1、12013 年福建省高中数学竞赛暨 2013 年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案（考试时间：2013 年 9 月 7 日上午 9：0011：30，满分 160 分）一、填空题（共 10 小题，每小题 6 分，满分 60 分。请直接将答案写在题中的横线上）1已知数列 满足 ， （ ） ，则 的最小值为 na13212na*nNna。【答案】 3【解答】由 ， 知，12a12na， ， ， 。()n ()21a132a上述 个等式左右两边分别相加，得 。(3n ，又 时， ； 时， 。321na5na6n 时， 取最小值 。6n12对于函数 ， ，若对任意的 ，存在唯一的 ，使得()
2、yfxD1xD2xD，则称函数 在 上的几何平均数为 。已知 ，1()fxMf M32()1f，则函数 在 上的几何平均数 。， 321f，【答案】 5【解答】 当 时， ，x2()3(2)0fxx 在区间 上为增函数，其值域为 。32()fx， 15， 根据函数 几何平均数的定义知， 。()f3若三个非零且互不相等的实数 、 、 满足 ，则称 、 、 是调和的；abc2abcabc若满足 ，则称 、 、 是等差的。已知集合 ，集合2acbabc013MxxZ，是集合 的三元子集，即 。若集合 中元素 、 、 既是调和的，又PMP， ， Pabc是等差的，则称集合 为“好集” 。则不同的“好集
3、”的个数为 。【答案】 1006【解答】若 、 、 既是调和的，又是等差的，则 ， ， 。abc 12abcb4c即“好集”为形如 （ ）的集合。24b， ， 02由“好集”是集合 的三元子集知， ， ，且 。M20134bZ0b ， ，且 。符合条件的 可取 1006 个值。503bZb “好集”的个数为 1006。4已知实数 ， 满足 ，且 ，则 的最小值为 xy14xyx(1)2y。【答案】 27【解答】由 知， 。14xy41xy 。3()2()2()xx设 ，则 ，1xt0。3(1)()1() 6()1527ty tx当且仅当 ，即 ， ， 时等号成立。tt27y 的最小值为 27。
4、(1)2xy5如图，在四面体 中， ， 是边长ABCDBCD平 面 为 3 的等边三角形。若 ，则四面体 外接球的面积为 A。【答案】 16【解答】如图，设正 的中心为 ，四面体 外接球B 1OB的球心为 。则 ，O1CD平 面， 。1AB 23取 中点 。E由 知， ， ， 。AB1OE 1EB于是， 。2O 四面体 外接球半径为 2，其面积为 。CD66在正十边形的 10 个顶点中，任取 4 个点，则以这 4 个点为顶点的四边形为梯形的概率为 。【答案】 273【解答】设正十边形为 。则120A以 为底边的梯形有 、 、 共 3 个。同理分别以 、12A31249A1258 23A、 、
5、、 为底边的梯形各有 3 个。这样，合计有 30 个梯形。3459101以 为底边的梯形有 、 共 2 个。同理分别以 、133401359 24、 、 、 、 为底边的梯形各有 2 个。这样，合计有 20 个梯形。35469102A以 为底边的梯形只有 1 个。同理分别以 、 、 、 、1A145025A3647A92为底边的梯形各有 1 个。这样，合计有 10 个梯形。03所以，所求的概率 。41037PC7方程 在区间 内的所有实根之和为 sin2x2，。 （符号 表示不超过 的最大整数） 。x【答案】 12【解答】设 ，则对任意实数 ， 。2xx012原方程化为 。1sin2 若 ，则
6、 ， （ ） 。02xsi 0xxkZ （ ） 。结合 知， ，1，2，3，4，5，6。kZ02，经检验， ，2，4，6 符合要求。x 若 ，则 ， （ ） 。1sinx12xkkZ （ ） 。结合 知， ， ， 。2xkZ02， 59经检验， ， ， 均不符合要求。1592 符合条件的 为 0，2，4，6，它们的和为 12。x8已知 为 上增函数，且对任意 ，都有 ，则 ()fRxR()34xf(2)f。【答案】 10【解答】依题意， 为常数。设 ，则 ， 。()3xf()xfm()4f()3xfm ， 。易知方程 有唯一解 。34m0m401 ， 。()1xf 21f49已知集合 的元素都
