1、 1 / 8 第二章 圆锥曲线与 方程 一、选择题 1设 P 是椭圆 x225y216 1 上的点，若 F1， F2 是椭圆的两个焦点，则 |PF1| |PF2|等于 ( ) A 4 B 5 C 8 D 10 解析： 选 D 根据椭圆的定义知 ， |PF1| |PF2| 2a 2 5 10， 故选 D. 2已知 ABC 的顶点 B， C 在椭圆 x23 y2 1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外 一个焦点在 BC 边上，则 ABC 的周长是 ( ) A 2 3 B 6 C 4 3 D 12 解析： 选 C 由于 ABC 的周长与焦点有关 ， 设另一焦点 为 F， 利用椭圆的定义 ，
2、 |BA| |BF| 2 3， |CA| |CF| 2 3， 便可求得 ABC 的周长为 4 3. 3命题甲：动点 P 到两定点 A， B 的距离之和 |PA| |PB| 2a(a 0，常 数 )；命题乙： P 点轨迹是椭圆则命题甲是命题乙的 ( ) A充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充要条件 D 既不充分又不必要条件 解析： 选 B 利用椭圆定义若 P 点轨迹是椭圆，则 |PA| |PB| 2a(a 0，常数 )， 故 甲是乙的必要条件 反过来，若 |PA| |PB| 2a(a 0，常数 )是不能推出 P 点轨迹是椭圆的 这是因为：仅当 2a |AB|时， P 点轨迹才是椭圆；而当 2
3、a |AB|时， P 点轨迹是线段 AB；当 2a |AB|时， P点无轨迹， 故 甲不是乙的充分条件 综上，甲是 乙的必要不充分条件 4如果方程 x2a2y2a 6 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 a 的取值范围是 ( ) A (3， ) B ( ， 2) C ( ， 2) (3， ) D ( 6， 2) (3， ) 解析： 选 D 由 a2 a 6 0， 得 a2 a 6 0，a 6 0， 所以 a 2或 a 3，a 6， ， 所以 a 3 或 6 a 2. 5已知 P 为椭圆 C 上一点， F1， F2 为椭圆的焦点，且 |F1F2| 2 3，若 |PF1|与 |PF2|的等差中
4、项为 |F1F2|，则椭圆 C 的标准方程为 ( ) A.x212y29 1 B.x212y29 1 或x29 y212 1 C.x29y212 1 D.x248y245 1 或x245y248 1 解析： 选 B 由已知 2c |F1F2| 2 3， 得 c 3. 由 2a |PF1| |PF2| 2|F1F2| 4 3，得 a 2 3. b2 a2 c2 9. 故椭圆 C 的标准方程是 x212y29 1 或x29y212 1. 6椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是 (0,13)，另一个顶点是 ( 10,0)，则焦点坐标为 ( ) A (13,0) B (0， 10) C (0， 13)
5、 D (0， 69) 解析： 选 D 由题意知椭圆焦点在 y轴上，且 a 13， b 10，则 c a2 b2 69，故焦点 坐标为 (0， 69) 2 / 8 7已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(a b 0)的左、右焦点为 F1， F2，离心率为33 ，过 F2的直线 l 交 C 于 A， B 两点若 AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为 ( ) A.x23y22 1 B.x23 y2 1 C.x212y28 1 D.x212y24 1 解析： 选 A 由椭圆的性质知 ， |AF1| |AF2| 2a， |BF1| |BF2| 2a， 又 AF1B 的周长 |AF1| |AF2|
6、 |BF1| |BF2| 4 3， a 3. 又 e 33 ， c 1. b2 a2 c2 2， 椭圆的方程为 x23y22 1. 8已知椭圆 x2a2y2b2 1 与椭圆x225y216 1 有相同的长轴，椭圆x2a2y2b2 1 的短轴长与椭圆y221x29 1 的短轴长相等，则 ( ) A a2 25， b2 16 B a2 9， b2 25 C a2 25， b2 9 或 a2 9， b2 25 D a2 25， b2 9 解析 ： 选 D 因为椭圆 x225y216 1 的长轴长为 10， 焦点在 x 轴上 ， 椭圆y221x29 1 的短轴长为 6， 所以 a2 25， b2 9.
