1、- 1 -八年级下册数学期末压轴题专辑（含解析）1.如图，ON 为AOB 中的一条射线，点 P 在边 OA 上，PHOB 于 H，交 ON 于点 Q，PMOB 交 ON 于点 M, MDOB 于点 D，QROB 交 MD 于点 R，连结 PR 交 QM 于点 S。 （1）求证：四边形 PQRM 为矩形；（2）若 OP= PR，试探究AOB 与BON 的数量关系，并说明理由。1（1）证明：PHOB，MDOB，PHMD，PMOB，QROB，PMQR，四边形 PQRM 是平行四边形，PHOB，PHO=90，PMOB，MPQ=PHO=90，四边形 PQRM 为矩形；（2）AOB=3BON理由如下：四边
2、形 PQRM 为矩形，PS=SR=SQ= PR，SQR=SRQ，12又OP= PR，OP=PS，POS=PSO，1QROB，SQR=BON，在SQR 中，PSO=SQR+SRQ=2SQR=2BON，POS=2BON，AOB=POS+BON=2BON+BON=3BON，即AOB=3BON 2.如图，矩形 OABC 在平面直角坐标系内（O 为坐标原点） ，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，点 B 的坐标分别为（-2,2 ） ，点 E 是 BC 的中点，点 H 在 OA 上，且 AH= ，过点 H 且平行于 y 轴的 HG 与 EB3 12交于点 G，现将矩形折叠，使顶点 C 落在 HG
3、上，并与 HG 上的点 D 重合，折痕为 EF，点 F 为折痕与 y 轴的交点。（1）求CEF 的度数和点 D 的坐标；（2）求折痕 EF 所在直线的函数表达式；（3）若点 P 在直线 EF 上，当PFD 为等腰三角形时，试问满足条件的点 P 有几个？请求出点 P 的坐标，并写出解答过程。 （本题部分过程用了三角函数，可以用初二知识点沟通） （备用图）解：（1）E 是 BC 的中点，EC=EB= =1FCE 与FDE 关于直线 EF 对称，FCEFDE，ED=EC=1，FCE=FDE=90，DF=CFAH= ，EG=EB-AH=1- = 212cosGED= = ，GED=60DEC=180-
4、60=120DEF=CEFCEF= =60在 RtGED 中，由勾股定理得：DG 2=ED2-EG2=1- =DG= DH=AB-DG=2 - =OH=OA-AH=2- = 故 D（- ， ）12- 2 -xy11 2yyPBO CA（2）CEF60CF=ECtan60=OF=OC-CF=2 - = F（0， ） ，E（-1，2 ）设 EF 所在直线的函数表达式为 y=kx+b，由图象，得，解得： 故 EF 所在直线的函数表达式为：y=- x+ ；（3）DF=CF= 点 P 在直线 EF 上，当PFD 为等腰三角形时，有以下三种情况：（a）P 1F=DF= ， 可令 P1（t，- t+ ） ，
5、则：P 1F2=3由两点间的距离公式为：（t-0） 2+（- t+ - ） 2=3t 2+3t2=3t 2= ，t 1=- ，t 2= P 1（- ， + ） ； P 3（ ，- + ）（b） PD=DF= 时，仍令 P（t，- t+ ） ，注意 D（- ， ） ，则：PD 2=3（t+ ） 2+（- t+ - ） 2=3 t 2+3t+ +3t2+3t+ =34t 2+6t=0t 1=0，t 2=-t 1=0 对应 F 点，此时不构成三角形，故舍去P 4（- ， ）（c）当 PD=PF 仍令 P（t，- t+ ） ，注意 D（- ， ） ，F（0， ） ，则：PD2=PF2（t+ ） 2+（
6、- t+ - ） 2=（t-0） 2+（- t+ - ） 2，t 2+3t+ +3t2+3t+ =t2+3t26t+3=0t=- P 4（- ， ） 1故满足条件的点 P 有 4 个分别是：（ ） 、 （ ） 、 （ （） 3.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B,直线12y=-+3y =kx+b（k0 ） 经过点 C(1,0)且与线段 AB 交于点 P,并把 ABO 分成两部分.2(1)求ABO 的面积.(2)若ABO 被直线 CP 分成的两部分的面积相等,求点 P 的坐标及直线 CP 的函数表达式.- 3 -备用图解：(1)在直线 中，令
7、 ，得 B(0 ，2)令 ，得 A(3，0) 、 (2) 点 P 在第一象限， 解得 而点 P 又在直线 上， 解得 P( ) 将点 C(1，0)、P( )，代入 中，有 直线 CP 的函数表达式为 4.如图,在 RtABC 中,已知A=90,AB=AC,G、F 分别是 AB、AC 上两点，且 GFBC，AF=2，BG=4.(1)求梯形 BCFG 的面积.(2)有一梯形 DEFG 与梯形 BCFG 重合,固定ABC,将梯形 DEFG 向右运动,直到点 D 与点 C 重合为止,如图.若某时段运动后形成的四边形 BDG G 中,DGBG ,求运动路程 BD 的长,并求此时 G B 的值./ /2设
