1、 第 1 页 共 35 页 小波分析在信号消噪中的应用摘要：小波阈值消噪方法是利用小波交换技术对含噪信号进行分解和重构，通过对小波分解后的小波系数限定阐值来消除噪声的方法。利用小波方法去噪，是小波分析应用于实际的重要方面。小波去噪的关键是如何选择阈值和如何利用阈值来处理小波系数。本文对小波分析和小波包的基本理论进行了简单介绍，详细分析了基于小波分析和小波包对信号进行消噪的处理技术，并利用MATLAB分别进行了计算机模拟，最后分析、比较了各种消噪方法的效果和优缺点。通过本文的分析和模拟结果，我们可以看出，小波分析在信号的消噪中具有独特的优势，并且具有广阔的应用前景。关键词：小波消噪 阈值 分解
2、重构第 2 页 共 35 页 Application of Wavelet Analysis in Elimination Noise of SignalAbstract:The method of threshold wavelet-denoise is to use wavelet-transform technique to decompose and reconstruct noise signal，and limit the wavelet-coefficient analyzed to a threshold so as to eliminate the noise. Wavele
3、t denoising is an important application of wavelet analysis in engineeringThe keys of wavelet denoising，namely how to select threshold and how to utilize the threshold to dispose wavelet coefficients，are introduced.：This paper introduces the basic theory of wavelet analysis and wavelet packet，then l
4、abors the technologies of noise eliminating of signal with wavelet analysis and wavelet packet，and makes use of Matlab for simulationAt last，analyses and compares the effects and advantages of the both methodsThrough the results of analysis and simulation，we can deduce that wavelet analysis have the
5、 particular advantage in noise eliminating of signal and have wide application foreground.Keywords：wavelet-denoise threshold decompositon reconstruction 第 3 页 共 35 页 1 引言1.1 设计课题的提出和意义1.1.1 课题的提出信号采集和传输过程中，原始信号会受到大量噪声信号的影响，产生杂波。因此要对接收到的信号加以处理提取出有用的原始信号。传统的去噪方法是基于Fourier分析，只能用于信号和噪声频带重叠部分非常小或者完全分开的情况
6、下，通过滤波的方法将信号和噪声分开。但在实际中，信号谱和噪谱是任意重叠的，用传统的滤波方法是不能达到有效去除噪声，提取有用信号的目的。小波分析是20世纪80年代中期发展起来的新的数学理论和方法，被称为数学分析的“显微镜” 1。小波分析是一种信号的时间频率分析方法，具有多分辨率分析的特点，能够聚焦到信号的任意细节进行多分辨率的时频分析，优于Fourier分析算法。1.1.2 课题的意义任何系统，包括雷达、通信和控制系统，只要涉及到信号的传输，则必须考虑传输信道噪声对信号的影响，所以去噪问题是信号处理领域经常遇到的问题，一般地说，不同噪声具有不同的性质，而不同性质的噪声应用不同的去噪方法。最简单的
7、也比较通用的去噪方法是直接进行低通或带通滤波。这种方法虽然简单、易于实现，但它对滤去有效频带内的噪声无能为力，并且滤波器带宽的选择与高分辨率是有矛盾的。带宽选得过宽，达不到去噪的目的；选得过窄，噪声虽然滤去的多，但同时信号高频部分也损失了，不但带宽内的信噪比得不到改善，某些突变点的信息也可能被模糊掉了。并且实际中常遇到的非平稳信号的谱特性沿时问轴无限扩展，利用傅立叶变换的基函数很难与其匹配，所以，这不是高精度分析的有效方法。小波分析是80年代后期发展起来的新的数学理论，是一种包含尺度伸缩和时第 4 页 共 35 页 间平移的双参数的函数分析方法，小波分析方法是一种窗口大小(即窗口面积)固定但其
8、形状可改变，即：时间窗和频率窗都可改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率 2，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，所以被称为数学显微镜，正是由于它的这种特性，使得小波变换具有对信号的自适应性，这也是它优于经典傅立叶变换和短时傅立叶变换的地方，从总体上来说，小波变换比短时傅立叶变换具有更好的时频窗口特性。所以目前在信号处理、图像处理、语音分析、模式识别、量子物理等众多科学领域中获得了应用，被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。1.2 小波分析与分数傅立叶变换的有关介绍傅立叶变换是一个十分重要的研究工具，无论是在一般的科学研究中，还是在工程技术
9、的应用研究中，它都发挥着基本工具的作用。随着理论研究和应用的不断深入，对傅立叶分析技术的改进已经是历史的必然。因为各种科学问题研究的特殊需要，对傅立叶分析技术的改进也选择了完全不同的方向。为了进行信号局部的频谱分析，人们开始对傅立叶变换进行改进，1846 年Gaber 提出了以其名字命名的 Gaber 变换 3(窗口 Fourier 变换或短时 Fourier 变换)，提出了对信号加窗来进行信号局部分析的新思想，但是 Gaber 变换不论如何选择窗口函数都无法产生正交基，使得其计算复杂，数据的冗余大，而且它的时频窗口是恒等不变的，正是对其的深入研究导致了小波分析与分数傅立叶变换的产生。1.2.