7、 9已知椭圆 x2a2y2b2 1(a b 0)的左焦点为 F，右顶点为 A，点 B 在椭圆上，且 BF x 轴，直线 AB 交 y 轴于点 P.若 AP 2 PB ，则椭圆的离心率是 ( ) A. 32 B. 22 C.13 D.12 解析： 选 D AP 2 PB ， | AP | 2| PB |.又 PO BF， |PA|AB| |AO|AF| 23，即 aa c 23， e ca 12. 10过椭圆 x2a2y2b2 1(a b 0)的左焦点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于点 P， F2 为右焦点，若 F1PF2 60 ，则椭圆的离心率为 ( ) A. 22 B. 33 C.12 D.1
8、3 解析： 选 B 法一： 将 x c 代入椭圆方程可解得点 P c， b2a ，故 |PF1|b2a ， 又在 Rt F1PF2中 F1PF2 60 ，所以 |PF2| 2b2a ，根据椭圆定义得3b2a 2a，从而可得 eca33 . 法二： 设 |F1F2| 2c，则在 Rt F1PF2中， |PF1| 2 33 c， |PF2| 4 33 c. 所以 |PF1| |PF2| 2 3c 2a，离心率 e ca 33 . 11已知双曲线的 a 5， c 7，则该双曲线的标准方程为 ( ) A.x225y224 1 B.y225x224 1 C.x225y224 1 或y225x224 1
9、D.x225y224 0 或y225x224 0 解析： 选 C 由于焦点所在轴不确定， 有两种情况又 a 5， c 7， b2 72 52 24. 12已知 m， n R，则 “ mn 0” 是 “ 方程 x2my2n 1 表示双曲线 ” 的 ( ) 3 / 8 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析： 选 C 若方程 x2my2n 1 表示双曲线，则必有 mn 0；当 mn 0 时，方程x2my2n 1 表示双曲线所以“ mn 0” 是 “ 方程 x2my2n 1 表示双曲线 ” 的充要条件 13已知定点 A， B 且 |AB| 4，动点 P 满足 |
10、PA| |PB| 3，则 |PA|的最小值为 ( ) A.12 B.32 C.72 D 5 解析： 选 C 如图所示 ， 点 P 是以 A， B为焦点的双曲线的右支上的点，当 P 在 M处时，|PA|最小，最小值为 a c 32 2 72. 14双曲线 x225y29 1 的两个焦点分别是 F1， F2，双曲线上一点 P 到焦点 F1的距离是 12，则点 P 到焦点 F2 的距离是 ( ) A 17 B 7 C 7 或 17 D 2 或 22 解析： 选 D 依题意及双曲线定义知 ， |PF1| |PF2| 10， 即 12 |PF2| 10， |PF2| 2 或 22， 故选 D. 15焦点
11、分别为 ( 2,0)， (2,0)且经过点 (2,3)的双曲线的标准方程为 ( ) A x2 y23 1 B.x23 y2 1 C y2 x23 1 D.x22y22 1 解析： 选 A 由双曲线定义知 ， 2a 2 22 32 2 22 32 5 3 2， a 1.又 c 2， b2 c2 a2 4 1 3， 因此所求双曲线的标准方程为 x2 y23 1. 16下列双曲线中离心率为 62 的是 ( ) A.x22y24 1 B.x24y22 1 C.x24 y26 1 D.x24y210 1 解析： 选 B 由 e 62 得 e2 32， c2a232， 则a2 b2a2 32， b2a21
12、2， 即 a2 2b2.因此可知 B 正确 17中心在原点，实轴在 x 轴上，一个焦点在直线 3x 4y 12 0 上的等轴双曲线方程是 ( ) A x2 y2 8 B x2 y2 4 C y2 x2 8 D y2 x2 4 解析： 选 A 令 y 0 得 ， x 4， 等轴双曲线的一个焦点坐标为 ( 4,0)， c 4， a2 12c2 12 16 8， 故选 A. 18 (广东高考 )若实数 k 满足 0 k 5 ，则曲线 x216y25 k 1 与曲线 x216 ky25 1 的 ( ) A实半轴长相等 B. 虚半轴长相等 C离心率相等 D. 焦距相等 解析： 选 D 由 0 k 5 易
