1、概率论与数理统计试题（A）一 、 判断题（本题共 15 分，每小题 3 分。正确打“” ，错误打“” ） 对任意事件 A 和 B，必有 P(AB)=P(A)P(B) ( ) 设 A、B 是 中的随机事件,则(AB)-B=A ( ) 若 X 服从参数为 的普哇松分布，则 EX=DX ( ) 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） 样本方差 = 是母体方差 DX 的无偏估计 （ ）2nS12)(Xii二 、 （20 分）设 A、B、C 是 中的随机事件，将下列事件用 A、B、C 表示出来（1）仅 发生，B、C 都不发生；（2） 中至少有两个发生；,（3） 中不多于两个发生；（4） 中恰有两
2、个发生；,（5） 中至多有一个发生。A三、 （15 分） 把长为 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率.a四、 （10 分） 已知离散型随机变量 的分布列为X21031565XP求 的分布列.2Y五、 （10 分）设随机变量 具有密度函数 ， x ，|()2xfe求 X 的数学期望和方差.六、 （15 分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占 20%，以 表示在随机抽查 100 个索赔户中因X被盗而向保险公司索赔的户数，求 .(1430)PXx 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999
3、七、 （15 分）设 是来自几何分布12,nX，1()(),201kPkpp的样本，试求未知参数 的极大似然估计.概率论与数理统计试题（A）评分标准一 ； ； ； ； 。二 解 （1） BC（2） 或 ；ABCABC（3） 或 ；AB（4） ；（5） 或每小题 4 分；三 解 设 三段可构成三角形 ，又三段的长分别为 ，则 ，A,xyay0,0xayxya不等式构成平面域 .-5 分S发生A0,22ax不等式确定 的子域 ，-10 分SA所以-15 分1()4P的 面 积的 面 积四 解 的分布列为Y.01497530PY 的取值正确得 2 分，分布列对一组得 2 分；五 解 ， （因为被积函
4、数为奇函数）-4 分|1xEXed22| 20xxDeded0xe-10 分22.xe六 解 Xb(k;100,0.20), EX=1000.2=20, DX=1000.20.8=16.-5 分-10 分30140(14)()()6P2.5.=0.994+0.933-1.-15 分0.97七 解 -5 分1111(,;)()()niin xxnniLxpp1lll,niiX-10 分l 0,iidLpp解似然方程S0a/2a/2aaA，1niiXp得 的极大似然估计。-15 分概率论与数理统计期末试题（2）与解答一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）1 设事件 仅发生一个的概率为 0.3，
5、且 ，则 至少有一个不发生的概率为_.BA, 5.0)(BPAA,2 设随机变量 服从泊松分布，且 ，则 _.X24)1(X)3(3 设随机变量 在区间 上服从均匀分布，则随机变量 在区间 内的概率密度为)2,0( Y4,0_.)(yfY4 设随机变量 相互独立，且均服从参数为 的指数分布， ，则 _，, 2)1(e=_.1minP5 设总体 的概率密度为X.其 它,0,1,)()xxf是来自 的样本，则未知参数 的极大似然估计量为_.n,21解：1 3.)(BAP即 )(25.0)()(3.0 ABPBPA所以 1.90)( 2 eXeXPX 2)(,)1(0由 知 22(4)1(即 2 解
6、得 ，故.16)3(e3设 的分布函数为 的分布函数为 ，密度为 则Y(),YFyX()XFx()Xfx2()FyPPyy因为 ，所以 ，即0,XU0Y故1,04,14()()()2.YXyfyFfy其 它另解 在 上函数 严格单调，反函数为(0,2)2xh所以 1,04,4()2.YX yfyfy其 它4 ，故 2(1)(1PXemin,min(,)1YP(1)(PY.45似然函数为 1 11(,;)()(),)nni niLxxx lllnii10iidx解似然方程得 的极大似然估计为.1lniix二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1设 为三个事件，且 相互独立，则以下结论中不
7、正确的是,ABC,AB（A）若 ，则 与 也独立.()1PC（B）若 ，则 与 也独立.（C）若 ，则 与 也独立.0（D）若 ，则 与 也独立. （ ）2设随机变量 的分布函数为 ，则 的值为(,1)XN()x(|2)PX（A） . （B） .1221（C） . （D） . （ ）)3设随机变量 和 不相关，则下列结论中正确的是Y（A） 与 独立. （B） .()YD（C） . （D） . （ ）()DXX4设离散型随机变量 和 的联合概率分布为(,)1,(2)1,3(,)2,(,3)698YP若 独立，则 的值为,X,（A） . （A ） . 21912,9（C） （D） . （ ）,65
8、85设总体 的数学期望为 为来自 的样本，则下列结论中X12,nX X正确的是（A） 是 的无偏估计量 . （B） 是 的极大似然估计量.1X1X（C） 是 的相合（一致）估计量 . （D） 不是 的估计量. （ ）解：1因为概率为 1 的事件和概率为 0 的事件与任何事件独立，所以（A） ， （B） ， （C）都是正确的，只能选（D）.事实上由图 可见 A 与 C 不独立.2 所以(0,1)XN(|2)1(|2)1(2)PXPX应选（A）.3由不相关的等价条件知应选（B）.4若 独立则有,Y(2,)(2)XYY11393， 2故应选（A ）.5 ，所以 是 的无偏估计，应选（A）.1EX1三
9、、 （7 分）已知一批产品中 90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为 0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为 0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设 任取一产品，经检验认为是合格品A任取一产品确是合格品B则（1） ()(|)(|)PABP0.95.102.857（2） .9|()四、 （12 分）从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 2/5. 设 为途中遇到红灯的次数，求 的分布列、分布函数、数学期望和方差.XX解： 的概率分布为