10、1 小波分析发展经过的几个阶段小波变换是在傅立叶分析的基础上发展起来的，作为时一频分析方法，小波分析比傅立叶分析有着许多本质性的进步。小波分析提供了一种自适应的时域和频域同时局部化的分析方法，无论分析低频或者高频信号，它都能自动调节时频窗，以适应实际分析的需要，小波分析在局部时频分析中有着很强的灵活性，能聚焦到信号时段和频段的任意细节，被喻为时频分析的显微镜。小波分析之所以得到如此广泛的应用，完全归功于它的数学机理的创见性和完善性，从纯粹数学的角度来说，我们研究的小波变换是调和分析(其中包括函数空间、广义函数、Fourier 分析和抽象调和分析等) 这一重要学科大半个世纪以来的工作结晶；从应用
11、科学和技术科学的角度来说，小波变换又是计算机应用、信号第 5 页 共 35 页 处理、图象分析、非线性科学和工程技术近些年来在方法上的重大突破。实际上，由于小波变换在它的产生、发展、完善和应用的整个过程中都广泛受惠于计算机科学、信号和图象处理科学、应用数学和纯粹数学、物理科学和地球科学等众多科学研究领域和工程技术应用领域的专家、学者和工程师们的共同努力，所以，现在它已成为科学研究和工程技术应用中涉及面极广泛的一个热门话题。从小波变换的发展过程来说，大致可分成三个阶段：第一阶段：孤立应用时期。主要特征是一些特殊构造的小波在某些科学研究领域的特定问题上的应用。这个时期最典型的代表性工作是法国地球物
12、理学家Morlet 和 Grossmann 第一次把 “小波”用于分析处理地质数据，引进了以他们的名字命名的时间- 尺度小波，即 Grossmann-Morlet 小波。同时，著名的计算机视觉专家 Mart 在他的 “零交叉 ”理论中使用的可按“ 尺度大小”变化的滤波算子，现在称为“墨西哥帽” 4的小波也是这个时期有名的工作之一，这部分工作和后来成为 Mallat 的正交小波构造理论支柱之“多尺度分析“ 或“多分辨分析有密切联系。这个时期一个有趣的现象是各个领域的专家、学者和工程师在完全不了解别人的研究工作的状态下巧妙地、独立地构造自己需要的“小波”。虽然如此，但通观全局可以发现，这些专家、学
13、者和工程师所从事研究的领域广泛分布于科学和技术研究的许多方面，因此，这个现象从另一个侧面预示小波分析理论研究和应用热潮的到来，说明了小波理论产生的历史必然性。第二阶段：国际性研究热潮和统一构造时期。真正的小波热潮开始于 1986 年，当时法国数学家 Meyer 成功地构造出具有一定衰减性质的光滑函数，这个函数(算子)的二进尺度伸缩和二进整倍数平移产生的函数系构成著名的 2-范数函数空间的标准正交基。进入这个时期之后，Lemarie 和 Battle 又分别独立地构造得到了这样的“好的”小波。再后来 Meyer 和计算机科学家 Mallat 提出多分辨分析概念，成功地统一了此前 Strmberg
14、、Meyer、Lemarie 和 Battle 的各别的小波构造方法，同时，Mallat 还在多分辨分析的基础上简洁地得到了离散小波的数值算法即现在的Mallat 分解和合成算法，并且将此算法用于数字图像的分解与重。几乎同时，比利时数学家 Daubechies 基于多项式方式构造出具有有限支撑的正交小波基和对称双正交小波 5，Chui 和中国学者王建忠基于样条函数构造出单正交小波函数，并讨论了具有最好局部化性质的尺度函数和小波函数的构造方法。第 6 页 共 35 页 第三阶段：全面应用时期。从 1992 年开始，小波分析方法进入全面应用阶段。在前一阶段研究工作基础上，特别是数字信号和数字图像的
15、 Mallat 分解和重构算法的确定，使小波分析的应用迅速波及科学研究和工程技术应用研究的几乎所有的领域。鉴于小波分析的“自适应性质”和“数学显微镜性质”，使其被广泛用于基础科学、应用科学尤其是信息科学、信号分析和方方面面，比如：图像处理与传输、信号处理、模式识别、地震探测、音乐、雷达、CT 成像、计算机视觉、航空航天技术、故障监控、通信与电子系统等。由于小波分析在数字信号分析方面独特的诊断效果，来自不同学科、不同背景、不同兴趣爱好的科技工作者自觉投入到小波分析理论与应用研究中，涌现出一批高水平的论文和著作，在国内外形成一次又一次研究高潮，到今方兴未艾。1.2.2 小波去噪的发展历程1992