13、知两曲线均为双曲线，且焦点都在 x 轴上，由于 16 5 k 16 k 5，所以两曲线的焦距相等 19双 曲线 x24 y2k 1 的离心率 e (1,2)，则 k 的取值范围是 ( ) A ( 10,0) B ( 12,0) C ( 3,0) D ( 60， 12) 解析： 选 B 由题意知 k 0， a2 4， b2 k. e2 a2 b2a2 4 k4 1k4. 又 e (1,2)， 1 1 k4 4， 12 k 0. 4 / 8 20 (天津高考 )已知双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的一条渐近线平行于直线 l： y 2x 10，双曲线的一个焦点在直线 l 上，则双曲线
14、的方程为 ( ) A.x25y220 1 B.x220y25 1 C.3x2253y2100 1 D.3x21003y225 1 解析： 选 A 由题意可知，双曲线的其中一条渐近线 y bax 与直线 y 2x 10 平行， 所以 ba 2 且左焦点为 ( 5,0)，所以 a2 b2 c2 25，解得 a2 5， b2 20，故双曲线的方程为 x25y220 1. 二、填空题 21椭圆 x2my24 1 的焦距是 2，则 m 的值是 _ 解析： 当椭圆的焦点在 x 轴上时， a2 m， b2 4， c2 m 4，又 2c 2， c 1. m 4 1， m 5. 当椭圆的焦点在 y 轴上时， a
15、2 4， b2 m， c2 4 m 1， m 3. 答案： 3 或 5 22已知椭圆 C 经过点 A(2,3)，且点 F(2,0)为其右焦点，则椭圆 C 的标准方程为 _ 解析： 法一： 依题意，可设椭圆 C 的方程为 x2a2y2b2 1(a b 0)，且可知左焦点为 F ( 2,0) 从而有 c 2，2a |AF| |AF | 3 5 8， 解得 c 2，a 4. 又 a2 b2 c2，所以 b2 12，故椭圆 C 的标准方程为 x216y212 1. 法二： 依题意，可设椭圆 C的方程为 x2a2y2b2 1(a b 0)，则 4a2 9b2 1，a2 b2 4，解 得 b2 12 或
16、b2 3(舍去 )，从而 a2 16.所以椭圆 C的标准方程为 x216y212 1. 答案： x216y212 1 23椭圆的两焦点为 F1( 4,0)， F2(4,0)，点 P 在椭圆上，若 PF1F2 的面积最大为 12，则椭圆的标准方程为_ 资 *源 %库 解析： 如图，当 P 在 y 轴上时 PF1F2的面积最大， .com 12 8b 12， b 3.又 c 4， a2 b2 c2 25. 椭圆的标准方程为 x225y29 1. 答案： x225y29 1 24与椭圆 9x2 4y2 36 有相同焦点，且短轴长为 4 5的椭圆方程是 _ 解析： 椭圆 9x2 4y2 36 可化为
17、x24 y29 1，因此可设待求椭圆为x2my2m 5 1. 又 b 2 5，故 m 20，得 x220y225 1. 答案： x220y225 1 25椭圆 x24 y2m 1 的离心率为12，则 m _. 5 / 8 解析： 当焦点在 x 轴上时， 4 m2 12 m 3；当焦点在 y轴上时， m 4m 12 m 163 .综上， m 3 或 m 163 . 答案： 3 或 163 26已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 55 ， 且过 P( 5,4)，则椭圆的方程为 _ 解析： e ca 55 ， c2a2a2 b2a2 15， 5a2 5b2 a2即 4a2 5b2. 设
18、椭圆的标准方程为 x2a25y24a2 1(a 0)， an 椭圆过点 P( 5,4)， 25a25 164a2 1.解得 a2 45. 椭圆的方程为 x245 y236 1. 答案： x245y236 1 27设 m 是常数，若点 F(0,5)是双曲线 y2mx29 1 的一个焦点，则 m _. 解析： 由点 F(0,5)可知该双曲线 y2mx29 1 的焦点落在 y 轴上，所以 m 0，且 m 9 52，解得 m 16. 答案： 16 28经过点 P( 3,2 7)和 Q( 6 2， 7)，且焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是 _ 设双曲线的方程为 mx2 ny2 1(mn 0)，则 9
