初中数学反思性教学的实践与研究.doc

1、 初中数学反思性教学的实践与研究 单位 : 天津市宝坻区 大白庄镇中学 姓名 :杨春发 1 初中数学反思性教学的 实践与 研究 论文提要 : 数学课程标准指出 :数学学习过程是学生自主体验调整、提升数学思维的过程。学生的数学 思想 、逻辑思维、情感态度都需要在反思中生成，继而 得到 全面提升的。反思式教学针对的是一种高级的思维活动， 即在教师的指导和学生的自主活动下， 促使学生从整体把握数学 问题的相关内容，对解决问题的思维过程进行细致的考察、分析与思考。 这就要求教师在教学过程中 ,把握学生的认知水平 ,从学生 的实际出发 ,适时适环境的引导学生反思 ,不走形式 ,不拖泥带水 。 努力让学生

2、 认识 问题的本质，探索解题规律，进而产生新的发现，优化学生的思维品质， 提升学生的数学能力。反思并不是一味的指导学生自我感悟，而是要在教学中抓住每一堂课的反思点，有效的进行反思式活动。 关键词 :反思 探究 感悟 思想 方法 数学课程标准指出：“ 学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。 ”窥一斑，学生这个亲历的过程正是数学教学的核心过程；知 全豹，有了它我们才能更好的引导学生形成一种数学思想。很多同学在学习数学 过程中都会产生 这样的疑惑： “老师一讲就会，并且感觉还很简单，等到自己解题

3、，总是无从下手。” 每每 看到学生面对练习题无从下手 时，我总会思考：“ 我们的学生见的题很多、很杂， 但题目稍加变化，解决起来就很困难。可见就题论题已不能满足课程标准对学生的要求。教学中一味的灌输思想方法，而不能给学生充足的时间去消化，不能让学生去亲身经历成功与失败，积累经验，学生就没有了感悟的过程 。 尤其现在的学生要面对的学科很多，如果把反思过程留到课下，对于大部分学生都是空 谈。 ” 学生只有真正理解才能深切感知，只有找准问题的切入点，才能用心去领会数学而这一切都源自于学生自我的一种数学反思，一种2 靠学生自主体验调整、提升数学思维的过程。数学家弗赖登塔尔指出：“反思是重要的思维活动，

4、它是思维活动的核心和动力”。不难看出，学生的数学 思想方法 、逻辑思维、情感态度都需要在反思中生成，继而全面提升的。 反思式教学针对的是一种高级的思维活动，在教师的指导和学生的自主活动下，它能促使学生从整体把握数学问题的相关内容，对解决问题的思维过程进行细致的考察、分析与思考，从而揭示问题的本质，探索解题 规律，进而产生新的发现，优化学生的思维品质，提升学生的数学能力。反思并不是一味的指导学生自我感悟，而是要在教学中抓住每一堂课的反思点，有效的进行反思式活动。下面结合一些具体的反思点，有针对性的进行反思式教学活动的论述。 一、反思错误类型，修正不足。 科 学家波普尔说：“错误中往往孕育着比正确

5、更丰富的发现和创造因素。” 在数学教学中错误是一种常见性问题，解决错误正是提升数学能力的重要因素。因此，我们要善于指导学生反思错误，弄清易犯错误的地方，对比自己当时和现在解决问题的结果和过程，找出错误根源，分析原因，提出改进 措施，明确正确的解题思路和方法。 学生在解题中出现的错误有知识性的，也有能力性的，因此在反思式教学中我们要给予学生充分的反思纠错时间 。 在平时的作业讲评或纸卷分析中，不仅指导学生认清错误的类型，还要学会分析错误的原因和由此得到的启发，并把它在 错题本 上记录下来。订正一道错题后应从以下几个角度反思： 1导致这种错误的原因是什么？ 2此类问题的解题思路是怎样的？应该从哪里

6、入手进行思考？ 3解题的关键或突破口是什么？ 4通过此题在知识上、技巧上、思维策略上有什么收获？ 3 5这种错误是常见的哪种类型？与哪些问题 类似？ 教给学生反思的方法是不够的，还要领着学生一起反思，如下面的一段课堂实例： 案例：计算 2222 xx ， 洪岩 同学 的解法：原式 =2 84242)2(2)2( xxxx 显然做法有问题，同学们共同思考，错误的原因是什么？（ 张冠李戴了，把分式运算当成了解方程。 ）；此类问题 应该从哪里入手？（分式运算的步骤应先通分）；集体的关键是什么？（确定最简公分母）；解题的收获有哪些？（ 审题要认真，明确要考查的内容再解题 ） 。 长期这样的坚持，学生会

7、把“错误反思”当成一种不自觉的思 维活动。 二、反思所学知识，力求全面。 如在复习三角形 这部分内容时，同学们对三角形的三线（高线、角平分线、中线）无论画法还是性质都特别熟悉 。 对于三角形的分类，以及每一种三角形的性质 认识的都很清楚，但在这些基础知识掌握很到位的前提下，做题还是出错。 例：已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角等于 多少度？ 李波同学板演 ：如图 1， 作 ABCD ,21, ACCDABCD 30A DCBADCBA（图 1） （图 2） 教师：刚才同学无论从画图，还是叙述思路都很清晰，同意这个结论请举手。（全班4 共 33 人，有 17 位同学举手）没举手的同学

