1、 1 / 242010 高考复习数学亮点试题函数郑善友（山东省东平县第一中学）函数是中学数学的核心内容。在整个中学数学课程中充当着联系各部分代数知识的“纽带 ”，同时也为解析几何学习中所需的数、形结合思想奠定了基础。函数是高中数学的主线，是每年高考必考查的重点内容之一，函数与方程、函数与数列、函数与不等式的相互渗透和交叉一直是高考的热点，近年来抽象函数问题、函数与向量结合、函数与概率统计结合、探索创新性问题又成为新的视点，可以说是常考常新。随着新教材课程改革的不断向前发展，高考函数命题已从理论和实践上发生了深刻的变化，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多新的解题途径，拓宽了高考对函数问题的命
2、题空间。下面结合 2009 年全国各省的高考试题，探讨高考函数问题命题新的趋势，供复习时参考。1 对函数定义的深化理解与函数图象的灵活运用的问题1.(2009 年高考数学陕西卷)定义在 R 上的偶函数 ()fx满足：对任意的1212,(,0)xx，有 2121()(0xf.则当 *nN时,有 (A) fnffn (B) (1)(1)fffn (C) ()() (D) )( 【答案：】C 1212121,(,0)()()0)(,0() )()()(1)xxxffxfffffnfnffnf解 析 ： 时 ， 在 为 增 函 数为 偶 函 数 在 ， 为 减 函 数而 n+-,2. (2009 年高
3、考数学山东卷)函数xey的图象大致为 ( ).2 / 241x y 1O A xyO11B xyO1 1 C xy1 1 D O【解析】:函数有意义,需使 0xe,其定义域为 0|x,排除 C,D,又因为221xxxey,所以当 时函数为减函数,故选 A. 答案:A.【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质 .本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.3.（2009 年高考数学江西卷）如图所示，一质点 (,)Pxy在 O平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在 x轴上的投影点 ,0Q的运动速度 ()Vt的图象大致为A B C
4、 DyxO(,)Pxy(,0)QO()VttO()VttO()VttO()Vtt3 / 24答案：B【解析】由图可知，当质点 (,)Pxy在两个封闭曲线上运动时，投影点 (,0)Qx的速度先由正到 0、到负数，再到 0，到正，故 A错误；质点 ,Py在终点的速度是由大到小接近 0，故 D错误；质点 (,)Pxy在开始时沿直线运动，故投影点 (,)Qx的速度为常数，因此 C是错误的，故选 B.4.（2009 年高考数学江西卷）设函数 2()(0)fxabxc的定义域为 D，若所有点 (,),)sftD构成一个正方形区域，则 的值为A 2 B 4 C 8 D不能确定 答案：B【解析】 12max|
5、()xf，224bacb， |a， 4a，选 B5.(2009 年高考数学山东卷)若函数 f(x)=a x-x-a(a0 且 a 1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .【解析】: 设函数 (0,xya且 1和函数 yx,则函数 f(x)=a x-x-a(a0且 a 1)有两个零点, 就是函数 (,xya且 与函数 ya有两个交点,由图象可知当 10时两函数只有一个交点 ,不符合 ,当 1时,因为函数()xy的图象过点(0,1),而直线 x所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数 a 的取值范围是 1a答案: 1a 【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系
6、 ,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答.2 函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应用问题新课标高考中,求函数的值域（或最值）及活用奇偶性、单调性、周期性及对称性成为热点问题，重点考查二次函数、指数函数、对数函数、分段函数及抽象函数的有关性质，并且利用函数性质灵活解题.函数的单调性常用来判断、证明、比较大小，求单调区间及有关参数的范围，奇偶性则经常扩展到图象的4 / 24对称性，且与单调性和周期性联系在一起，解决较复杂的问题.尤其值得注意的是，凡涉及到函数、方程和不等式的问题，必须首先考虑定义域，这也是学生解决问题时容易忽略的地方. 6.(200