7、是整数，其中最小的为 1，最大的为 200。且除 1 以外， 中每A A一个数都等于 中某两个数（可以相同）的和。则 的最小值为 。 （符号A表示集合 中元素的个数）A【答案】 10【解答】易知集合 符合要求。此时，12350481602A， ， ， ， ， ， ， ， ，。10下面说明 不符合要求。9假设集合 ， 符合要求。1234567xx， ， ， ， ， ， ， ， 1234567xxx则 ， ， ， ， ， ， 。1x2384567128由于 ，因此， ， 。674890720x70同理，由 ，知， ， 。56361x 6165x由 ，知， ， 。45x65x52由 ，知， ， 与
8、为整数矛盾。38124542x44 不符合要求， 。同理， 也不符合要求。9A9A8A因此， 的最小值为 10。10已知函数 ，则函数*()1xfqpqNpqp， 若 为 无 理 数， 若 ， 其 中 ， ， 且 、 互 质 ，在区间 上的最大值为 。()fx78()9，【答案】 16【解答】若 为有理数，且 。设 （ ， ） ，x78()9x， 78()9ax， a*N由 知， ， 。789aa当 时， 不存在；1当 时，存在唯一的 ，此时 ， 。215a157x6()fx当 时，设 ，其中 ，且 ，此时 。37m*mN71()8mfx ，1619()(817)078(8)5 若 为有理数，
9、则 时， 取最大值 。x157x()fx167又 为无理数，且 时， 。8()9， 89f综合以上可知， 在区间 上的最大值为 。fx7， 167二、解答题（共 5 小题，每小题 20 分，满分 100 分。要求写出解题过程）11将各项均为正数的数列 排成如下所示的三角形数阵（第 行有 个数，同一行nan中，下标小的数排在左边） 。 表示数阵中，第 行、第 1 列的数。已知数列 为等比数bnnb列，且从第 3 行开始，各行均构成公差为 的等差数列（第 3 行的 3 个数构成公差为 的等d d差数列；第 4 行的 4 个数构成公差为 的等差数列，） ， ， ， 。1a1271834a（1）求数阵
10、中第 行、第 列的数 （用 、 表示） 。mn()Am，（2）求 的值；2013a（3）2013 是否在该数阵中？并说明理由。【解答】 （1）设 的公比为 。nbq依题意， 为数阵中第 5 行、第 2 列的数； 为数阵中第 6 行、第 3 列的数。2a18a ， ， ， 。 5 分1b1nq427ad5234qd ， ， 。d1n 。 10()()mmA，分（2）由 ， ， 知，13621953 2632016 39560为数阵中第 63 行，第 60 列的数。03a 。 15 分621（3）假设 2013 为数阵中第 行、第 列的数。mn 第 行中，最小的数为 ，最大的数为 ，m1212m
11、。11203由于 时， ，因此 不符合；903m0由于 时， ，因此 不符合；10411 上述不等式无正整数解。1a234567a8910a 6 2013 不在该数阵中。 20 分12已知 、 为抛物线 ： 上的两个动点，点 在第一象限，点 在第四象ABC24yxAB限。 、 分别过点 、 且与抛物线 相切， 为 、 的交点。1l2 P1l2（1）若直线 过抛物线 的焦点 ，求证：动点 在一条定直线上，并求此直线方F程；（2）设 、 为直线 、 与直线 的交点，求 面积的最小值。CD1l24xCD【解答】 （1）设 ， （ ） 。()4yA， 2()yB， 120y易知 斜率存在，设为 ，则
12、方程为 。1l1kl 11()4kx由 得， 212()4yyx221140y由直线 与抛物线 相切，知 。1lC2116()ky于是， ， 方程为 。1kyl12yxy同理， 方程为 。2l 22联立 、 方程可得点 坐标为 5 分1l2P122()4y， ， 方程为 ， 过抛物线 的焦点12124ABykyAB2114()yxABC。(10)F， ， 。211()yy24 ，点 在定直线 上。 10 分24PxP1x或解：设 ， ，则 方程为 ， 方程为 。1()Ay， 2()By， l12()yx2l22()yx 5 分设 ，则 ， 。0x， 101x2027 点 ， 坐标满足方程 。1