8、运动中 BD 的长度为 x,试用含 x 的代数式表示出梯形 DEFG 与 RtABC 重合部分的面积.AG FB(D) C(E)图AG FB D C E图解：（1）在 RtABC 中，AB=AC，ABC=ACB=45又GFBC，AGF= AFG=45AG=AF=2，AB=AC=6S 梯形 GBCF=SABC -SAGF = （2）在运动过程中有 DGBG 且 DG=BG，BDGG 是平行四边形当 DGBG时，BDGG 是菱形BD=BG=4如图，当 BDGG 为菱形时，过点 G作 GMBC 于点 M在 Rt GDM 中，GDM=45，DG=4，- 4 -DM=GM 且 DM2+GM2=DG2DM
9、=GM= ，BM= 连接 GB在 Rt GBM 中， 当 0x 时，其重合部分为梯形，如图在 Rt AGF 与 RtABC 中， ， 过 G 点作 GH 垂直 BC 于点 H，得 GH= 由，知 BD=GG=x ，DC= ， S 梯形 = 当 x 时，其重合部分为等腰直角三角形，如图斜边 DC= ，斜边上的高为 ， 5.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,已知直线 PA 是一次函数 y=x+m(m0)的图象,直线 PB 是一次函数y=-3xn（nm） 的图象,点 P 是两直线的交点,点 A、B、C、Q 分别是两条直线与坐标轴的交点。（1）用 m、n 分别表示点 A、B、P 的坐标及PAB 的度
10、数；（2）若四边形 PQOB 的面积是 ，且 CQ:AO=1:2，试求点 P 的坐标，并求出直线 PA 与 PB 的函数表达式；12（3）在（2）的条件下，是否存在一点 D，使以 A、B、P、D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由。解：（1）在直线 y=x+m 中，令 y=0，得 x=-m点 A（-m，0） 在直线 y=-3x+n 中，令 y=0，得 点 B（ ，0） 由 ，得 ，点 P（ ， ） 在直线 y=x+m 中，令 x=0，得 y=m，|-m|=|m| ，即有 AO=QO又AOQ=90，AOQ 是等腰直角三角形，PAB=45 度（2）CQ：A
11、O=1：2，（n-m）：m=1 ：2，整理得 3m=2n，n= m， = = m，xA O BPQC- 5 -而 S 四边形 PQOB=SPAB -SAOQ = （ +m）（ m）- mm= m2= ，解得 m=4，1212m0，m=4，n= m=6，P（ ） PA 的函数表达式为 y=x+4，PB 的函数表达式为 y=-3x+6（3）存在过点 P 作直线 PM 平行于 x 轴，过点 B 作 AP 的平行线交 PM 于点 D1，过点 A 作 BP 的平行线交 PM 于点 D2，过点 A、B 分别作 BP、AP 的平行线交于点 D3PD 1AB 且 BD1AP，PABD 1 是平行四边形此时 P
12、D1=AB，易得 ；PD 2AB 且 AD2BP ，PBAD 2 是平行四边形此时 PD2=AB，易得 ；BD 3AP 且 AD3BP ，此时 BPAD3 是平行四边形BD 3AP 且 B（2，O） ，y BD3=x-2同理可得 yAD3=-3x-12，得 ， 6.如图，在平面直角坐标系中，直线 ： 与直线 相交于点 A，点 A 的横坐标为1l43yx2:lykxb3，直线 交 y 轴于点 B，且OA= OB。2l 2（1）试求直线 的函数表达式；（2）若将直线 沿着 x 轴向左平移 3 个单位，交 y 轴于点 C，交直线 于点 D。试求BCD 的面积。1l 2l解：（1）根据题意，点 A 的
13、横坐标为 3，代入直线 l1： 中，得点 A 的纵坐标为 4，即点 A（3，4） ；即 OA=5，又|OA|= |OB|即 OB=10，且点 B 位于 y 轴上，即得 B（0，-10） ；2将 A、B 两点坐标代入直线 l2 中，得 4=3k+b；-10=b ；解之得，k= ，b=-10；即直线 l2 的解析式为 y= x-10；- 6 -（2）根据题意，设平移后的直线 l1 的解析式为 y= x+m，代入（-3 ，0） ，可得：-4+m=0 ，解得：m=4，平移后的直线 l1 的直线方程为 ；即点 C 的坐标为（ 0，4） ；联立线 l2 的直线方程，解得 x= ，y= ，即点 D（ ） ；
