1、1yOx2001 年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)(1)设 ( 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的12(sincos)xyeCx12C通解,则该方程为_.(2)设 ,则 div(gradr) =_.22zr )2,1(3)交换二次积分的积分次序: _.012ydxfd(4)设矩阵 满足 ,其中 为单位矩阵,则 =_.A24E1()AE(5)设随机变量 的方差是 ,则根据切比雪夫不等式有估计X 2)(XEP_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)(1)设函数 在定义
2、域内可导, 的图形如右图所示,)(xf )(xfy则 的图形为y(2)设 在点 附近有定义,且 ,则),yxf(0) 1)0(,3)0(yxff(A) .(0,)|3zdd(B) 曲面 在 处的法向量为3,1,1.,yxf(,)f(C) 曲线 在 处0)z,0,f的切向量为1,0,3.2(D) 曲线 在 处的切向量为3,0,1.0),(yxfz,(0,)f(3)设 ,则 在 =0 处可导的充要条件为f)(xf(A) 存在. (B) 存在.201limcoshh01lim()hhfe(C) 存在. (D) 存在.(in)f 2(f(4)设 则 与140,ABAB(A) 合同且相似. (B) 合同
3、但不相似.(C) 不合同但相似. (D) 不合同且不相似.(5)将一枚硬币重复掷 n 次,以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则 X 和 Y 的相关系数等于(A)-1. (B) 0. (C) . (D) 1.12三、(本题满分 6 分)求 .dxe2arctn四、(本题满分 6 分)设函数 在点 处可微,且 , , ,(yxfz(1)(1)f(1,)|2fx(1,)|3fy(,xf.求 .(,)fx13)xd五、(本题满分 8 分)设 = 将 展开成 的幂级数,并求级数 的和.)xf210,arctn,xx)(fx124)(nn3六、(本题满分 7 分)计算 ,其中 是平面 与
4、柱dzyxdzdxyIL )3()2( 22 L2zyx面 的交线,从 轴正向看去, 为逆时针方向.1xZL七、(本题满分 7 分)设 在 内具有二阶连续导数且 ,试证:)xf(,0)(xf(1)对于 内的任一 ,存在惟一的 ,使 = + 成立;10x1)(xf0)(xf(2) .0lim()2x八、(本题满分 8 分)设有一高度为 ( 为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程 (设ht )(2)2thyxtz长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为 0.9),问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?九、(本题满分 6 分)设 为线性方程组 的一个
5、基础解系, , ,s,21 0Ax12t123t,其中 为实常数.试问 满足什么条件时, 也为 的一个sst21t21t s, 0Ax基础解系.十、(本题满分 8 分)已知 3 阶矩阵 与三维向量 ,使得向量组 线性无关,且满足 .Ax2,xAxAx23(1)记 =（ ）,求 3 阶矩阵 ,使 ;Px2, B1P(2)计算行列式 .E十一、(本题满分 7 分)设某班车起点站上客人数 服从参数为 ( )的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为X0( ),且中途下车与否相互独立.以 表p01Y示在中途下车的人数,求:4(1)在发车时有 个乘客的条件下,中途有 人下车的概率;nm(2)二维随机变量 的
6、概率分布.()XY十二、(本题满分 7 分)设总体 服从正态分布 ( ),从该总体中抽取简单随机样本 , , (2,N012X n),其样本均值为 ,求统计量 的数学期望 .2nniiX1niiniXY12)( )EY2001 年考研数学一试题答案与解析一、填空题(1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的两个根是 ,从而得知特征方程为12,ri.2112()()0rrr由此,所求微分方程为 .0y(2)【分析】 先求 gradr.gradr= .,rxyzxyzr再求 divgradr= ()()rz= .22222333311()()()xyxyzrrr于是 divgradr| = .(1,
7、2)(1,2)|(3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为 时10y5.由此看出二次积分 是二重积分的一个累次12y021(,)ydfx积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为.021(,)(,)yDffyd由累次积分的内外层积分限可确定积分区域 :.0,2x见图.现可交换积分次序原式= .02202111 0(,)(,)(,)xy xdfdfydfyd (4)【分析】 矩阵 的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用A定义法.因为 ,2()240EAE故 ,即 .2()按定义知 .1()()2A(5)【分析】 根据切比雪夫不等式,2()()Dx
