1、二次函数相关的最值问题 例 1. 如图 ， 抛物线 y x2 4x 5 与 x 轴交于点 A、 B， 与 y 轴交于点 C， 点 D为抛物线的顶点 (1)求直线 AC 的解析式及顶点 D 的坐标； (2)若 Q 为 抛物线对称轴上一动点，连接 QA、 QC， 求 |QA QC|的最大值及此时点 Q 的坐标； (3)连接 CD， 点 P 是直线 AC 上方抛物线上一动点 (不与点 A、 C 重合 )， 过 P作 PEx 轴交直线 AC 于点E， 作 PFCD 交直线 AC 于点 F， 当线段 PE PF 取最大值时 ， 求点 P 的坐标及线段 EF 的长； (4)在 (3)问的条件下 ， 将 P
2、 向下平移 34个单位得到点 H， 在抛物线对称轴上找一点 L， 在 y 轴上找一点K， 连接 OL， LK， KH， 求线段 OL LK KH 的最小值 ， 并求出此时点 L 的坐标； (5)在 (3)问的条件下 ， 将线段 PE 沿着直线 AC 的方向平移得到线段 PE ， 连接 DP ， BE， 求 DP PE EB 取最小值时点 E 的坐标 针对训练 1 如图 ， 直线 y kx b(k、 b 为常数 )分别与 x 轴、 y 轴交于点 A( 4， 0)、 B(0， 3)， 抛物线 y x22x 1 与 y 轴交于点 C. (1)求直线 y kx b 的解析式； (2)若点 P(x， y
3、)是抛物线 y x2 2x 1 上的任意一点 ， 设点 P 到直线 AB 的距离为 d， 求 d 关于 x的函数解析式 ， 并求 d 取最小值时点 P 的坐标； (3)若点 E 在抛物线 y x2 2x 1 的对称轴上移动 ， 点 F 在直线 AB 上移动 ， 求 CE EF 的最小值 2 如图 ， 已知抛物线 y 33 x2 2 33 x 3与 x 轴交于 A， B 两点 (点 A 在点 B 的左侧 )， 与 y 轴交于点 C， 点 D 是点 C 关于抛物线对称轴的对称点 ， 连接 CD， 过点 D 作 DHx 轴于点 H， 过点 A 作 AEAC交 DH 的延长线于点 E. (1)求线段
4、DE 的长度； (2)如图 ， 试在线段 AE 上找一点 F， 在线段 DE 上找一点 P， 且点 M 为线段 PF 上方抛物线上的一点 ，求当 CPF 的周长最小时 ， MPF 面积的最大值是多少 3 如图 ， 对称轴为直线 x 2 的抛物线经过 A( 1， 0)， C(0， 5)两点 ， 与 x 轴另一交点为 B.已知 M(0， 1)，E(a， 0)， F(a 1， 0)， 点 P 是第一象限内的抛物线上的动点 (1)求此抛物线的解析式； (2)若 PCM 是以点 P 为顶点的等腰三角形 ， 求 a 为何值时 ， 四边形 PMEF 周长最小？说明理由 4 已知 ， 如图 ， 二次函数 y
5、ax2 2ax 3a(a0) 图象的顶点为 H， 与 x 轴交于 A、 B 两点 (B 点在 A 点右侧 )， 点 H， B 关于直线 l： y 33 x 3对称 (1)求 A、 B 两点坐标 ， 并证明点 A 在直线 l 上； (2)求二次函数的解析 式； (3)过点 B 作直线 BKAH 交直线 l 于点 K， M、 N 分别为直线 AH 和直线 l 上的两个动点 ， 连接 HN、 NM、MK， 求 HN NM MK 和的最小值 5 如图 ， 在平面直角坐标系中 ， 抛物线 y 12x2 2x 3 与 x 轴交于 A， B 两点 (点 A 在点 B 左侧 )，与 y 轴交于点 C， 连接
6、BC， 过点 A 作 ADBC 交 y轴于点 D. (1)求平行线 AD、 BC 之间的距离； (2)点 P 为线段 BC 上方抛物线上的一动点 ， 当 PCB 的面积最大时 ， Q 从点 P 出发 ， 先沿适当的路径运动到直线 BC 上点 M 处 ， 再沿垂直于直线 BC 的方向运动到直线 AD 上的点 N 处 ， 最后沿适当的路径运动到点 B 处停止当点 Q 的运动路径最短时 ， 求点 Q 经过的最短路径的长 6 如图 ， 抛物线 y 34 x2 94x 3 3交 x 轴于 A、 B 两点 ， 交 y 轴于点 C， 点 Q 为顶点 ， 点 D 为点 C 关于对称轴的对称点 (1)求点 D
7、的坐标和 tan ABC 的值； (2)若点 P 是抛物线上位于点 B、 D 之间的一个动点 (不与 B、 D 重合 )， 在直线 BC 上有一动点 E， 在 x轴上有一动点 F.当四边形 ABPD 的面 积最大时，一动点 G 从点 P 出发以每秒 1 个单位的速度沿 PE F 的路径运动到点 F， 再沿线段 FA 以每秒 2 个单位的速度运动到 A 点后停止 ， 当点 F 的坐标是多少时 ， 动点 G在运动过程中所用时间最少？ 二次函数相关的最值问题答案 例 1. 解： (1) y x2 4x 5 (x2 4x) 5 (x 2)2 9， D( 2， 9) 当 x 0 时 ， y 5， C(0