8、谈一下自己的看法 。 张美婷同学：除了李波所写的，我还画了钝角 ABC （图 2），结论是 150 。 教师：两位同学的说法大家都听到了，谁说得更加全面？ 同学们恍然大悟，一致认为张美 婷的说法对 。 教师：是的，这道题应该两种情况 150 和 30 。做错的同学我们共同反思一下解题的过程，首先，重温题目“等腰三角形” 如何理解？ 学生：没有告诉是是锐角三角形还是钝角三角形，所以要有两种情况。 教师：不及如此，大家都知道三角形按角分类：锐角三角形、钝角三角形、直角三角形 ，部分同学习惯了画锐角三角形，所以丢了一种情况。其实这道题我们三种三角形都要考虑，只不过等腰直角三角形这种情况不成立。以后我

9、们在解题过程中一定要力求全面。 学生补全解题过程： 解：（ 1）当 ABC 是锐角三角形时（如图 1）， ,21, ACCDABCD 30A 。 （ 2）当 ABC 为钝角三角形时（如图 2） ,21, ACCDABCD 30DAC ， 150BAC 。 通过此题的进一步 反思 ，充分激发了学生求知、求思的积极性和主动性的同时，达到了自我认识的教育目的，也唤醒了学生要真正理解所学的概念、定理、法则等知识的深入理解，促成其全面思考、善于分析的习惯的养成。 三、反思隐含条件，提升思维。 解数学题时往往有这么一种现象： 对有一些含有 隐含 条件的问题简单易解，但结果 却是错误的 ， 原因是没有充分考

10、虑条件中隐含的深层含义，挖掘所有的内容。如学习了一5 元二次方程根与系数的关系后，很多学生在下例中出现错误：已知关于 x 的方程0)2(2 22 mxmx ，问是否存在实数 m 使方程的两个实数根的平方和等于 56 ，若存在，求出 m 的值，若不存在，请说明理由。 学生 错解：存在 。 设此一元二次方程的两根分别为 1x 和 2x 4221 mxx ， 221 mxx 562221 xx 562)( 21221 xxxx ， 562)42( 22 mm ， 2,10 21 mm 教师引导学生反思过程： 学生思考：一元二次方程中我们研究“根与系数关系”的前提是什么？（给学生一定的时间思考，然后同

11、桌之间进行讨论。） 几位同学表达自己的看法后，总结得出：一元二次方程要有实数根，即 0 。 教师进一步追问：此方程的实数根是否直接给出 ？（显然没有）我们直接假设出方程的实数根为 1x 和 2x ，进而直接找到根与系数的关系，求出了 m 的值。 学生 反思 ： 在解题的过程中我们是否忽略什么？（思考后，同学间讨论 得出结论：忽略了 0 这个前提 ） 教师提问：如何能够保证 0 这个前提呢？（学生思考了 5 分钟 左右） 总结学生的说法： 在假设此方程的根为 1x 和 2x 之前，先要利用 0 这个前提求出 m 的取值范围1m ，然后再利用根与系数的关系求出 2,10 21 mm ，从而确定 2

12、m 。 我们直接假设出方程的实数根为 1x 和 2x ，然后再利用根与系数的关系求出6 2,10 21 mm 后，把求得的 m 值带入 检验， 101m 不能满足 0 ， 22 m 能满足0 ，所以 2m 。 学 生活动：验证两种说法那一种更加实用。（学生倾向于第二种方法的居多） 教师总结：提倡使用第二种方法，因为利用 0 求出 m 的取值范围有时会遇到一元二次不等式，对于部分同学会有困难，所以我们还是提倡带入的方法。 正确的解题过程： 解：设此一元二次方程的两根分别为 1x 和 2x 4221 mxx ， 221 mxx 562221 xx 562)( 21221 xxxx ， 562)42

13、( 22 mm ， 2,10 21 mm 当 101m 时 0, 当 22 m , 0 2m 通过 反思教学指导，学生们发现了错误的原因 ，即“忘记了判别式 0 时，方程才有两个实数根”的隐含条件。“吃一堑，长一智”，从错误中得到的教训，更能让人牢记于心。 四、反思解题规律，学会钻研。 数学问题普遍存在外在或内在的规律，因此当一个问题解决后，要不失时机地引导学生反思解题方法，认真总结解题规律，从解决问题中找出新的一般性的规律，积累解决问题的经验，帮助今后的问题解决，提高解题能力。 教学案例： 例 1.求证：不论 m 取任 何实数，二次函数 mxmxy )4(2 的图像一定与 x 轴有两7 个交

