1、概率论与数理统计试题(A)一 、 判断题(本题共 15 分,每小题 3 分。正确打“” ,错误打“” ) 对任意事件 A 和 B,必有 P(AB)=P(A)P(B) ( ) 设 A、B 是 中的随机事件,则(AB)-B=A ( ) 若 X 服从参数为 的普哇松分布,则 EX=DX ( ) 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 ( ) 样本方差 = 是母体方差 DX 的无偏估计 ( )2nS12)(Xii二 、 (20 分)设 A、B、C 是 中的随机事件,将下列事件用 A、B、C 表示出来(1)仅 发生,B、C 都不发生;(2) 中至少有两个发生;,(3) 中不多于两个发生;(4) 中恰有两
2、个发生;,(5) 中至多有一个发生。A三、 (15 分) 把长为 的棒任意折成三段,求它们可以构成三角形的概率.a四、 (10 分) 已知离散型随机变量 的分布列为X21031565XP求 的分布列.2Y五、 (10 分)设随机变量 具有密度函数 , x ,|()2xfe求 X 的数学期望和方差.六、 (15 分)某保险公司多年的资料表明,在索赔户中,被盗索赔户占 20%,以 表示在随机抽查 100 个索赔户中因X被盗而向保险公司索赔的户数,求 .(1430)PXx 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999
3、七、 (15 分)设 是来自几何分布12,nX,1()(),201kPkpp的样本,试求未知参数 的极大似然估计.概率论与数理统计试题(A)评分标准一 ; ; ; ; 。二 解 (1) BC(2) 或 ;ABCABC(3) 或 ;AB(4) ;(5) 或每小题 4 分;三 解 设 三段可构成三角形 ,又三段的长分别为 ,则 ,A,xyay0,0xayxya不等式构成平面域 .-5 分S发生A0,22ax不等式确定 的子域 ,-10 分SA所以-15 分1()4P的 面 积的 面 积四 解 的分布列为Y.01497530PY 的取值正确得 2 分,分布列对一组得 2 分;五 解 , (因为被积函
4、数为奇函数)-4 分|1xEXed22| 20xxDeded0xe-10 分22.xe六 解 Xb(k;100,0.20), EX=1000.2=20, DX=1000.20.8=16.-5 分-10 分30140(14)()()6P2.5.=0.994+0.933-1.-15 分0.97七 解 -5 分1111(,;)()()niin xxnniLxpp1lll,niiX-10 分l 0,iidLpp解似然方程S0a/2a/2aaA,1niiXp得 的极大似然估计。-15 分概率论与数理统计期末试题(2)与解答一、填空题(每小题 3 分,共 15 分)1 设事件 仅发生一个的概率为 0.3,
5、且 ,则 至少有一个不发生的概率为_.BA, 5.0)(BPAA,2 设随机变量 服从泊松分布,且 ,则 _.X24)1(X)3(3 设随机变量 在区间 上服从均匀分布,则随机变量 在区间 内的概率密度为)2,0( Y4,0_.)(yfY4 设随机变量 相互独立,且均服从参数为 的指数分布, ,则 _,, 2)1(e=_.1minP5 设总体 的概率密度为X.其 它,0,1,)()xxf是来自 的样本,则未知参数 的极大似然估计量为_.n,21解:1 3.)(BAP即 )(25.0)()(3.0 ABPBPA所以 1.90)( 2 eXeXPX 2)(,)1(0由 知 22(4)1(即 2 解
6、得 ,故.16)3(e3设 的分布函数为 的分布函数为 ,密度为 则Y(),YFyX()XFx()Xfx2()FyPPyy因为 ,所以 ,即0,XU0Y故1,04,14()()()2.YXyfyFfy其 它另解 在 上函数 严格单调,反函数为(0,2)2xh所以 1,04,4()2.YX yfyfy其 它4 ,故 2(1)(1PXemin,min(,)1YP(1)(PY.45似然函数为 1 11(,;)()(),)nni niLxxx lllnii10iidx解似然方程得 的极大似然估计为.1lniix二、单项选择题(每小题 3 分,共 15 分)1设 为三个事件,且 相互独立,则以下结论中不