14、又点 B（0，-10） ，如图所示：故BCD 的面积 S= 14= 127.正方形 ABCD 的边长为 4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使 AB 边落在 X 轴的正半轴上，且 A点的坐标是（1，0） 。直线 y= x - 经过点 C，且与 x 轴交与点 E，求四边形 AECD 的面积；43 83若直线 经过点 E 且将正方形 ABCD 分成面积相等的两部分求直线 的解析式，l l若直线 经过点 F 且与直线 y=3x 平行,将中直线 沿着 y 轴向上平移 个单位交 x 轴于点1l023， l32,交直线 于点 ,求 的面积.M1lNM解：（1）在 y= x 中，令 y=4，即 x x=4，
15、- 7 -解得：x=5，则 B 的坐标是（5，0） ；令 y=0，即 x =0，解得：x=2，则 E 的坐标是（2，0） 则 OB=5，OE=2 ，BE=OB-OA=5-2=3，AE=AB-BE=4-3=1，四边形 AECD= （AE+CD ）AD= （4+1）4=10；112（2）经过点 E 且将正方形 ABCD 分成面积相等的两部分，则直线与 CD 的交点 F，必有 CF=AE=1，则F 的坐标是（4，4） 设直线的解析式是 y=kx+b，则，解得： 则直线 l 的解析式是：y=2x-4 ；（3）直线 l1 经过点 F（- ，0）且与直线 y=3x 平行，设直线 11 的解析式是 y1=k
16、x+b，则：k=3，代入得：0=3（- ）+b ，解得：b= ，y 1=3x+ ，已知将（2）中直线 l 沿着 y 轴向上平移 个单位，则所得的直线的解析式是 y=2x-4+ ，即：y=2x-3 ，当 y=0 时，x= ，M（ ，0） ，解方程组 得： ，即：N（-7 ，-19） ，SNMF = -（- ） |-19|= 12- 8 -答：NMF 的面积是 8.如图，已知 ABC的面积为 3，且 AB=AC，现将 ABC沿 CA 方向平移 CA 长度得到 EFA求四边形 CEFB 的面积；试判断 AF 与 BE 的位置关系，并说明理由；若 15E，求 AC 的长解：（1）由平移的性质得AFBC
17、，且 AF=BC，EFAABC四边形 AFBC 为平行四边形SEFA =SBAF =SABC =3四边形 EFBC 的面积为 9；（2）BEAF证明：由（1）知四边形 AFBC 为平行四边形BFAC，且 BF=AC又AE=CA四边形 EFBA 为平行四边形又已知 AB=ACAB=AE平行四边形 EFBA 为菱形BEAF；（3）如上图，作 BDAC 于 DBEC=15，AE=ABEBA=BEC=15 BAC=2 BEC=30 在 RtBAD 中，AB=2BD 设 BD=x，则 AC=AB=2xS ABC =3，且 SABC = ACBD= 2xx=x2x 2=3x 为正数x= AC=2 129.
18、已知如图，直线 与 x 轴相交于点 A，与直线 相交于点 P34y3yx求点 P 的坐标请判断 的形状并说明理由OA动点 E 从原点 O 出发，以每秒 1 个单位的速度沿着 OPA 的路线向点 A 匀速运动（E 不与点 O、A重合） ，过点 E 分别作 EFx 轴于 F，EBy 轴于 B设运动 t 秒时，矩形 EBOF 与OPA 重叠部分的面积为 S求： S 与 t 之间的函数关系式试题分析：（1）由两直线相交可列出方程组，求出 P 点坐标；（2）将 y=0 代入 y= x+4 ，可求出 OA=4，作 PDOA 于 D，则 OD=2，PD=2 ，利用tanPOA= ，可知POA=60 ，由 O
19、P=4可知POA 是等边三角形；（3）当 0t4 时，在 RtEOF 中，EOF=60 ，OE=t，可以求出 EF，OF，从而得到 S；分情况讨论当 02 ，当 t= 时，S 最大 =FyO A xPEB- 10 -10.如图，直线 OC、BC 的函数关系式分别是 y1=x 和 y2=-2x+6，动点 P（x，0）在 OB 上运动（0y2？（2）设COB 中位于直线 m 左侧部分的面积为 s，求出 s 与 x 之间函数关系式（3）当 x 为何值时，直线 m 平分COB 的面积？ 分析：（1）由于 C 是直线 OC、BC 的交点，根据它们的解析式即可求出坐标，然后根据图象和交点坐标可以求出当 x
20、 取何值时 y1y 2；（2）此小题有两种情况：当 0x2，此时直线 m 左侧部分是PQO，由于 P（x，0）在 OB 上运动，所以 PQ，OP 都可以用 x 表示，所以 s 与 x 之间函数关系式即可求出；当 2x3，此时直线 m 左侧部分是四边形 OPQC，可以先求出右边的PQB 的面积，然后即可求出左边的面积，而PQO 的面积可以和一样的方法求出；（3）利用（2）中的解析式即可求出 x 为何值时，直线 m 平分COB 的面积简解：（1）解方程组 得C 点坐标为（2，2）； 当 x2 时，y 1y2（2）作 CDx 轴于点 D，则 D（2，0）s= x2（0x2）；s=-x 2+6x-6（2x3）； （3）直线 m 平分AOB 的面积，则点 P 只能在线段 OD，即 0x2又COB的面积等于 3，故 x2=3 ，解之得 x= .13
