1、 1 椭圆 的几何性质 2017/9/22 1.椭圆 x2 4y2 1 的离心率为 ( ) A. 32 B. 34 C. 22 D.23 2.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于 12，则 C 的方程是 ( ) A.x23y24 1 B.x24y23 1 C.x24y22 1 D.x24y23 1 3.若椭圆经过原点，且焦点分别为 1(1,0)F ， 2(3,0)F ，则其离心率为 （ ） A 34B 23C 12D 144已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为 13，长轴长为 12，则椭圆方程为 ( ) A x2144y2128 1 或x2128y2144 1 Bx26
2、y24 1 C x236y232 1 或x232y236 1 Dx24y26 1 或x26y24 1 5.椭圆 + =1 与 + =1(0b0)的两个焦点，过 F2作椭圆的弦 AB，若 AF1B 的周长为 16， 椭圆离心率 e= ，则椭圆的方程是 ( ) A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1 7.已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的左、右焦点为 F1、 F2，离心率为33 ，过 F2 的直线 l 交 C 于 A、 B 两点，若 AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为 ( ) A x23y22 1 Bx23 y2 1 C x212y28 1 Dx21
3、2y24 1 8.过椭圆 + =1(ab0)的左焦点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于点 P， F2为右焦点，若 F1PF2=60， 则椭圆的离心率为 ( ) A. B. C. D. 来源 :学 9.设 F1， F2是椭圆 E： + =1(ab0)的左、右焦点， P 为直线 x= 上一点， F2PF1是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为 ( ) A. B. C. D. 10.设 e 是椭圆 + =1 的离心率，且 e ，则实数 k 的取值范围是 ( ) A.(0， 3) B. C.(0， 3) D.(0， 2)来源 :学 |科 |网 二、填 空题 : 11.求适合下列条件的椭圆的标准方程
4、： (1)长轴长是 10，离心率是 45的椭圆的标准方程： . (2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为 6 的椭圆的 标准方程： . (3)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3的椭圆的 标准方程： . 12.已知椭圆 + =1 的两个焦点 是 F1,F2,点 P 在该椭圆上 ,若 |PF1|-|PF2|=2,则 PF1F2的 面积是 . 13.若直线 022 yx 过椭圆 )0(12222 babyax 的左焦点 F 和一个顶点 B，则该椭圆 的离心率为 _。 14.已知 F1， F2是椭圆 C： + =1(ab0)的两个焦点， P 为
5、椭圆 C 上的一点， 且 ，若 PF1F2的面积为 9，则 b=_. 15.已 知椭圆 12222 byax （ 0ba ）， F 为左焦 点， A 为左顶点， B 为上顶点， C 为下顶点， 且 0CFAB ，则椭圆的离心率 e 为 _. 16.在平面直角坐标系 xOy 中，已知 ABC 顶点 A(-4， 0)和 C(4， 0)，顶点 B 在 椭圆 + =1 上，则 =_. 17.如图所示 ,F1,F2分别为椭圆 + =1 的左、右焦点 ,点 P 在椭圆上 , POF2是面积为 的 正三角形 ,则离心率为 . 18.在平面直角坐标系中，椭圆 22xyab1( ab0)的焦距为 2，以 O 为
6、圆心， a 为半径作圆， 过点 2,0ac作圆的两切线互 相垂直，则离心率 e = 来源 19.求到定点 2,0A 与到定直线 8x 的距离之比为 22的动点的轨迹方程 2 2设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、 F2，过 F2 作椭圆长轴 的垂线交椭圆于点 P ，若 F1PF2 为 等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （ ） A. 22B. 212C. 22 D. 21 1. 过椭圆 C： )0(12222 babyax 左焦点 F1 作 x 轴的垂线，交椭 圆于点 P， F2 为右焦点， 若 F1PF2=60。 ，则椭圆的离心率为 _。 :学 +科 +网 Z+X+X+K 6.巳 知椭圆 G 的
7、中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为 32 ，且 G 上一点到 G 的 两个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G 的方 程为 7.椭圆 221xyab（ a b 0）的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1， F2。 若 |AF1|， |F1F2|， |F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 _ _. 8.椭圆 22143xy的左焦点为 F ，直线 xm 与椭圆相交于点 A 、 B ，当 FAB 的周长 最大时， FAB 的面积是 _。 9 设 12FF 是椭圆 22: 1( 0 )xyE a bab 的左、右焦点， P 为直线 32ax 上一点， 来源 :学 .科 .网Z.X.