16、年，Donoho 和 Johnstone 提出了小波阈值萎缩方法（ WaveShrink） 6，还给出了 的阈值，并从渐进意义上证明了 WaveShrink 的最优性；)ln(2N与此同时，Krim 等人运用 Rissanen 的 MDL 准则, 也得到了相同的阈值公式,此后小波阈值萎缩方法被用到各种去噪应用中，并取得了很大的成功，对高斯噪声尤其如此。但是 Donoho 和 Johnstone 给出的通用阈值，由于有很严重的 “过扼杀”小波系数的倾向，因此人们纷纷对阈值的选择进行了研究 7，并提出了多种不同的阈值确定方法；后来，人们针对阈值函数的选取也进行了一些研究，并给出了不同的阈值函数，但
17、是当这些方法用到非高斯、有色噪声场合中，效果却不甚理想，其最主要的原因是这些方法都基于独立同分布噪声的假设，并且这些方法大多是从 Donoho 和 Johnstone 给出的方法发展而来的，从而它们最后的去噪性能也依赖于用 WaveShrink 确定阈值时，对噪声服从独立正态分布的假设，对此人们提出了具有尺度适应性的阈值选取法，用来解决正态分布有色噪声的小波去噪问题，而另外一些学者则研究了在比白噪声更重尾的噪声情况下的小波去噪问题，并给出了显式的阈值公式。目前，基于阈值萎缩的小波去噪方法的研究仍然非常活跃，近来仍不断有新的方法出现，而且也可以看出人们的研究方向已经转为如何最大限度地获得信号的先
18、验信息，并用这些信息来确定更合适的阈值或阈值向量，以达到更高的去噪效率.另外，除了阈值萎缩方法外，Kivanc，John 和 Xu 等人还提出了不同的去噪方法 8，例如利用 Lipschitz 指数的方法和基于最大后验概率 MAP第 7 页 共 35 页 的比例萎缩法等，这些都丰富了小波去噪的内容。1.2.3 傅立叶变换的局限性傅立叶变换是信号分析和处理的理论基础，有着非凡的意义，起着重大的作用。但是，傅立叶变换有它明显的缺陷，信号任何时刻的微小变化会牵动整个频谱。反过来，任何有限频段上的信息都不足以确定在任意时一间小范围的信号。实际信号往往是时一变信号、非平稳过程，了解它们的局部特性常常是很
19、重要的。人们通过预先加窗的方法使频谱反映时间局部特性，即采用短时傅立叶变换。短时傅立叶变换是用时间窗的一段信号来表示它在某个时刻的特性，显然，窗越宽，时间分辨率越差，但为提高时间分辨率而缩短窗宽时，又会减低频率分辨率。因此短时傅立叶变换不能同时兼顾时间分辨率和频率分辨率。小波变换是八十年代后期发展起来的应用数学分支，具有多分辨分析的特点，而且在时频域都具有表征信号局部特性的能力。它在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，所以被誉为分析信号的显微镜。小波变换在很多方面取代了傅立叶变换与短时傅立叶变换。1.3 构造小波的意义小波变换在分析
20、诊断信号有着自身的显著优势，然而并不是每个小波都能分析处理任意的信号，运用小波有很强的选择性，针对不同的信号需要应用符合其条件的小波，如何选择小波是小波研究中的热点和难点问题。由针对不同的信号需要选择合适的小波就衍生出构造小波的问题，经典小波数目有限，这就需要我们研究小波分析的人员去构造小波，构造小波的方法也是当今小波分析研究中的重点和难点。无论如何选择小波或者构造小波，目的是为能准确的解决遇见的问题。第 8 页 共 35 页 2 Fourier 变换众所周知，一个复杂的波形可以看作一个函数或模拟信号，也可以看作一种复杂的振动现象，它是由不同频率，不同振幅的谐波叠加而成的。例如，光波为不同强度
