1、第 二 章 轨迹与方程 2.1 平面曲线的方程 1.一动点 M 到 A )0,3( 的距离恒等于它到点 )0,6(B 的距离一半，求此动点 M 的轨迹方程，并指出此轨迹是什么图形？ 解：动点 M 在轨迹上的充要条件是 MBMA 21 。设 M 的坐标 ),( yx 有 2222 )6(21)3( yxyx 化简得 36)6( 22 yx 故此动点 M 的轨迹方程为 36)6( 22 yx 此轨迹为椭圆 2.有一长度为 a2 a( 0）的线段，它的两端点分别在 x 轴正半轴与 y 轴的正半轴上移动，是 求 此 线 段 中 点 的 轨 迹 。 A ， B 为 两 端 点 ， M 为 此 线 段 的
2、 中 点 。 解：如图所示 设 ( , ),Axo ( , )Boy .则 ( , )22xyM .在 Rt AOB 中有 2 2 2( ) (2 )x y a .把 M 点的坐标代入此式得 : 2 2 2()x y a( 0, 0)xy. 此线段中点的轨迹为 2 2 2()x y a. 3. 一动点到两定点的距离的乘积等于定值 2m ,求此动点的轨迹 . 解 :设两定点的距离为 2a ,并取两定点的连线为 x 轴 , 两定点所连线段的中垂 线为 y 轴 .现有 :2AM BM m.设 ( , )Mxy 在 Rt BNM 中 222()a x y AM . (1) 在 Rt BNM 中 222
3、()a x y BM . (2) 由 (1) (2) 两式得 : 2 2 2 2 2 2 4 4( ) 2 ( )x y a x y m a . 4.设 ,PQR 是等轴双曲线上任意三点 ,求证 PQR 的重心 H 必在同一等轴双曲线上 . 证 明 :设等轴双曲线的参数方程为 x ctcy t 11( , )Px y , 22( , )Qx y , 33( , )Rx y .重心 H 1 2 3 1 2 3( , )33x x x y y y 5.任何一圆交等轴双曲线 2xy c 于四点1 1( , )cPct t,2 2( , )cQct t,3 3( , )cRct t及4 4( , )c
4、Sct t.那么一定有 1 2 3 4 1tttt . 证明 :设圆的方程 22 2 2 0x y D x E y F .圆与等轴双曲线交点 ( , )cctt ,则代入得2222 22 0 .c E cc t D ct Ftt 整理得 : 2 4 3 2 22 2 0 .t D ct F t E ct c 可知( 1,2,3,4)i 是它的四个根 ,则有韦达定理 1 2 3 4t t t t 24 2( 1) 1cc. 8. 把下面的平面曲 线的普通方程化为参数方程 . 32 xy ; 0,212121 aayx ; 0,0333 aa xyyx . 解 :tytx 32 令 4cosax
5、,代入方程 212121 ayx 得 42212212121 s in,s inc o s ayaaay 参数方程为 44sincosay ax. 令 ,txy 代入方程 0333 axyyx 得 031 233 atxxt 031 32 atxtx 当 0x 时 , ;0y 当313tatx 时 ,3213 taty 3130 tatxx 或故参数方程为3231313tatytatx. 2.2 曲面的方程 1、 一动点移动时，与 )0,0,4(A 及 xoy 平面等距离，求该动点的轨迹方程。 解：设在给定的坐标系下，动点 ),( zyxM ，所求的轨迹为 C ， 则 zMACzyxM ),(
6、 亦即 zzyx 222)4( 0)4( 22 yx 由于上述变形为同解变形，从而所求的轨迹方程为 0)4( 22 yx 2、在空间，选取适当的坐标系，求下列点的轨迹方程： （ 1） 到两定点距离之比为常数的点的轨迹； （ 2）到两定点的距离之和为常数的点的轨迹； （ 3）到两定点的距离之差为常数的点的轨迹； （ 4）到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹。 解：（ 1）取二定点的连线为 x 轴，二定点连接线段的中点作为坐标原点，且令两距离之比的常数为 m ，二定点的距离为 a2 ，则二定点的坐标为 )0,0,(),0,0,( aa ，设动点 ),( zyxM ，所求 的轨迹为 C ，则
7、 222222 )()(),( zyaxmzyaxCzyxM 亦即 )()( 2222222 zyaxmzyax 经同解变形得： 0)1()1(2)(1( 2222222 amxmazyxm 上式即为所要求的动点的轨迹方程。 （ 2）建立坐标系如（ 1），但设两定点的距离为 c2 ，距离之和常数为 a2 。设动点 ),( zyxM ，要求的轨迹为 C ， 则 azycxzycxCzyxM 2)()(),( 222222 亦即 222222 )(2)( zycxazycx 两边平方且整理后，得： )()( 2222222222 caazayaxca （ 1） 222 cabca 令 从而（ 1）
8、为 22222222 bazayaxb 即： 22222222 bazayaxb 由于上述过程为同解变形，所以（ 3）即为所求的轨迹方程。 （ 3）建立如（ 2）的坐标系，设动点 ),( zyxM ，所求的轨迹为 C ， 则 azycxzycxCzyxM 2)()(),( 222222 类似于（ 2），上式经同解变形为： 1222222 czbyax 其中 )(222 acacb （ *） （ *）即为所求的轨迹的方程。 （ 4）取定平面为 xoy 面，并让定点在 z 轴上，从而定点的坐标为 ),0,0( c ，再令距离之比为m 。 设动点 ),( zyxM ，所求的轨迹为 C ，则 zmzy