8、X.K 21FPF 是底角为 30 的等腰三角形，则 E 的离心率为 _。 3.过椭圆 + =1 的中心任作一直线交椭圆于 P， Q 两点， F 是椭圆的一个焦点，则 PQF 周长 的最小值是 ( ) A.14 B.16 C.18 D.20 例 3： 【补偿训练】 设 e 是椭圆 + =1 的离 心率，且 e ，则实数 k 的取值范围是 ( ) A.(0， 3) B. C.(0， 3) D.(0， 2)来源 :学 |科 |网 【解析】 选 C.当 k4 时， c= ， 来源 :学科网 由条件知 ； 当 0b0)的左焦点为 F， A( a,0)， B(0， b)为椭圆的两个顶点，若点 F 到 A
9、B 的距离为 b7，则椭圆的离心率为 ( ) A.7 77 B. 7 2 77 C.12 D.45 8.已知 F1， F2 是椭圆的两个焦点，满足 MF1MF2 0 的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的 取值范围是 ( ) A.(0,1) B. 0， 12 C. 0， 22 D. 22 ， 1 二、填空题 ： 9.直线 l 过定点 A( 3,0)，则过点 A 的直线与椭圆 x29y24 1 的交点个数为 _. 10.若过椭圆 x216y24 1 内一点 (2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是 _. 11.已知动点 P(x， y)在椭圆 x225y216 1 上，若 A 点坐标为 (
10、3,0)， |AM| 1， 且 PMA M 0， 则 |P M|的最小值是 _. 12.过椭圆 x25y24 1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A， B 两点， O 为坐标原点， 则 OAB 的面积为 _. 13.若点 O 和点 F 分别为椭圆 x24y23 1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则 OPFP的最大值为 _. 三、解答题 ： 14.椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)的离心率为32 ，且椭圆与直线 x 2y 8 0 相交于 P， Q，且 |PQ| 10，求椭圆的方程 . 15.已知椭圆 x24y23 1，直线 l： y 4x12，若椭圆上存在两点 P、
11、Q 关于直线 l 对称，求直线 PQ 的方程 . 16.设 F1， F2 分别是椭圆 E： x2 y2b2 1(0 b 1)的左、右焦点，过 F1 的直线 l 与 E 相交 A， B 两点，且 |AF2|， |AB|， |BF2|成等差数列 .(1)求 |AB|； (2)若直线 l 的斜率为 1，求 b 的值 . 5 【解】 法一： 设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)， 则 kPQ 14. 设 PQ 所在直线方程为 y x4 b. 由 y x4 b，x24y23 1，消去 y，得 13x2 8bx 16b2 48 0. ( 8b)2 4 13 (16b2 48) 0. 解得 b2 1
12、34 ， x1 x2 8b13， 设 PQ 中点为 M(x0， y0)，则有 x0 x1 x22 4b13， y0 144b13 b 12b13 . 点 M 4b13， 12b13 在直线 y 4x 12上， 12b13 44b13 12， b 138 . 直线 PQ 的方程为 y 14x 138 ， 即 2x 8y 13 0. 法二： 设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)， M(x0， y0)是 PQ 的中点 . 则有 3x21 4y21 12，3x22 4y22 12， 两式相减，得 3(x1 x2)(x1 x2) 4(y1 y2)(y1 y2) 0. x1 x2， x1 x2 2
13、x0， y1 y2 2y0， 3x04y0 y1 y2x1 x2 kPQ. kPQ 14， y0 3x0. 代入直线 y 4x 12， 得 x0 12， y0 32， 则直线 PQ 的方程为 y 32 14 x 12 ， 即 2x 8y 13 0. 10.设 F1， F2 分别是椭圆 E： x2 y2b2 1(0 b 1)的左、右焦点，过 F1 的直线 l 与 E 相交 A， B 两点，且 |AF2|， |AB|， |BF2|成等差数列 . (1)求 |AB|； (2)若直线 l 的斜率为 1，求 b 的值 . 【解】 (1)由椭圆定义知 |AF2| |AB| |BF2| 4， 又 2|AB|
14、 |AF2| |BF2|，所 以 |AB| 43. (2)直线 l 的方程为 y x c，其中 c 1 b2. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 A， B 两点坐标满足方程组 y x c，x2 y2b2 1，化简得 (1 b2)x2 2cx 1 2b2 0. 则由根与系数的关系，得 x1 x2 2c1 b2， x1x2 1 2b21 b2 . 因为直线 AB 的斜率为 1， 所以 |AB| 2|x1 x2|， 即 43 2|x1 x2|. 所以 (x1 x2)2 4x1x2 89， 即 41 b21 b2241 2b21 b2 8b41 b2289， 6 解得 b2 12或 b