7、正确的是,ABC,AB(A)若 ,则 与 也独立.()1PC(B)若 ,则 与 也独立.(C)若 ,则 与 也独立.0(D)若 ,则 与 也独立. ( )2设随机变量 的分布函数为 ,则 的值为(,1)XN()x(|2)PX(A) . (B) .1221(C) . (D) . ( ))3设随机变量 和 不相关,则下列结论中正确的是Y(A) 与 独立. (B) .()YD(C) . (D) . ( )()DXX4设离散型随机变量 和 的联合概率分布为(,)1,(2)1,3(,)2,(,3)698YP若 独立,则 的值为,X,(A) . (A ) . 21912,9(C) (D) . ( ),65
8、85设总体 的数学期望为 为来自 的样本,则下列结论中X12,nX X正确的是(A) 是 的无偏估计量 . (B) 是 的极大似然估计量.1X1X(C) 是 的相合(一致)估计量 . (D) 不是 的估计量. ( )解:1因为概率为 1 的事件和概率为 0 的事件与任何事件独立,所以(A) , (B) , (C)都是正确的,只能选(D).事实上由图 可见 A 与 C 不独立.2 所以(0,1)XN(|2)1(|2)1(2)PXPX应选(A).3由不相关的等价条件知应选(B).4若 独立则有,Y(2,)(2)XYY11393, 2故应选(A ).5 ,所以 是 的无偏估计,应选(A).1EX1三
9、、 (7 分)已知一批产品中 90%是合格品,检查时,一个合格品被误认为是次品的概率为 0.05,一个次品被误认为是合格品的概率为 0.02,求(1)一个产品经检查后被认为是合格品的概率;(2)一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解:设 任取一产品,经检验认为是合格品A任取一产品确是合格品B则(1) ()(|)(|)PABP0.95.102.857(2) .9|()四、 (12 分)从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是 2/5. 设 为途中遇到红灯的次数,求 的分布列、分布函数、数学期望和方差.XX解: 的概率分布为
10、332()()0,12.5kkPC即 01374682251的分布函数为XSA BC123169833298YX0,271158(),2,7,3,125.xFxxx63,EX.2185D五、 (10 分)设二维随机变量 在区域 上服从均匀分布. 求(1)(,)XY(,)|0,1Dxyxy关于 的边缘概率密度;(2) 的分布函数与概率密度 .(,)YZXY解: (1) 的概率密度为,2,()(,)0.xyfxy其 它,01()(,)X xffd其 它(2)利用公式 (),Zfzxz其中 2,01(, xfx其 它 2,01,.xz其 它当 或 时0z1()Zfz时 0022zdx故 的概率密度为
11、Z,1,()0zf其 它 .的分布函数为Z20, ,0,()()2,11,.1,zzZZ zffydyz或利用分布函数法10,()()21,.Z DzFzPzXYzdxyz20,1,.zzxz z=x1D0 1z xyx+y=1x+y=zD12,01,()ZzfzF其 它 .六、 (10 分)向一目标射击,目标中心为坐标原点,已知命中点的横坐标 和纵坐标 相互独立,且均服从XY分布. 求(1)命中环形区域 的概率;(2)命中点到目标中心距离2(0,)N 2(,)|1Dxy的数学期望.ZXY解: (1) ,)(,)DPXYfd2 228 8014xy rDede;2288211()rr(2)22
12、28() xyEZXYxed2 22880 0184r red. 22 28 801rr red七、 (11 分)设某机器生产的零件长度(单位:cm) ,今抽取容量为 16 的样本,测得样本均值2(,)XN,样本方差 . (1)求 的置信度为 0.95 的置信区间;(2)检验假设 (显著性水10x26s 20:.1H平为 0.05).(附注) 0.50.50.25().74,().73,(1).3,ttt22. . .94967.48解:(1) 的置信度为 下的置信区间为1/2/2(),(1)ssXtnXtn0.510,.4,16,.32s所以 的置信度为 0.95 的置信区间为(9.7868
