1、 - 1 - 专题二 三角函数与平面向量 第 1 讲 三角函数的图象与性质 高考定位 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查： 1.三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查 .2.利用三 角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查 . 真 题 感 悟 1.(2015山东卷 )要得到函数 y sin 4x 3 的图象，只需将函数 y sin 4x 的图象 ( ) A.向左平移 12个单位 B.向右平移 12个单位 C.向左平移 3个单位 D.向右平移 3个单位 2.如图
2、，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y 3sin 6x k，据此函数可知，这段时间水深 (单位： m)的最大值为 ( ) A.5 B.6 C.8 D.10 3.函数 f(x) cos(x )的部分图象如图所示，则 f(x)的单调递减区间为 ( ) A. k 14， k 34 ， k Z B. 2k 14， 2k 34 ， k Z C. k 14， k 34 ， k Z D. 2k 14， 2k 34 ， k Z 4.函数 f(x) sin2x sin xcos x 1 的最小正周期是 _，单调递减区间是 _. 考 点 整 合 1.三角函数的图象及常用性质 (表中 k Z
3、) y sin x y cos x y tan x 图象 增区间 2 2k， 2 2k 2k， 2k 2 k， 2 k 减区间 2 2k， 32 2k 2k， 2k 无 对称轴 x k 2 x k 无 对称中心 (k， 0) 2 k， 0 k2 ， 0 2.三角函数的两种常见变换 (1)y sin x 向左 ( 0)或向右 ( 0)平移 |个单位y sin(x ) y sin(x ) 纵坐标变为原来的 A倍横坐标不变- 2 - y Asin(x )(A 0， 0). (2)y sin x y sin x 向左 ( 0)或向右 ( 0)平移 个单位y sin(x ) 纵坐标变为原 来的 A倍横坐
4、标不变y Asin(x )(A 0， 0). 3.正弦型函数 y Asin(x )的对称中心是函数图象与 x 轴的交点，对 称轴是过函数图象的最高点或者最低点且与 x 轴垂直的直线；正切型函数 y Atan(x )的图象是中心对称图形，不是轴对称图形 . 热点一 三角函数的图象 微题型 1 三角函数的图象变换 【 例 1 1】 (2015湖北卷 )某同学用 “ 五点法 ” 画函数 f(x) Asin(x ) 0， |0)个单位长度，得到 y g(x)的图象 .若 y g(x)图象的一个对称中心为 512， 0 ，求 的最小值 . 微题型 2 由三角函数图象求其解析式 【 例 1 2】 (201
5、5长沙模拟 )函数 y Asin(x )( 0， | 2， x R)的部分图象如图所示，则函数表达式为 ( ) A.y 4sin 8x 4 B. y 4sin 8x 4 C.y 4sin 8x 4 D.y 4sin 8x 4 【 训练 1】 已知向量 a (m， cos 2x)， b (sin 2x， n)，函数 f(x) ab，且 y f(x)的图象过点 12， 3 和点 23 ， 2 . (1)求 m， n 的值； (2)将 y f(x)的图象向左平移 (0 )个单位后得到函数 y g(x)的图象，若 y g(x)图象上各最高点到点 (0， 3)的距离 的最小值为 1，求 y g(x)的单
6、调递增区间 . - 3 - 热点二 三角函数的性质 微题型 1 根据单调性、对称性求参数 【 例 2 1】 已知 0，函数 f(x) sin x 4 在 2， 上单调递减，则 的取值范围是 ( ) A. 12， 54 B. 12， 34 C. 0， 12 D.(0， 2 微题型 2 考查三角函数的单调性、对称性 【 例 2 2】 (2015石家庄模拟 )设函数 f(x) sin(2x )( 0)， y f(x)的图象的一条对称轴是直线 x 8. (1)求 ； (2)求函数 y f(x)的单调增区间 . 微题型 3 考查三角函数在闭区间上的最值 (或值域 ) 【 例 2 3】 (2015济南模拟
7、 )设函数 f(x) sin2x 2 3sin xcos x cos2x (x R)的图象关于直线 x 对称，其中 ， 为常数，且 12， 1 . (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)若 y f(x)的图象经过点 4， 0 ，求函数 f(x)在 x 0， 2 上的值域 . 【 训练 2】 (2015河南名校联考 )已知函数 f(x) cos 2x 3 sin2x cos2x. (1)求函数 f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程； (2)设函数 g(x) f(x)2 f(x)，求 g(x)的值域 . - 4 - 1.(1)y sin x 与 y sin x 的单调性正好相反， y c
