成立。2230(1)m,设 。2(1)xt，,)即不等式 在 上恒成立。20mt1所以 在 上恒成立。,)令 ， ，可得 ，故 ，即 的最大值为 3.2yttmin3ym（）由（）得 ，321()1gxx将函数 的图像向左平移 1 个长度单位，再向下平移 个长度单位，所得图像相应的函() 3数解析式为 ， 。32xx(,0)(,)由于 ，所以 为奇函数，故 的图像关于坐标原点成中心对称。()()x由此即得，函数 的图像关于点 成中心对称。)gx1,)3Q这也表明，存在点 ，是得过点 的直线若能与函数 的图像围成两个封闭(1, ()gx图形，则这两个封闭图形的面积总相等。