13、,10.2132)(2) 的拒绝域为 .20:.H2(1)n,15.64.S0.54.96因为 ,所以接受 .22.49()0Hxy0 1 2概率论与数理统计期末试题(3)与解答一、填空题(每小题 3 分,共 15 分)(1) 设事件 与 相互独立,事件 与 互不相容,事件 与 互不相容,且 ,ABBCAC()0.5PAB,则事件 、 、 中仅 发生或仅 不发生的概率为_.()0.2PC(2) 甲盒中有 2 个白球和 3 个黑球,乙盒中有 3 个白球和 2 个黑球,今从每个盒中各取 2 个球,发现它们是同一颜色的,则这颜色是黑色的概率为_.(3) 设随机变量 的概率密度为 现对 进行四次独立重
14、复观察,用 表示观察值不大于X2,01,()xf其 它 XY0.5 的次数,则 _.2EY(4) 设二维离散型随机变量 的分布列为(,)(,)10(2,0)(,1).4.Pab若 ,则 _.8XCov(,)X(5) 设 是总体 的样本, 是样本方差,若 ,则 _.1217, N2S2()0.1PSaa(注: , , , )0.()3.20.53.70.1(6)3.0.5634解:(1) )()ABPABC因为 与 不相容, 与 不相容,所以 ,故,BAC同理 .C.()()0.25.04P(2)设 四个球是同一颜色的 ,四个球都是白球 , 四个球都是黑球1B2B则 .2A所求概率为 21()(
15、)(|)PAP223315 5(),(100CCPBB 所以 .2|)(3) (4,Yp其中 ,10.520.)4PXxd,13,44ED.22()1Y(4) 的分布为,XXY 1 20 0.4 0.1 0.51 0.2 0.3 0.50.6 0.4这是因为 ,由 得 0.4ab0.8EXY.20.8b,3,.62.1EX.5故 .cov(,)71(5)240.SPSaa即 ,亦即 .20.1(6)38a二、单项选择题(每小题 3 分,共 15 分)(1)设 、 、 为三个事件, 且 ,则有ABC()0PAB(|)1CAB(A) (B)()1.P.P(C) (D) ( )(2)设随机变量 的概
16、率密度为X2()41(),xfxex且 ,则在下列各组数中应取(0,1)YabN(A) (B)/2,. /,.ab(C) . (D) ( )2(3)设随机变量 与 相互独立,其概率分布分别为X01.46P01.46YP则有(A) (B)().Y().5X(C) (D) ( )052X1Y(4)对任意随机变量 ,若 存在,则 等于EE(A) (B) (C) (D) ( ).3().(5)设 为正态总体 的一个样本, 表示样本均值,则 的12,nx (,4)Nx置信度为 的置信区间为(A) /2/24(,).uxun(B) 1/ /,.x(C) (,).uxn(D) ( )/2/2,.un解 (1
17、)由 知 ,故(|)1PAB()()CPAB()CPAB) 1应选 C.(2)22()()4() xxfxee即 2,)XN故当 时 12,ab(0,1)YaXbN应选 B.(3) ()(0,)(1,)PXYP.4.60.52应选 C.(4) ()E应选 C.(5)因为方差已知,所以 的置信区间为/2/2(,)Xuunn应选 D.三、 (8 分)装有 10 件某产品(其中一等品 5 件,二等品 3 件,三等品 2 件)的箱子中丢失一件产品,但不知是几等品,今从箱中任取 2 件产品,结果都是一等品,求丢失的也是一等品的概率。解:设 从箱中任取 2 件都是一等品A丢失 等号 .iBi1,3i则 112233()(|)(|)(|)PBPABPAB;255499930C所求概率为 .111()|)(| 8A四、 (10 分)设随机变量 的概率密度为X1,02,().axf其 它求(1)常数 ; (2) 的分布函数 ; (3)aF(3)PX解:(1) 2200()(1)()fxdaxdx 2(2) 的分布函数为X0,0,()()(1),22,.xxxuFfudd20,41,.xx(3) .3211()()()4xPxfdd五、 (12 分)设 的概率密度为,XY