8、， 5) 当 y 0 时 ， x1 1， x2 5， A( 5， 0)， B(1， 0)， yAC x 5； (2)因为点 Q 在抛物线对称轴上 ， 由抛物线对 称性知 QA QB， 由 C(0， 5)和 B(1， 0)可求得 yBC 5x 5， 根据三角形三边关系可 知，当点 Q， C， B 三点共线时 ， |QB QC|最大 ， 即 |QA QC|最大 ， 可求直线 yBC 5x 5 与抛物线对称轴交点 Q 为 ( 2， 15)， 此时 |QA QC|最大值 BC 26. 解： (3)过 P 作 PQ y 轴 ， 交 AC 于 Q， 再作 FM PQ 于 M， 如图 ， 直线 AC： y
9、x 5， 设 P(t， t2 4t 5)， Q(t， t 5)， PQ ( t2 4t 5) (t 5) t2 5t. PEF CAO 45， PE PQ t2 5t， PF CD， kCD 2 kPF， tan MPF 12， 设 FM n MQ， 则 PM 2n， PQ 3n， PF 5n， 即 PF 53 PQ， PE PF (3 5)n (1 53 )PQ， 当 PQ 最大时 ， PE PF 取最大值 ， 而 PQ t2 5t PE t 522 254 ， 当 t 52时 ， PE PF 取最大值 ， 此时 P 52， 354 ， EF 2PM 25 26 . (4)如图 ：在 (3)
10、问的条件下 ， P 52， 354 ， H 52， 8 ， 作 H 关于 y 轴的对称点 H1， 作 O 关于抛物线对称轴对称点 O1， 所以 O1( 4， 0)， H1 52， 8 ， 连接 O1H1， 则 O1H1 长即为 OL LK KH 的最小值 ， 直线 O1H1： y 1613x 6413， 直线 O1H1 与抛 物线对称轴交点即为 L 点的位置 ， 此时 L 2， 3213 ， OL LK KH 的最小值 O1H1 52 17； (5)在 (3)问的条件下 ， P E PE 254 ， 在线段 PE 平移过程中 ， PE 即 PE 长度不变 ， 将 DP 沿 PE 向右平移 PE
11、 的长即 254 个单位 ， 得到 DE ， 如图 ， 则四边形 DDPE 为平行四边形， 故 DP DE ， 要使得 DP PE EB 最小 ， 即 DP EB 最小 ， 即要使 DE EB 最小 ， 当 D ， E， B 三点共线时 ， D E EB 最小 ， 设 DB 与直线 AC 交于点 E. 由题意知 D 174 ， 9 ， 直线 BD ： y 3613x 3613， E 10123 ， 21623 ， 即点 E的坐标为 (10123 ， 21623 ) 针对训练： 1. 解： (1) 直线 y kx b 经过 A( 4， 0)、 B(0， 3)， 4k b 0，b 3， 解得 k
12、34，b 3. y 34x 3. (2)过点 P 作 PH AB 于点 H， 过点 H作 x 轴的平行线 MN， 分别过点 A、 P 作 MN 的垂线段 ， 垂足分别为 M、N. 设 H(m， 34m 3)， 则 M( 4， 34m 3)， N(x， 34m 3)， P(x， x2 2x 1) PH AB， PHN AHM 90， AM MN， MAH AHM 90 . MAH PHN， AMH PNH 90， AMH HNP. MA y 轴 ， MAH OBA. OBA NHP. NH3 PN4 PH5 . x m3 （ 34m 3）（ x2 2x 1）4 d5. 整理得： d 45x2 x
13、 85， 所以当 x 58时 ， d 取最小值 ， 此时P(58， 11964 ) (3)抛物线的对称轴为直线 x 1， 作点 C 关于直线 x 1 的对称点 C ， 过点 C 作 C F AB 于 F.过点 F作 JK x 轴 ， 分别过点 A、 C 作 AJ JK 于点 J， C K JK 于点 K， 则 C(2 ， 1) 设 F(m， 34m 3)， C F AB， AFJ C FK 90， C K JK， C C FK 90， C AFJ， J K 90， AFJ FC K. AJFK JFC K，34m 32 m m 434m 2， 解得 m 825或 m 4(不符合题意 ， 舍去 ) F(825， 8125)， C (2， 1)， FC 145 . CE EF 的最小值 C F 145 .