9、xCzyxM 222),( 将上述方程经同解化简为： 02)1( 22222 cczzmyx （ *） （ *）即为所要求的轨迹方程。 3. 求下列各球面的方程： （ 1）中心 )3,1,2( ，半径为； 6R （ 2）中心在原点，且经过点 )3,2,6( ； （ 3）一条直径的两端点是 )3,1,4()5,32( 与 （ 4）通过原点与 )4,0,0(),0,3,1(),0,0,4( 解：（ 1）由本节例 5 知，所求的球面方程为： 36)3()1()2( 222 zyx （ 2）由已知，球面半径 73)2(6 222 R 所以类似上题，得球面方程为 O z y x 49222 zyx （
10、3）由已知，球面的球心坐标 12 35,12 13,32 42 cba ，球的半径21)35()31()24(21 222 R ，所以球面方程为： 21)1()1()3( 222 zyx （ 4）设所求的球面方程为： 0222222 lkzhygxzyx 因该球面经过点 )4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(),0,0,0( ，所以 08160621008160khggl（ 1） 解（ 1）有 2210kghl所求的球面方程为 0424222 zyxzyx 2.3 母线平行于坐标轴的柱面方程 1、画出下列方程所表示的曲面的图形。 （ 1） 3694 22 yx 解：各题的图形如下： （
11、 1） 3694 22 yx 2.4 空间曲线的方程 1、平面 cx 与 0222 xyx 的公共点组成怎样的轨迹。 解：上述二图形的公共点的坐标满足 cx ccycx xyx )2(02 222 从而：（ ）当 20 c 时，公共点的轨迹为： cx ccy )2(及 cx ccy )2(即为两条平行轴的直线； （ ）当 0c 时，公共点的轨迹为： 00xy即为 z 轴； （ ）当 2c 时，公共点的轨迹为： 20xy即过 )0,0,2( 且平行于 z 轴的直线； （ ）当 2c 或 0c 时，两图形无公共点。 2、指出下列曲面与三个坐标面的交线分别是什么曲线？ （ 1） 6416 222 z
12、yx ； （ 2） 64164 222 zyx ； （ 3） 64164 222 zyx ； （ 4） zyx 109 22 解：（ 1）曲面与 xoy 面的交线为： 0 640 6416 22222 z yxz zyx 此曲线是圆心在原点，半径 8R 且处在 xoy 面上的圆。 同理可求出曲面 6416 222 zyx 与 yoz 面 )0( x 及 zox 面 )0( y 的交线分别为： 0 6416 22x zy ， 0 6416 22y zx 它们分别是中心在原点，长轴在 y 轴上，且处在 yoz 面上的椭圆，以及中心在原点，长轴在x 轴上，且处在 zox 面上的椭圆； （ 2）由面
13、64164 222 zyx 与 xoy 面 )0( z ， yoz 面 )0( x ， zox 面 )0( y 的交线分别为： 0 64164 222z zyx , 0 64164 222x zyx , 0 64164 222y zyx 亦即： 0 644 22z yx , 0 164 22x zy , 0 6416 22y zx 即为中心在原点，长轴在 x 轴上，且处在 xoy 面上的椭圆；中心在原点，实轴在 y 轴，且处在 yoz 面上的双曲线，以及中心在原点，实轴在 x 轴，且处在 zox 面上的双曲线。 （ 3）曲面 64164 222 zyx 与 xoy 面 )0( z ， yoz
14、面 )0( x ， zox 面 )0( y 的交线分别为： 0 64164 222z zyx , 0 64164 222x zyx , 0 64164 222y zyx 亦即 0 644 22z yx , 0 64164 22x zy , 0 6416 22y zx 即为中心在原点，实轴在 x 轴，且处在 xoy 面上的双曲线；无轨迹以及中心在原点，实轴在x 轴上，且处在 zox 面上的双曲线。 （ 4）曲面 zyx 169 22 与 xoy 面 )0( z ， yoz 面 )0( x ， zox 面 )0( y 的交线分别为： 0 169 22z zyx , 0 169 22x zyx ,
15、0 169 22y zyx 亦即 0 09 22z yx , 0 169 2x zy , 0162y zx 即为坐标原点，顶点在原点以 z 轴为对称轴，且处在 yoz 面上的抛物线，以及顶点在原点，以 z 轴为对称轴，且处在 zox 面上的抛物线。 3. 求下列空间曲线对三个坐标面的射影柱面方程。 （ 1） 1 022 xz zyx ;（ 2） 01 00332322 zy zxyzzx （ 3） 71023 562 zyx zyx（ 4） 1)1()1( 1 222222zyx zyx解：（ 1）从方程组 1 022 xz zyx 分别消去变量 zyx , ，得： 0)1( 22 zyz 亦
16、即： 01322 zyz （ ） 01xz （ ） 0122 xyx （ ） （ ）是原曲线对 yoz 平面的射影柱面方程； （ ）是原曲线对 zox 平面的射影柱面方程； （ ）是原曲线对 xoy 平面的射影柱面方程。 （ 2）按照与（ 1）同样的方法可得原曲线 （ ）对 yoz 平面的射影柱面方程； 01zy ； （ ）对 zox 平面的射影柱面方程； 03622 22 zxzx ； （ ）对 xoy 平面的射影柱面方程。 01222 22 yxyx 。 （ 3） 原曲线对 yoz 平面的射影柱面方程： 0272 zy 原曲线对 zox 平面的射影柱面方程： 03zx 原曲线对 xoy 平面的射影柱面方程： 02327 yx （ 4） 原曲线对 yoz 平面的射影柱面方程： 01zy 原曲线对 zox 平面的射影柱面方程： 022 22 zzx 原曲线对 xoy 平面的射影柱面方程： 022 22 yyx 6. 求空间曲线 22400yzxz 的参数方程 . 解 : 令 2yt ,代入方程 2 40yz得 2yt 再将所得结果代入方程 2 0xz得 4xt .从而知曲线的参数方程为422xtytzt