13、()Axy， 2()Bxy， 02()yx 直线 方程为 。0由直线 过点 ，知 。F， 0(1)x 。点 在定直线 上。 10 分0xP（2）由（1）知， 、 的坐标分别为 、 。CD18(4)2Cy， 281(4)Dy， 。11226(8()()2yy 。 15 分126(4PCDS设 （ ） ， ，21yt012ym由 知， ，当且仅当 时等号成立。221()()40tt120y 。2222(6)(16)(6)()4 8PCDtttttS设 ，则 。2(16)8tf2222()()(31)()8ttttf 时， ； 时， 。 在区间 上为减函430t(0ft43t()0ft()ft430
14、，数；在区间 上为增函数。， 时， 取最小值 。43t()ft12839 当 ， ，即 ， 时， 面积取最小值120y126y14y23PCD。12839 20 分813如图，在 中， ，它的内切圆分别与边 、 、 相切于点 、ABC 90BCAD、 ，连接 ，与内切圆相交于另一点 ，连接 、 、 、 、 。EFDPPEFE（1）求证： ；PE（2）若 ，求证： 。B F【解答】 （1）由条件知， ，又 。AFPDFAPD ， 。 5 分AFPD 同理，由 ， 知，EE， 。 AP ，AF 。EPFD 。 F 10 分（2） ，PEBC 。DED 。 15 分E9结合（1）可知， 。FPDC又
15、 ， ， 。 BPFA 、 、 、 四点共圆。PF又 ，90B ， 。 20 分C14已知 。1()2ln()()fxx（1）求 在区间 上的最小值；，（2）利用函数 的性质，求证： （ ，且()f 2(1)ln12l3ln *nN） ；n（3）求证： （ ，且 ） 。42223()ln1l3ln *N2【解答】 （1） 。232 211()(1)()()()xxxfx 时， ，即 在区间 上为增函数。x0f， 在区间 上的最小值为 。 5 分()f， (1)ln2f（2）由（1）知，对任意的实数 ， 恒成立。x11l 2ln0()x 对任意的正整数 ， ，即 恒成立。k12ln()0()kl
16、()kk 10 分 ， ， 。12ln()2l31()212ln()n 。1lln()3 。22ln32l1()n ，且 时， 。 15 分*N2(1)lnl3l（3）由柯西不等式知，10。22222 2(ln1l3ln)(11)(lnl3ln) 结合（2）的结论可知，当 ，且 时， 。*N 4422223(1)()lln3l 20 分15已知集合 。 ， 32776Pxabcabc， 其 中 ， ， 为 不 超 过 的 正 整 数 1x， ， 为集合 中构成等差数列的 个元素。求 的最大值。2x3n nn【解答】 （1）显然 1，2，3，4，5，6 这 6 个数在集合 中，且构成等差数列。P
17、 5 分（2）下面证明集合 中任意 7 个不同的数都不能构成等差数列。用反证法。P设 ， ， ， 为集合 中构成等差数列的 7 个不同的元素，其公差为 ，1x23x d。0d由集合 中元素的特性知，集合 中任意一个元素都不是 7 的倍数。 由抽屉原理知， ， ， ， 这 7 个数中，存在 2 个数，它们被 7 除的余1x23x数相同，其差能被 7 整除。设 （ ， ）能被 7 整除。则ij123456i， ， ， ， ， ， ， ij。7()jid 。 10 分设 （ 为正整数） ，m设 （ ， ， 为不超过 6 的正整数） 。321137xaa123a则 ，其中 ，3，7。7()i imi ， ，327661(1)xm ，即公差 只能为 ， ， 。 15 分d6 ， 。1m()1， ， ， 除以 7 以后的余数各不相同，分别为 1，2，6 中的一个。26因此，存在 ，使得 能被 7 整除，设 （ 为正整数）345k， ， ， ， ， 2ak7akt。则 323 3211312 137 ()()kxamkmta这样， 的 7 进制表示中，7 的系数（即从左到右第 2 位）为 0，与 矛盾。kxP 集合 中任意 7 个不同的数都不能构成等差数列。P 的最大值为 6。 20n分