21、，不同波长的单色光的叠加，光波可分解为光谱，声音也可分解为不同音调，不同音强的声谱，天线回路中的复杂电信号，可分解为不同频率，不同振幅的简谐电磁波。Fourier 分析就是对函数(模拟信号 )作协波分解，合成和分析的有力的数学工具，它在光学，声学，电学，力学等学科，特别是在数字信号处理方面，都有着非常广泛的应用。2.1 Fourier 变换Fourier 变换是将时间 t 作自变量的时域函数 ， ，通过指定的)(tf),(积分运算，变换为频率 作自变量的频域函数 ， ;Fourier 变换的wwF积分运算公式为： dtetfFjw)(（2.1）2.2 窗口 Fourie 变换Fourie 分析
22、在信号分析处理中中的突出贡献，在于它将复杂的时域信号转换到频域中，用频谱特性去分析和表现时域信号的特性。但是 Fourie 分析不能分析局部信号的局部频谱特性，它没有时一频局部化功能。窗口 Fourie 变换正是在时频局部分析方面取得了本质性的进步。Fourie 分析能有效的分析平稳信号，能通过频谱函数 9方便地指明平稳信号的主要谐波成分，然而，在实际应用中，我们常需要频域特性随时间变化的非平稳信号，如音乐信号，语音信号，探地信号等，需要了解某些局部时域信号所对应的主要频率特性，也需要了解某些频率的第 9 页 共 35 页 信息出现在那些时间段上，具体的说，对于音乐模拟信号，我们希望了解局部时
23、域信号的频率特性，希望局部地改变音乐信号的听觉效果；对于基桩施工所采集的信号，我们希望知道什么局部时域信号表示基桩顶部达到什么性质的地层，什么局部时域信号表示基桩发生断裂现象 10；对于电网运行所采集的信号，我们希望实时地进行监测分析，快速判断故障信号发生的时间，地点和类型，以便能做出即时反映并保证电网正常运行，上述情形都提出了关于短时段时域信号所对应的局部频域特性，即时频局部化的要求Fourier 分析对时 频局部化要求是无能为力的只要观察分析 Fourier 变换表达式dtetfwFjw)(（2.2）即可明白其中的原因一方面，Fourier 变换要求提供 ， 的全部信息，)(tfR即使短时
24、段信号信号 , ,但是 F(w)提供的是关于 的全部信)(tf2/Tw息，主要反映这个短时段时域信号的那些局部特性却无法知道。另一方面，时域信号的局部改变会影响其 F(w)的全局改变，F(w)在某个特定 w 处的表现不可能通过局部时域信号得到，它需要提供 ， 的全部信息。特别值得注意的是： )(tfR1)(dtetwFRjw（2.3） 2.2.1 窗口 Fourie 变换(WFT) 的基本思想为克服 Fourie 变换在时频局部化方面的不足，DGabor 于 1946 年提出了窗口 Fourie 变换( 简记 WFT)方法。WFT 的这清楚的表明：时域中某点的局部变化会影响频域全局。数学形式为
25、RjwtdebtfdwGf )(),(（2.4） 其中，实函数 为时窗函数。)(t第 10 页 共 35 页 WFT 实现时域和频域局部化的基本思想是重要的。在时域局部化方面，它通过引进的时窗函数 ，使时域信号 在 t=b 附近被局部化为 ，在)(tw)(tf )(btwf频域局部化方面，需观察 的表现，由卷积定理得,(bGf)2),(1FebGfjwb（2.5）其中， ， 是通用记号，由上式可以清楚看出。)()(tff )()(twF若 在 附近是有局部化作用的，频域信息 就能在 附近被局)(w )(fw部化。总之 WFT 是在 t=b 附近的时窗中观察是域信号 f(t)，在 附近的频窗中观
26、察频域信号 。)(f时窗函数起着的时域局部化的作用， 就表明了 t=b 处的局部域信)(btwf号，时窗函数 的开窗效果是用时窗中心 和时窗半径 来表示的，)(tw* )(tw若无须指明窗函数，可直接用记号 和 。*tt时窗中心可仿照力学中关于重心的描述来定义，即dtttRR22*)(/)(/（2.6）时窗半径可仿照力学中求矩量的办法来定义，即2/12*)(/)(dtwttRRt （2.7）在此定义下，当 时，时窗函数的限时作用表现为：以 为中心0),(bt *t的 范围，时窗宽度为 2 。,*ttt同样，在此定义下，对 的情形，利用时窗中心和时窗半径的直),(tw观几何含义，不难理解，)()(*tbtwb