8、os x 与 y cos x 的单调性也同样相反 . (2)y |sin x|与 y |cos x|的周期是 ， y sin|x|不是周期函数， y cos|x|是周期函数 . (3)对于函数 y tan x，不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间 k 2， k 2 (k Z)上为增函数 . 2.运用整体换元法求解单调区间与对称性： 类比 y sin x 的性质，只需将 y Asin(x )中的 “ x ” 看成 y sin x 中的 “x”，采用整体代入求解 . (1)令 x k 2(k Z)，可求得对称轴方程； (2)令 x k(k Z)，可求得对称中心的横坐标； (3)将 x 看作
9、整体，可求得 y Asin(x )的单调区间，注意 的 符号 . 3.奇偶性： (1)函数 y Asin(x )， x R 是奇函数 k(k Z)；函数 y Asin(x )， x R 是偶函数 k 2(k Z)； (2)函数 y Acos(x )， x R 是奇函数 k 2(k Z)；函数 y Acos(x )， x R 是偶函数 k(k Z)； (3)函数 y Atan(x )， x R 是奇函数 k2 (k Z). 4.已知函数 y Asin(x ) B(A 0， 0)的图象求解析式 (1)A ymax ymin2 ， B ymax ymin2 . (2)由函数的周期 T 求 ， 2T
10、. (3)利用 “ 五点法 ” 中相对应的特殊点求 . 一、选择题 1.为了得到函数 y sin 3x cos 3x 的图象 ，可以将函数 y 2cos 3x 的图象 ( ) A.向右平移 4个单位 B.向左平移 4个单位 C.向右平移 12个单位 D.向左平移 12个单位 2.(2015广州期末 )若函数 f(x) sin ax 3cos ax(a 0)的最小正周期为 2，则函数 f(x)的一个零点为 ( ) A. 3 B. 23 C. 23， 0 D.(0， 0) 3.(2014湖南卷 )已知函数 f(x) sin(x )，且230 f(x)dx 0，则函数 f(x)的图象的一条对称轴是
11、( ) A.x 56 B. x 712 C.x 3 D.x 6 4.已知函数 f(x) sin x 3cos x( 0)， f 6 f 2 0，且 f(x)在区间 6， 2 上递减，则 ( ) A.3 B.2 C.6 D.5 5.(2015安徽卷 )已知函数 f(x) Asin(x )(A， ， 均为正的常数 )的最小正周期为 ，当 x 23 时，函数 f(x)取得最小值，则下列结论正确的是 ( ) - 5 - A.f(2)0， 0).若 f(x)在区间 6， 2 上具有单调性，且 f 2 f 23 f 6 ，则 f(x)的最小正周期为 _. 三、解答题 9.(2015北京卷 )已知函数 f(
12、x) 2sinx2cosx2 2sin2x2. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在 区间 ， 0上的最小值 . 10.(2015咸阳模拟 )已知函数 f(x) Asin x 4 (A 0， 0)， g(x) tan x，它们的最小正周期之积为 22， f(x)的最大值为 2g 174 . (1)求 f(x)的单调递增区间； (2)设 h(x) 32f2(x) 2 3cos2x.当 x a， 3 时， h(x)有最小值为 3，求 a 的值 . 11.(2015福建卷 )已知函数 f(x)的图象是由函数 g(x) cos x 的图象经如下变换得到：先将 g(x)图象上所有点的纵
13、坐标伸长到原来的 2 倍 (横坐标不变 )，再将所得到的图象向右平移 2个单位长度 . (1)求函数 f(x)的解析式，并求其图象的对称轴方程； (2)已知关于 x 的方程 f(x) g(x) m 在 0， 2)内有两个不同的解 ， . 求实数 m 的取值 范围； - 6 - 证明： cos( ) 2m25 1. 第 2 讲 三角恒等变换与解三角形 高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式 (两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式 )进行变换， “ 角 ” 的变换是三角恒等变换的核心，试题多为选
14、择题或填空题 .2.利用正弦定理或余 弦定理解三角形、判断三角形的形状或求值等，并经常和三角恒等变换结合进行综合考查 . 真 题 感 悟 1.(2015重庆卷 )若 tan 2tan 5，则cos 310sin 5 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2015广东卷 )设 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.若 a 3， sin B 12， C 6，则 b _. 3.(2015北京卷 )在 ABC 中， a 4， b 5， c 6，则 sin 2Asin C _. 4.(2015全国 卷 )在平面四边形 ABCD 中， A B C 75， BC 2，则 AB