7、9 年高考数学山东卷)已知定义在 R 上的奇函数 )(xf，满足(4(fxfx,且在区间0,2上是增函数,若方程 f(x)=m(m0)在区间 8,上有四个不同的根 1234,则 1234_.xx 【解析】:因为定义在 R 上的奇函数，满足 ()(ffx,所以(4)(fxfx,所以, 由 )(xf为奇函数,所以函数图象关于直线 2x对称且0,由 )f知 8()f,所以函数是以 8 为周期的周期函数,又因为 (xf在区间0,2上是增函数,所以 x在区间-2,0上也是增函数.如图所示,那么方程 f(x)=m(m0)在区间 ,上有四个不同的根 1234,x,不妨设1234xx由对称性知 12x34x所
8、以28答案:-8【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性,单调性 ,对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题, 运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题.7.(2009 年高考数学山东卷)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= 0),2()1(,log2xfxf，则 f（2009）的值为( )A.-1 B. 0 C.1 D. 2【解析】:由已知得 2(1)logf, ()f, (1)0(1)ff,-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m0) 5 / 24(2)1(0)ff, (3)2(1)()0ff,4321, 543f, 6(5)40ff,所以函数
9、 f(x)的值以 6 为周期重复性出现.,所以 f（2009）= f （5）=1,故选 C.答案:C.【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算 .8.(2009 年高考数学山东卷)已知定义在 R 上的奇函数 )(xf，满足(4(fxfx,且在区间0,2上是增函数,则( ). A. 25)180)f B. (80)1(25)fffC. (25ff D. 25【解析】:因为 )x满足 4)(ffx,所以 ()(ffx,所以函数是以 8 为周期的周期函数, 则 1(, 0)8, )31,又因为 )(xf在 R上是奇函数， 0)f,得 (ff, 1(25(ff,而由(4)(fxfx得
10、 )4)3(1,又因为 )x在区间0,2上是增函数 ,所以 )f,所以 01(f,即 (80fff,故选 D. 答案:D.【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质 ,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题. 3 以分段函数为主线的问题9.（2009 天津卷文）设函数 0,64)(2xxf则不等式 )1(fxf的解集是（ ）A ),3()1, B ),2()1,3 C ),3()1, D (【答案】A6 / 24【解析】由已知，函数先增后减再增当 0x， 2)(f31(f令 ,)(xf解得 3,1x。当 0， 3,6x故 )(ff ，解得 13或【考点定位】本试题考查分
11、段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。10.（2009 年高考数学上海卷）有时可用函数0.15ln,(6)()4,axfx描述学习某学科知识的掌握程度，其中 x 表示某学科知识的学习次数（ *xN） ，()fx表示对该学科知识的掌握程度，正实数 a 与学科知识有关。（1） 证明：当 7x时，掌握程度的增加量 (1)(fxf总是下降；（2） 根据经验，学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为 15,2,(,2, (13。当学习某学科知识 6 次时，掌握程度是 85%，请确定相应的学科。证明（1）当 0.47()(3)(xfxfx时 ，而当 时 ，函数 3y单调递增，且 )(4x0
12、故 (1)(fxf单调递减 当 7时 ，掌握程度的增长量 (1)(fxf总是下降（2）由题意可知 0.1+15ln 6a=0.85整理得 0.56ae解得.052.13.0,2(1,71由此可知，该学科是乙学科 4 以抽象函数为主线的问题7 / 2411.（2009 年高考数学四川卷）已知函数 ()fx是定义在实数集 R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 x都有 1ff，则 5()2f的值是 （( )（） （ A.0 B. 2 C.1 D. 【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法，综合题。 （同文12）解析：令 21x，则 0)21()(21)()21( ffff ；令 x，则0)(