19、m 28n 1，72m 49n 1， 解得 m 175，n 125，故双曲线的标准方程为 y225x275 1. 答案： y225x275 1 29已知双曲线的两个焦点 F1( 5， 0)， F2( 5， 0)， P 是双曲线上一点，且 PF1 PF2 0， |PF1|PF2| 2，则双曲线的标准方程为 _ 解析： 解析： 由题意可设双曲线方程为 x2a2y2b2 1(a 0， b 0) 由 PF1 PF2 0，得 PF1 PF2.根据勾股定理得 |PF1|2 |PF2|2 (2c)2，即 |PF1|2 |PF2|2 20. 根据双曲线定义有 |PF1| |PF2| 2 a.两边平方并代入 |
20、PF1|PF2| 2 得 20 2 2 4a2，解得 a2 4，从而 b2 5 4 1，所以双曲线方程为 x24 y2 1. 答案： x24 y2 1 30若双曲线 x24 y2m 1 的渐近线方程为 y 32 x，则双曲线的焦点坐标是 _ 解析： 由渐近线方程为 y m2 x 32 x，得 m 3，所以 c 7，又焦点在 x 轴上，则焦点坐标为 ( 7， 0) 答案： ( 7， 0) 31过双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M， N 两点，以 MN 为直径6 / 8 的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为 _ 解析： 由题意知
21、， a c b2a ，即 a2 ac c2 a2， c2 ac 2a2 0， e2 e 2 0，解得 e 2 或 e 1(舍去 ) 答案： 2 32双曲线 x29 y216 1 的右顶点为 A，右焦点为 F，过点 F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则 AFB 的面积为 _ 解析： 双曲线 x29 y216 1 的右顶点 A(3,0)，右焦点 F(5,0)，渐近线方程为 y 43x.不妨设直线 FB 的方程为 y43(x 5)，代入双曲线方程整理，得 x2 (x 5)2 9，解得 x 175 ， y 3215，所以 B 175 ， 3215 . 所以 S AFB 12|AF|y
22、B| 12(c a)|yB| 12 (5 3) 3215 3215. 答案： 3215. 三、解答题 33设 F1， F2分别是椭圆 C： x2a2y2b2 1(a b 0)的左、右焦点设椭圆 C 上一点 3， 32 到两焦点 F1， F2的距离和等于 4，写出椭圆 C 的方程和焦点坐标 解： 由点 3， 32 在椭圆上，得 32a2 322b2 1， 又 2a 4，所以椭圆 C 的方程为 x24y23 1，焦点坐标分别为 ( 1,0)， (1,0) 34已知椭圆的两焦点为 F1( 1,0)， F2(1,0)， P 为椭圆上一点，且 2| |F1F2 | |PF1 | |PF2 . (1)求此
23、椭圆的方程； 资 *源 % 库 Z(2)若点 P 满足 F1PF2 120 ，求 PF1F2 的面积 WWW解： (1)由已知得 | |F1F2 2， *源 %库 | |PF1 | |PF2 4 2a， a 2. b2 a2 c2 4 1 3， 椭圆的标准方程为 x24y23 1. (2)在 PF1F2 中，由余弦定理得 | |F1F2 2 | |PF1 2 | |PF2 2 2| |PF1 | |PF2 cos 120 ，即 4 ( )| |PF1 | |PF2 2 | |PF1| |PF2 ， 4 (2a)2 | |PF1 | |PF2 16 | |PF1 | |PF2 ， | |PF1
24、| |PF2 12， S PF1F2 12| |PF1 | |PF2 sin 120 12 12 32 3 3. 35在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1， F2在 x 轴上，离心率为 22 ，过点 F1的直线 l交椭圆 C 于 A， B 两点，且 ABF2 的周长为 16，求椭圆 C 的标准方程 解： 设椭圆 C 的标准方程为 x2a2y2b2 1(a b 0)由 e22 知ca22 ，故c2a212，从而a2 b2a2 12，b2a212. 由 ABF2的周长为 |AB| |BF2| |AF2| |AF1| |AF2| |BF1| |BF2| 4a 16，得 a