15、 的取 值范围是 _. 考 点 整 合 1.三角函数公式 (1)同角关系： sin2 cos2 1， sin cos tan . (2)诱导公式：在 k2 ， k Z 的诱导公式中 “ 奇变偶不变，符号看象限 ”. (3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： - 7 - sin() sin cos cos sin ； cos() cos cos sin sin ； tan() tan tan 1tan tan . (4)二倍角公式： sin 2 2sin cos ， cos 2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2. 2.正、余弦定理、三角形面积公式 (1) asin A bsin
16、 B csin C a b csin A sin B sin C 2R(R 为 ABC 外接圆的半径 ). 变形： a 2Rsin A， b 2Rsin B， c 2Rsin C； sin A a2R， sin B b2R， sin C c2R； a b c sin A sin B sin C. (2)a2 b2 c2 2bccos A， b2 a2 c2 2accos B， c2 a2 b2 2abcos C； 推论： cos A b2 c2 a22bc ， cos Ba2 c2 b22ac ， cos Ca2 b2 c22ab ； 变形： b2 c2 a2 2bccos A， a2 c2
17、b2 2accos B， a2 b2 c2 2abcos C. (3)S ABC 12absin C 12acsin B 12bcsin A. 热点一 三角变换的应用 微题型 1 求值 【 例 1 1】 (1)(2015成都模拟 )sin( ) 53 且 ， 32 ，则 sin 2 2 ( ) A. 63 B. 66 C. 66 D. 63 (2)(2015邯郸模拟 )已知 cos（ 2）sin 4 22 ，则 cos sin ( ) A. 72 B. 72 C.12 D. 12 (3)(2015太原模拟 )已知 tan tan 1 1，则 cos2 2 sin( )cos( ) 2 _. 微
18、题型 2 求角 【 例 1 2】 (2015中山模拟 )已知 cos(2 ) 1114， sin( 2) 4 37 ， 0 4 2，则 _. 【 训练 1】 (2014新课标全国 卷 )设 0， 2 ， 0， 2 ，且 tan 1 sin cos ，则 ( ) A.3 2 B.2 2 C.3 2 D.2 2 热点二 正、余弦定理的应用 微题型 1 判断三角形的形状 【 例 2 1】 (2015焦作模拟 )在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.若 (a2 b2)sin(A B) (a2 b2)sin(A B)，则 ABC 的形状是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角
19、形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 微题型 2 解三角形 【 例 2 2】 已知 a， b， c 分别为 ABC 的内角 A， B， C 的对边，且 acos C 3asin C b c 0. (1)求 A； (2)若 a 2，求 ABC 面积的最大值 . - 8 - 微题型 3 求解三角形中的实际问题 【 例 2 3】 (2015湖北卷 )如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时 测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处， 测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD _m. 【 训练 2】 (20
20、15湖南卷 )设 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， a btan A，且 B 为钝角 . (1)证明： B A 2； (2)求 sin A sin C 的取值范围 . 1.对于三角函数的求值，需关注： (1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式； (2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用； (3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法 . 2.三角形中判断边、角关系的具体方法： (1)通过正弦定理实施 边角转换； (2)通过余弦定理实施边角转换； (3)通