10、332()()0,12.5kkPC即 01374682251的分布函数为XSA BC123169833298YX0,271158(),2,7,3,125.xFxxx63,EX.2185D五、 （10 分）设二维随机变量 在区域 上服从均匀分布. 求（1）(,)XY(,)|0,1Dxyxy关于 的边缘概率密度；（2） 的分布函数与概率密度 .(,)YZXY解： （1） 的概率密度为,2,()(,)0.xyfxy其 它,01()(,)X xffd其 它（2）利用公式 (),Zfzxz其中 2,01(, xfx其 它 2,01,.xz其 它当 或 时0z1()Zfz时 0022zdx故 的概率密度为
11、Z,1,()0zf其 它 .的分布函数为Z20, ,0,()()2,11,.1,zzZZ zffydyz或利用分布函数法10,()()21,.Z DzFzPzXYzdxyz20,1,.zzxz z=x1D0 1z xyx+y=1x+y=zD12,01,()ZzfzF其 它 .六、 （10 分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标 和纵坐标 相互独立，且均服从XY分布. 求（1）命中环形区域 的概率；（2）命中点到目标中心距离2(0,)N 2(,)|1Dxy的数学期望.ZXY解： （1） ,)(,)DPXYfd2 228 8014xy rDede；2288211()rr（2）22
12、28() xyEZXYxed2 22880 0184r red. 22 28 801rr red七、 （11 分）设某机器生产的零件长度（单位：cm） ，今抽取容量为 16 的样本，测得样本均值2(,)XN，样本方差 . （1）求 的置信度为 0.95 的置信区间；（2）检验假设 （显著性水10x26s 20:.1H平为 0.05）.（附注） 0.50.50.25().74,().73,(1).3,ttt22. . .94967.48解：（1） 的置信度为 下的置信区间为1/2/2(),(1)ssXtnXtn0.510,.4,16,.32s所以 的置信度为 0.95 的置信区间为（9.7868
13、，10.2132）（2） 的拒绝域为 .20:.H2(1)n，15.64.S0.54.96因为 ，所以接受 .22.49()0Hxy0 1 2概率论与数理统计期末试题（3）与解答一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）（1） 设事件 与 相互独立，事件 与 互不相容，事件 与 互不相容，且 ，ABBCAC()0.5PAB，则事件 、 、 中仅 发生或仅 不发生的概率为_.()0.2PC（2） 甲盒中有 2 个白球和 3 个黑球，乙盒中有 3 个白球和 2 个黑球，今从每个盒中各取 2 个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为_.（3） 设随机变量 的概率密度为 现对 进行四次独立重
14、复观察，用 表示观察值不大于X2,01,()xf其 它 XY0.5 的次数，则 _.2EY（4） 设二维离散型随机变量 的分布列为(,)(,)10(2,0)(,1).4.Pab若 ，则 _.8XCov(,)X（5） 设 是总体 的样本， 是样本方差，若 ，则 _.1217, N2S2()0.1PSaa（注： , , , ）0.()3.20.53.70.1(6)3.0.5634解：（1） )()ABPABC因为 与 不相容， 与 不相容，所以 ，故,BAC同理 .C.()()0.25.04P（2）设 四个球是同一颜色的 ，四个球都是白球 ， 四个球都是黑球1B2B则 .2A所求概率为 21()(
15、)(|)PAP223315 5(),(100CCPBB 所以 .2|)（3） (4,Yp其中 ，10.520.)4PXxd，13,44ED.22()1Y（4） 的分布为,XXY 1 20 0.4 0.1 0.51 0.2 0.3 0.50.6 0.4这是因为 ，由 得 0.4ab0.8EXY.20.8b,3，.62.1EX.5故 .cov(,)71（5）240.SPSaa即 ，亦即 .20.1(6)38a二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）（1）设 、 、 为三个事件， 且 ，则有ABC()0PAB(|)1CAB（A） （B）()1.P.P（C） （D） （ ）（2）设随机变量 的概
16、率密度为X2()41(),xfxex且 ，则在下列各组数中应取(0,1)YabN（A） （B）/2,. /,.ab（C） . （D） （ ）2（3）设随机变量 与 相互独立，其概率分布分别为X01.46P01.46YP则有（A） （B）().Y().5X（C） （D） （ ）052X1Y（4）对任意随机变量 ，若 存在，则 等于EE（A） （B） （C） （D） （ ）.3().（5）设 为正态总体 的一个样本， 表示样本均值，则 的12,nx (,4)Nx置信度为 的置信区间为（A） /2/24(,).uxun（B） 1/ /,.x（C） (,).uxn（D） （ ）/2/2,.un解 （1
17、）由 知 ，故(|)1PAB()()CPAB()CPAB) 1应选 C.（2）22()()4() xxfxee即 2,)XN故当 时 12,ab(0,1)YaXbN应选 B.（3） ()(0,)(1,)PXYP.4.60.52应选 C.（4） ()E应选 C.（5）因为方差已知，所以 的置信区间为/2/2(,)Xuunn应选 D.三、 （8 分）装有 10 件某产品（其中一等品 5 件，二等品 3 件，三等品 2 件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取 2 件产品，结果都是一等品，求丢失的也是一等品的概率。解：设 从箱中任取 2 件都是一等品A丢失 等号 .iBi1,3i则 112233()(|)(|)(|)PBPABPAB；255499930C所求概率为 .111()|)(| 8A四、 （10 分）设随机变量 的概率密度为X1,02,().axf其 它求（1）常数 ； （2） 的分布函数 ； （3）aF(3)PX解：（1） 2200()(1)()fxdaxdx 2（2） 的分布函数为X0,0,()()(1),22,.xxxuFfudd20,41,.xx（3） .3211()()()4xPxfdd五、 （12 分）设 的概率密度为,XY