8、PXE于是 .1二、选择题(1)【分析】 当 时, 单调增 ,(A),(C)不对;0x()f0fx当 时, :增减增 :正负正,(B)不对,(D)对.f 应选(D).(2)【分析】 我们逐一分析.关于(A),涉及可微与可偏导的关系.由 在(0,0)存在两个偏导数 在(0,0)处可(,)fxy(,)fxy微.因此(A)不一定成立.6关于(B)只能假设 在(0,0)存在偏导数 ,不保证曲面 在(,)fxy(0,)()ffxy(,)zfxy存在切平面.若存在时,法向量 n= 3,1,-1与3,1,1不(0,)f (,)(,)1ff， ，共线,因而(B)不成立.关于(C),该曲线的参数方程为 它在点
9、处的切向量为,0(,)xtyzft(0,)f.0,0(,)|1,1,3txdtf因此,(C)成立.(3)【分析】 当 时, .()f0()()limxff00()()lilimxxff关于(A): ,2 20 011cos1()limcos cosli2hh thft 由此可知 .()f()f若 在 可导 (A)成立,反之若(A)成立 .如 满()fx(0)f()f()|fx足(A),但 不 .0关于(D):若 在 可导,()fx0.001(2)lim(2)lim2(0)hhffhff ff(D)成立.反之(D)成立 在 连续, 在 可0lih fxx0导.如 满足(D),但 在 处不连续,因
10、而 也不 .1,0xf ()f (0)f再看(C):(当它们都 时).2 2 200 0sin(si)sin)limsin)limlimhh hf ftf注意,易求得 .因而,若 (C)成立.反之若(C)成立 (即2)f0litf).因为只要 有界,任有(C)成立,如(fft 满足(C),但 不 .|fx()f7因此,只能选(B).(4)【分析】 由 ,知矩阵 的特征值是 4,0,0,0.又因 是实对称矩阵,43|0EAAA必能相似对角化,所以 与对角矩阵 相似.AB作为实对称矩阵,当 时,知 与 有相同的特征值,从而二次型 与 有相同的: TxBx正负惯性指数,因此 与 合同.所以本题应当选
11、(A).注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如与 ,102103B它们的特征值不同,故 与 不相似,但它们的正惯性指数均为 2,负惯性指数均为 0.所以 与 合A AB同.(5)【分析】 解本题的关键是明确 和 的关系: ,即 ,在此基础上利用性质:XYnYX相关系数 的绝对值等于 1 的充要条件是随机变量 与 之间存在线性关系,即 (其XY Yab中 是常数),且当 时, ;当 时, ,由此便知 ,应选(A).ab0aXY0a1XY1X事实上, , ,由此由相关系数的定()(,)CovvnD()nD义式有 .1XY Y三、 【解】 原式= 2221arctn()arc
12、tn2 (1)xxxxdeede = 22(rt )1xxxxde8= .21(arctnarctn)xxxeeC四、 【解】 先求 .(),()(1,)ff求 ,归结为求 .由复合函数求导法321| 3xd (, 12(),(),)()dfxfxfx. 12,(,f注意 , .1()(,)2ffx )3fy因此 , . 3()1731(|75xd五、 【分析与求解】 关键是将 展成幂级数,然后约去因子 ,再乘上 并化简即可.arctnx 21x直接将 展开办不到,但 易展开,即arctnx(), 2201(t)(,|1nxx积分得 , . 2210 00()arctn(arctn)()nx
13、xndtdx,因为右端积分在 时均收敛,又 在 连续,所以展开式在收敛区间端点1arc成立.1x现将式两边同乘以 得2x2 22220001(1)(1)(1)arctn(nnnx xxx=12200)()nn9= 211()2nnx, ,214nx 10x上式右端当 时取值为 1,于是0x.21()(),nfx上式中令 .1x2 1()()442nnf六、 【解】 用斯托克斯公式来计算.记 为平面 上 所SxyzL为围部分.由 的定向,按右手法则 取上侧, 的单位法向量L.1(coscs)(,)3n于是由斯托克斯公式得 222sscos3SI dSxyzyzxy= 111(4)(6)(2)3S
14、zxydS= .2(3)()(6)3S SxydSyzxy利于是 .211xyZ按第一类曲面积分化为二重积分得,(6)32(6)3DDIdxyxyd其中 围 在 平面上的投影区域 (图）.由 关于 轴的对称性及被积函数的奇DSxy|1,10偶性得 ()0Dxyd.2121()4I 七、 【证明】 (1)由拉格朗日中值定理, , ,使()x0,(1)(0)fxf( 与 有关);又由 连续而 , 在 不变号, 在 严格单调,x x()f1()fx唯一.(2)对 使用 的定义.由题(1)中的式子先解出 ,则有)f0f ()f. xf再改写成 . ()0()()0fxfff, 2()()fxfffx解出 ,令 取极限得0x. 2 0 01(0)()0()()2limli /limxx x fffffx 八、 【解】 (1)设 时刻雪堆的体积为 ,侧面积为 . 时刻雪堆形状如图所示t()Vt()St先求 与 .SV侧面方程是 .2 22()()(,:xyxyhtzht Dt.44,()()zxtyht