13、f由 1()xfxf得 )(1)(xf，所以 0)(25(0)2(135)2(3)(25)( ffffff，故选择 A。12.（2009 年高考数学全国卷）函数 ()fx的定义域为 R，若 (1)fx与(1)fx都是奇函数，则( ) (A) 是偶函数 (B) (fx是奇函数 (C) ()2)fx (D) 3)是奇函数解: (1)fx与 ()f都是奇函数，(1)(),1)()fxffxf，函数 关于点 ,0，及点 ,0对称，函数 ()fx是周期2()4T的周期函数. (4)14fx，3fxfx，即 3)是奇函数。故选 D13.（2009 年高考数学江西卷）已知函数 ()fx是 ,)上的偶函数，若
14、对于0x，都有 (2()fxf） ，且当 0,2时， 2log(1fx） ，则8 / 24(208)(9)ff的值为 ( )A B 1 C 1 D 2答案：C【解析】 12(208)(9)(0)logfff,故选 C.点评：本题融抽象函数、函数的单调性、数列等知识于一体，解题思路是：赋值(化抽象为具体) 作恒等变形逆用函数单调性将函数关系式转化为自变量间的关系式( 数列中 an 与 Sn 的关系)。利用抽象条件，通过合理赋值(赋具体值或代数式)、整体思考、找一个具体函数原型等方法去探究函数的性质。如奇偶性、周期性、单调性、对称性等，再运用相关性质去解决有关问题，是求解抽象函数问题的常规思路。其
15、中合理赋值起关键性的作用。对抽象函数问题的考查在近几年高考中有逐年增加数量的趋势。 5 以三次函数为主线的问题14.(2009 年高考数学山东卷)已知函数 321()fxabx,其中 0a （1） 当 ba,满足什么条件时, f取得极值?（2） 已知 0,且 )(xf在区间 (0,1上单调递增,试用 表示出 的取值范围.解: (1)由已知得 2ab,令 0)(xf,得 210abx,)(xf要取得极值,方程 x必须有解,所以 240b,即 2, 此时方程 2x的根为1abax,224baba,所以 12()(fx 当 0a时,x (-,x1) x 1 (x1,x2) x2 (x2,+)f(x)
16、 0 0 f (x) 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数所以 )(x在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值.9 / 24当 0a时, x (-,x2) x 2 (x2,x1) x1 (x1,+)f(x) 0 0 f (x) 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数所以 )(x在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值.综上,当 ba满足 a时 , )(xf取得极值. (2)要使 )(xf在区间 0上单调递增,需使 2()10fxabx在 (,上恒成立.即 1,(,2abx恒成立, 所以 max()2b设 ()g, 221()axg,令 0x得 1a或 x(舍去), 当 1a时, ,当
17、 (0,)时 (0gx, 1()2ax单调增函数;当 1(,xa时 (), ()x单调减函数,所以当 时, ()gx取得最大,最大值为 1()ga.所以 ba当 01a时 , ,此时 ()0gx在区间 (,1恒成立,所以 1()2axg在区间 (,上单调递增,当 1时 最大,最大值为 1(),所以 b综上,当 1a时, ba; 当 01a时, 2ab 【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论10 / 24的思想解答问题.
18、15.（2009 年高考数学天津卷） （本小题满分 12 分）设函数 0),(,)1(31)(2mRxmxxf 其 中（）当 时 ， 曲线 ） ）（，在 点 （ ffy处的切线斜率（）求函数的单调区间与极值；（）已知函数 )(xf有三个互不相同的零点 0， 21,x，且 21x。若对任意的 ,21x， 1恒成立，求 m 的取值范围。【答案】 （1）1（2） )(xf在 ),和 ),(内减函数，在),(m内增函数。函数 在 1处取得极大值 )1(mf，且f= 323函数 )(xf在 1处取得极小值 )(mf，且 )(f= 31223【解析】解：当 (,31)( 2/2 fxxfm故时 ，所以曲线 ） ）（，在 点 （)(xfy处的切线斜率为 1. （2）解： 12 ，令 0)(xf，得到 mx1,因为 mm1,0所 以当 x 变化时， )(,xf的变化情况如下表：()1,(m),1(m)(xf+ 0 - 0 +f极小值 极大值)(xf在 )1,m和 ),(内减函数，在 )1,(m内增函数。函数 在 处取得极大值 )1f，且 f= 31223函数 )(xf在 处取得极小值 (，且 )(=