25、 4， b2 8.故椭圆 C的标准方程为 x216y28 1. 36椭圆 x2a2y2b2 1(a b 0)的右顶点是 A(a,0)，其上存在一点 P，使 APO 90 ，求椭圆离心率的取值 范围 7 / 8 资 *源 %库解： 设 P(x， y)，由 APO 90 知，点 P 在以 OA为直径的圆上，圆的方程是： x a2 2 y2 a2 2，所以 y2 ax x2. 又 P 点在椭圆上，故 x2a2y2b2 1. 把 代入 化简，得 (a2 b2)x2 a3x a2b2 0，即 (x a)(a2 b2)x ab20， x a， x 0， x ab2a2 b2，又 0 x a， 0ab2a2
26、 b2 a，即 2b2 a2. 由 b2 a2 c2，得 a2 2c2，所以 e 22 . 又 0 e 1， 22 e 1.即椭圆离心率的取值范围是 22 ， 1 . 37已知与双曲线 x216y29 1 共焦点的双曲线过点 P 52 ， 6 ，求该双曲线的标准方程 解： 已知双曲线 x216y29 1.据 c2 a2 b2，得 c2 16 9 25， c 5.设所求双曲线的标准方程为 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)依题意， c 5， b2 c2 a2 25 a2， 故双曲线方程可写为 x2a2y225 a2 1. 点 P 52 ， 6 在双曲线上， 522a2 6225 a2 1.
27、化简，得 4a4 129a2 125 0， Z解得 a2 1 或 a2 1254 .又当 a2 1254 时， b2 25 a2 25 1254 254 0，不合题意，舍去，故 a2 1， b2 24. 所求双曲线的标准方程为 x2 y224 1. 38已知 ABC 的两个顶点 A， B 分别为椭圆 x2 5y2 5 的左焦点和右焦点，且三个内角 A， B， C 满足关系式 sin B sin A 12sin C. Z(1)求线段 AB 的长度； (2)求顶点 C 的轨迹方程 Z解： (1)将椭圆方程化为标准形式为 x25 y2 1. a2 5， b2 1， c2 a2 b2 4，则 A( 2
28、,0)， B(2,0)， |AB| 4. (2) sin B sin A 12sin C， 由正弦定理得 |CA| |CB| 12|AB| 2 |AB| 4，即动点 C到两定点 A， B的距离之差为定值 动点 C 的轨迹是双曲线的右支，并且 c 2， a 1， 所求的点 C的轨迹方程为 x2 y23 1(x 1) 3939.已知椭圆方程是 x210y25 1，双曲线 E 的渐近线方程是 3x 4y 0，若双曲线 E 以椭圆的焦点为其顶点，求双曲线的方程 资 *源 %库资 *源 %库 解： 由已知，得椭圆的焦点坐标为 ( 5， 0)，顶点坐标为 ( 10， 0)和 (0， 5) 因双曲线以椭圆的
29、焦点为顶点，即双曲线过点 ( 5， 0)时，可设所求的双曲线方程为 9x2 16y2 k(k 0)，将点的坐标代入得 k 45，故所求方程是 x25 16y245 1. 40已知双曲线 C： x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的离心率为 3，且a2c 33 . 8 / 8 (1)求双曲线 C 的方程； (2)已知直线 x y m 0 与双曲线 C 交于不同的两点 A， B，且线段 AB 的中点在圆 x2 y2 5 上，求 m 的值 解： (1)由题意得 a2c 33 ，ca 3，解得 a 1，c 3. 所以 b2 c2 a2 2.所以双曲线 C 的方程为 x2 y22 1. (2)设 A， B 两点的坐标分别为 (x1， y1)， (x2， y2)，线段 AB 的中点为 M(x0， y0) 由 x y m 0，x2 y22 1，得 x2 2mx m2 2 0(判别式 0)所以 x0 x1 x22 m， y0 x0 m 2m. Z$来 &源： 因为点 M(x0， y0)在圆 x2 y2 5 上，所以 m2 (2m)2 5.故 m 1.