21、过三角变换找出角之间的关系； (4)通过三角函 数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论； (5)若涉及两个 (或两个以上 )三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程 (组 )求解 . 3.三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用 “ 三角形的内角和等于 ” 和诱导公式可得到sin(A B) sin C， sinA B2 cos C2等，利用 “ 大边对大角 ” 可以解决解三角形中的增解问题，如：在斜三角形中，用正 弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大
22、角求小角，则只有一解，注意确定解的个数 . 一、选择题 1.已知 R， sin 2cos 102 ，则 tan 2 等于 ( ) A.43 B. 34 C. 34 D. 43 2.(2015晋中模拟 )已知 2， ， sin 4 35，则 cos 等于 ( ) - 9 - A. 210 B. 7 210 C. 210或 7 210 D. 7 210 3.钝角三角形 ABC 的面积是 12， AB 1， BC 2，则 AC ( ) A.5 B. 5 C.2 D.1 4.在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c.若 c2 (a b)2 6， C 3，则 ABC 的面积是
23、 ( ) A.3 B. 9 32 C.3 32 D.3 3 5.已知 tan 43， sin( ) 513，其中 ， (0， )，则 sin 的值为 ( ) A.6365 B. 3365 C.1365 D.6365或 3365 二、填空题 6.在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 ABC 的面积为 3 15， b c 2， cos A 14，则a 的值为 _. 7.(2015南昌模拟 )若 ABC的内角满足 sin A 2sin B 2sin C，则 cos C 的最小值是 _. 8.如图，嵩山上原有一条笔直的 山路 BC，现在又新架设了一条索道 AC，小
24、李在山脚 B 处看索道 AC，发现张角 ABC 120；从 B 处攀登 400 米到达 D 处，回头看索道 AC，发现张角 ADC 150；从 D 处再攀登 800 米方到达 C 处，则索道 AC 的长为 _米 . 三、解答题 9.设 ABC 的内角 A， B， C 所对边的长分别是 a， b， c，且 b 3， c 1， A 2B. (1)求 a 的值； (2)求 sin A 4 的值 . 10.(2015唐山模拟 )在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 csin B bcos C 3. (1)求 b； (2)若 ABC 的面积为 212 ，求 c. - 1
25、0 - 11.(2015山东卷 )设 f(x) sin xcos x cos2 x 4 . (1)求 f(x)的单调区间； (2)在锐角 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.若 f A2 0， a 1，求 ABC 面积的最大值 . 第 3 讲 平面向量 高考定位 1.对向量的概念和线性运算的考查多以熟知的平面图形为背景，多为客观题； 2.对平面向量数量积的考查多以考查角、模等问题为主，难度不大； 3.还可能体 现模块之 间的综合性 (例如与三角、解析几何等相结合 ). 真 题 感 悟 1.(2015山东卷 )已知菱形 ABCD 的边长为 a， ABC 60 ，则 BD
26、 CD ( ) A. 32a2 B. 34a2 C.34a2 D.32a2 2.(2015重庆卷 )若非零向量 a， b 满足 |a| 2 23 |b|，且 (a b) (3a 2b)，则 a 与 b 的夹角为 ( ) A.4 B.2 C.34 D. 3.(2015全国 卷 )设 D 为 ABC 所在平面内一点， BC 3CD ，则 ( ) A.AD 13AB 43AC B. AD 13AB 43AC C.AD 43AB 13AC D.AD 43AB 13AC 4.(2015全国 卷 )设向量 a， b 不平行，向量 a b 与 a 2b 平行，则实数 _. 考 点 整 合 1.平面向量的两个重要定理 (1)向量共线定理：向量 a(a 0)与 b 共线当且仅当存在唯一一个实数 ，使 b a. (2)平面向量基本定理：如果 e1， e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 1， 2，使 a 1e1 2e2，其中 e1， e2 是一组基底 . 2.平面向量的两个充要条件 若两个非零向量 a (x1， y1)， b (x2， y2)，则 (1)a ba bx1y2 x2y1 0. (2)a bab 0x1x2 y1y2 0.