15、2 14(舍去 )， 又 b 0， b 22 . 能力提升 1.已知椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)的左焦点为 F， A( a,0)， B(0， b)为椭圆的两个顶点，若点 F 到 AB的距离为 b7，则椭圆的离心率为 ( ) A.7 77 B. 7 2 77 C.12 D.45 【解析】 直线 AB 的方程是 x a yb 1，即 bx ay ab 0.因为点 F 的坐标为 ( c,0)，所以| bc ab|a2 b2 b7，化简，得 8c2 14ac 5a2 0，两端同除以 a2，得 8e2 14e 5 0，解得 e 12 e 54舍去 . 【答案】 C 2.已知 F1， F2 是椭圆
16、的两个焦点，满足 MF1MF2 0 的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 ( ) A.(0,1) B. 0， 12 C. 0， 22 D. 22 ， 1 【解析】 MF1 MF2， 点 M 在以 F1F2 为直径的圆上，又点 M 在椭圆内部， c0， 0b0)的右焦点为 F，过点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A， B 两点，直线 l的倾斜角为 60， A F 2F B. (1)求椭圆 C 的离心率； (2)如果 |AB| 154 ，求椭圆 C 的标准方程 . 【 导学号： 97792080】 【解】 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，其中 y10. (1)直线
17、l 的方程为 y 3(x c)， 其中 c a2 b2. 联立，得 y 3x c，x2a2y2b2 1，消去 x，得 (3a2 b2)y2 2 3b2cy 3b4 0. 解得 y1 3b2c 2a3a2 b2 ， y2 3b2c 2a3a2 b2 因为 AF 2FB，所以 y1 2y2， 即 3b2c 2a3a2 b2 2 3b2c 2a3a2 b2 ， 得离心率 e ca 23. (2)因为 |AB| 1 13|y2 y1|， 所以 234 3ab23a2 b2154 . 由 ca 23，得 b 53 a，所以 54a 154 ，所以 a 3， b 5. 所以椭圆 C 的标准方程为 x29y
18、25 1. 7 6.(2014陕西高考 )已知椭圆 + =1(ab0)经过点 (0， )，离心率为 ，左、右焦点分别为 F1(-c， 0)， F2(c， 0). (1)求椭圆的方程 . (2)若直线 l： y=- x+m 与椭圆交于 A， B 两点，与以 F1F2为直径的圆交于 C，D 两点，且满足 = ，求直线 l 的方程 . 【解题指南】 (1)先由已知得椭圆短半轴长，再由离心率及 a， b， c 间的关系，列方程组得解 .(2)先利用直线与圆相交求得弦 CD 的长，再利用椭圆与直线相交得 AB 的长，通过解方程得 m 值从而得解 . 【解析】 (1)由题设知 解得 a=2， b= ， c
19、=1， 所以椭圆 的方程为 + =1. (2)由题设，以 F1F2为直径的圆的方程为 x2+y2=1， 所以圆心到直线的距离 d= . 由 db0)的一个顶点为 A(2， 0)， 离心率为 .直线y=k(x-1)与椭圆 C交于不同的两点 M， N. (1)求椭圆 C的方程 . (2)当 AMN的面积为 时 ， 求 k的值 . 【解析】 (1)由题意得 解得 b= . 所以椭圆 C的方程为 + =1. (2)由 得 (1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0. =24k2+160. 设点 M， N的坐标分别为 (x1， y1)， (x2， y2)， 则 y1=k(x1-1)， y2=k(x2-
20、1)， x1+x2= ， x1x2= ， 所以 |MN|= = = . 又因为点 A(2， 0)到直线 y=k(x-1)的距离 d= ， 9 所以 AMN的面 积为 |MN| d= . 由 = ，解得 k= 1. 5.设 P 是圆 x2+y2=25 上的动点 ， 点 D是 P 在 x轴上的投影 ， M为 PD 上一点 ，且 |MD|= |PD|. (1)当 P在圆上运动时 ， 求点 M的轨迹 C的方程 . (2)求过点 (3， 0)且斜率为 的直线被 C所截线段的长度 . 【解析】 (1)设 M的坐标为 (x， y)， P的坐标为 (xP， yP)， 由已知得 因 为 P在圆上，所以 x2+
21、=25， 即 C 的方程为 + =1. (2)过点 (3， 0)且斜率为 的直线方程为 y= (x-3)， 设直线与 C的交点为 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 将直线方程 y= (x-3)代入 C的方程， 得 + =1，即 x2-3x-8=0. =(-3)2+32=410 所以 x1+x2=3， x1x2=-8. 所以线段 AB的长度为 |AB|= = = = = . 【精彩点拨】 (1)设直线方程 联立方程组 利用弦长公式求解； (2)考查椭圆的中点弦问题及 “ 点差法 ” 的运用 . 【自主解答】 (1)由已知可得直线 l 的方程为 y 2 12(x 4)， 即 y 12x.