14、点。 教师提问：如何保证二次函数的图像与 x 轴有两个交点 ？ 学生回答： 需 证明 0 。 学生活动：验证 0 。（在巡视的过程中发现有的同学直接让 0 ，教师直接指正；还有的同学 写到 1642 mm 就无从下手了。） 学生思考：我们想证明什么？（ 0 ，即 1642 mm 0 ）怎样才能满足 1642 mm 0 呢？（给学生 4 分钟 的思考时间） 学生发表见解： 12)2(164 22 mmm ， 12)2( 2 m 0 ，即 0 ，所以 不论 m 取任何实数，二次函数 mxmxy )4(2 的图像一定与 x 轴有两个交点。 教 师总结： 二次函数与 x 轴的交点个数由判别式 的取值范

15、围来决定。此题需证明出 0 ， 即 1642 mm 0 ，必须能够将它转化成 “完全平方 +正数 ” 的形式 例 2.对于分式 kxx 612，无论 x 取 任意实数，此分式都有意义，求 k 的取值范围。 教学过程 : 教师提问 :分式有意义需满足的条件是什么 ? 学生 :分母不等于 0。 学生活动： 如何保证分母 062 kxx ，动手操作后同学间讨论。 教室走下讲台发现大部分同学不能完成，教师引导学生思考： 062 kxx 我们如何理解？ 学生回答： kxx 62 0 或 kxx 62 0 学生活动：探究怎样满足 kxx 62 0 或 kxx 62 0 。 教师在巡视的过程中发现 ：大部分

16、学生在例 1 的基础上能够明确，要想 kxx 62 0 ， k 的取值就必须满足 kxx 62 能够转化成“完全平方 +正数 ” 的形式 ， 从而得出 k 9。8 但对于 kxx 62 0 对于初中的同学就难以解决 。 为解决这个难题，使学生通过以上训练能够感悟到一定的规律，我们变换了一种解题方式。 要想 062 kxx ，我们可以从问题的反面出发，探讨当 k 取 何值时能够满足存在实数 x 使 062 kxx ，从而利用 0 得出 k 9，进一步得出要想 062 kxx 就需要 k 9 学生对照教师的讲解，结合自己的做法反思后得出：在初中范围内要想使062 kxx 只需令 kxx 62 0

17、就可以了。 我们 不失时机地引导学生反思透过事物表面现象，洞察本质，探索解题规律，这样才可以指导学生在反思中深入探究数学世界，提升学生解决问题的能力。 五、反思思维过程，活跃思维。 反思式教学，不是简单的回顾或总结 ,而应根据题目的基本特征与特殊因素 ,进行多角度、全 方位的观察、联想。反思自己的解答是否有错，错误的原因是什么？ 争取探究一下新的思路，如果还有思路则应分析比较 ,找出最佳解题方法 ,这样可以使学生思维的灵活性在变换和化归的训练中得到提升 和发展。 如：二次方程 02 cbxax ，两实根的平方和为 m ，两根和为 n ，试 求 cbnam 2的值。 对于此题，很多学生在练习时，

18、没有清晰的思路，有些学生考虑了根与系数的关系，虽然能解出此题，但过程较为繁琐。于是在点评时， 我 鼓励大家反思题目已知及所求目标的特征，比较所求目标 cbnam 2 与方程 02 cbxax ，就会发现它们中 a 、 b 、 c 出现的顺序完全一致，只是目标中 c 的系数为 2，方程中 c 的系数为 1，而从 1到 2 的最简单的方法就是加法。经过如此反思、探索，基础较好的学生马上顿悟过来，为什么不利用方9 程根的定义来解决这一问题呢？于是得到如下简捷的求法。 解：设方程的两根分别为 1x 和 2x ， 则有 0121 cbxax 0222 cbxax ，式 +式得： 02)()( 21222

19、1 cxxbxxa ， 而由已知得： nxxmxx 212221 , ， 02 cbnam . 通过对解题思维的反思，重新审查题意，更正确、完整、深刻地理解了题目的条件和结论，激活了学生的思维，开阔了思路。使各种技能与方法相互渗透，使较多的知识点得到了复习巩固，使学生的解题能力得到了提升、发展。 六、反思题目特征，培养 发散 思维 。 反思题目特征，我们可以引导学生从不同角度和 不同 层面认识解决问题。通过反思题目特征，学生可以进行具体的分析和知识的拓宽，不仅能温故 知新，而且能更好的培养学生的发散思维。特别在上复习课时，我们不是眉毛胡子一把抓，而是轻重得体， 把教学目标确定在重点知识的深度和

20、广度上，培养学生举一反三的思维品质，训练学生发散思维的能力和应变能力。 例：如图 ,在 ABC 中， A 的平分线 AD 交 BC 于 D ， O 过点 A ，且和 BC 切于点 D ，和 AB 、 AC 分别交于点 E 、 F . 求证： EF BC . 学生活动： 总结 题目的条件及结论： （ 1） A 的平分线 AD ； (2) A 、 E 、 F 、 D 共圆； （ 3） O和 BC 切于点 D ； （ 4） EF BC . 教师指导：改编试题最重要的是透彻理解题目，通过图形明确点、线、角、三角形、四边形、圆等图形间的关系以及内在的联系。条件重组是试题改编的好方法 ，但改编试题AOFEDCB