22、 由 y 12x，x236y29 1，可得 x2 18 0，若设 A(x1， y1)， B(x2， y2). 则 x1 x2 0， x1x2 18. 于是 |AB| x1 x22 y1 y22 x1 x22 14x1 x22 52 x1 x22 4x1x2 52 6 2 3 10. 所以线段 AB 的长度为 3 10. (2)法一： 设 l 的斜率为 k， 则其方程为 y 2 k(x 4). 联立 x236y29 1，y 2 kx 4，消去 y 得 (1 4k2)x2 (32k2 16k)x (64k2 64k 20) 0. 若设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 32
23、k2 16k1 4k2 ， 由于 AB 的中点恰好为 P(4,2)， 所以 x1 x22 16k2 8k1 4k2 4， 解得 k 12，且满足 0. 这时直线的方程为 y 2 12(x 4)， 10 即 y 12x 4. 法二： 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则有 x2136 y219 1，x2236y229 1，两式相减得 x22 x2136 y22 y219 0， 整理得 kAB y2 y1x2 x1 9x2 x136y2 y1， 由于 P(4,2)是 AB 的中点， x1 x2 8， y1 y2 4， 于是 kAB 9 836 4 12， 于是直线 AB 的方程为 y
24、 2 12(x 4)， 即 y 12x 4. 1.求解直线与椭圆相交所得的弦长问题，一般思 路是将直线方程与椭圆方程联立，得到关于 x(或y)的一元二次方程，然后结合根与系数的关系及两点间的距离公式求弦长 .一定要熟记公式的形式并能准确运算 . 椭圆方程为 x2 4y2 a2. 与 x 2y 8 0 联立消去 y，得 2x2 16x 64 a2 0， 由 0 得 a232，由弦长公式得 10 54 64 2(64 a2). a2 36， b2 9. 椭圆的方程为 x236y29 1. 探究 在椭圆的有关问题中，常出现离心率、弦长或面积的范围、最值 问题，这类问题一般思路是什么？ 【提示】 (1
25、)解决与椭圆有关的最值问题，一般先根据条件列出所求目标函数的关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法，应用不等式的性质，以及三角函数的最值求法求出它的最大值或最小值及范围 . (2)解决椭圆 x2a2y2b2 1(a b 0)中的范围问题常用的关系有 a x a， b y b； 离心率 0 e 1； 一元二次方程有解，则判别式 0. 已知椭圆 C： x2 2y2 4. (1)求椭圆 C 的离心率； (2)设 O 为原点，若点 A 在直线 y 2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OA OB，求线段 AB 长度的最小值 . 【精彩点拨】 (2)中，设 A， B 坐标 OAOB 0 |AB|化为关
26、于 x0的函数 求最值 . 【自主解答】 (1)由题意，椭圆 C 的标准方程为 x24y22 1， 所以 a2 4， b2 2，从而 c2 a2 b2 2. 因此 a 2， c 2. 故椭圆 C 的离心 率 e ca 22 . (2)设点 A， B 的坐标分别为 (t,2)， (x0， y0)，其中 x0 0.因为 OA OB，所以 OAOB 0， 即 tx0 2y0 0，解得 t 2y0x0. 又 x20 2y20 4， 所以 |AB|2 (x0 t)2 (y0 2)2 x0 2y0x02 (y0 2)2 x20 y20 4y20x20 4 x20 4 x202 24 x20x20 4 x2
27、028x20 4(0 x20 4). 因为 x2028x20 4(0x20 4)，且当 x20 4 时等号成立， 所以 |AB|2 8. 故线段 AB 长度的最小值为 2 2. 解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等，解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想 .其中应用比较多 的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件 . 再练一题 3.已知椭圆 x2a2y2b2 1(a b 0)的离心率为63 ，短轴的一个端点到右焦点的距离为 3，直线 l： y kx m 交椭圆于不同的两点 A， B. (1)求椭圆的方程； (2)若坐标原点 O 到直线 l 的距离为 32 ，求 AOB 面积的最 大值 . 【 导学号： 97792019】 【解】 (1)由 ca 63 ， a 3， 所以 c 2， b 1， 所以椭圆的方程为 x23 y2 1.
