1、第 1 页 共 15 页 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2222 1 2211c o s1 2s i n ududxxtguuuxuux ， ， ， axxaaactgxxxtgxxxxctgxxtgxaxxln1)(lo gln)(c s c)(c s cs ec)(s ecc s c)(s ec)(22222211)(11)(11)(a rc c o s11)(a rc s inxarcctgxxarctgxxxxx CaxxaxdxCsh xc h x d xCc h xsh x d xCaadxaCxc tg x d xxCxdxtg xxCc tg
2、xx d xxdxCtg xx d xxdxxx)ln (lncsccscs e cs e ccscs ins e cc o s22222222CaxxadxCxaxaaxadxCaxaxaaxdxCaxa rctgaxadxCctg xxxd xCtg xxxd xCxctg xd xCxtg xd xa r c s inln21ln211c s clnc s cs e clns e cs inlnc o sln22222222 CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxInnx d xx d xI nnnna r c s i n22ln22)l n (221c
3、o ss i n222222222222222222222020第 2 页 共 15 页 一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： 诱导公式： 函数 角 A sin cos tg ctg - -sin cos -tg -ctg 90- cos sin ctg tg 90+ cos -sin -ctg -tg 180- sin -cos -tg -ctg 180+ -sin -cos tg ctg 270- -cos -sin ctg tg 270+ -cos sin -ctg -tg 360- -sin cos -tg -ctg 360+ sin cos tg ctg 和差角公式： 和差
4、化积公式： 2s in2s in2coscos2cos2cos2coscos2s in2cos2s ins in2cos2s in2s ins inc tgc tgc tgc tgc tgtgtgtgtgtg1)(1)(s ins inc o sc o s)c o s (s inc o sc o ss in)s in (xxa rth xxxa rc h xxxa rsh xeeeec h xsh xth xeec h xeesh xxxxxxxxx11ln21)1ln (1ln (:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦. . .5 9 0 4 57 1 8 2 8 1 8 2 8 4.2)
5、11(lim1s inlim 0exxxxxx第 3 页 共 15 页 倍角公式： 半角公式： c o s1s i ns i nc o s1c o s1c o s12c o s1s i ns i nc o s1c o s1c o s122c o s12c o s2c o s12s i nc t gtg 正弦定理： RCcBbAa 2s ins ins in 余弦定理： Cabbac c o s2222 反三角函数性质： a r c c tg xa r c tg xxx 2a r c c o s2a r c s in 高阶导数公式 莱布尼兹（ Leibniz）公式： )()()()2()1()(
6、0)()()(!)1()1(!2)1()(nkknnnnnkkknknnuvvuk knnnvunnvnuvuvuCuv中值定理与导数应用： 拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：xxFfaFbFafbfabfafbf)(F)()()()()()()()()(曲率： 23333133c o s3c o s43c o ss in4s in33s intgtgtgtg222222122212s i nc o ss i n211c o s22c o sc o ss i n22s i ntgtgtgc tgc tgc tg第 4 页 共 15 页 .1;0.)1(li
7、mMsMM:.,13202aKaKyydsdsKMMsKtgydxydss的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：定积分的近似计算： bannnbannbanyyyyyyyynabxfyyyynabxfyyynabxf)(4)(2)(3)()(21)()()(1312420110110抛物线法：梯形法：矩形法：定积分应用相关公式： babadttfabdxxfabykrmmkFApFsFW)(1)(1,2221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：空间解析几何和向量代数： 第 5 页 共 15 页 。代表平行六面体的体积为锐角时
8、，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。与是向量在轴上的投影：点的距离：空间,c o s)(.s i n,c o s,c o sPrPr)(Pr,c o sPr)()()(2222222212121221221221cbacccbbbaaacbacbarwvbacbbbaaakjibacbbbaaababababababababaajajaajuABABABjzzyyxxMMdzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzzyyxxzzyyxxuu（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平
9、面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,22211;,1302),(,0)()()(1222222222222222222220000002220000000000czbyaxczbyaxqpzqypxczbyaxptzzntyymtxxpnmstpzznyymxxCBADCzByAxdczbyaxDCzByAxzyxMCBAnzzCyyBxxA多元函数微分法及应用 第 6 页 共 15 页 zyzxyxyxyxyxFFyzFFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxFdyyvdxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuuxvvzxuu
10、zxzyxvyxufztvvztuuzdtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzzudyyudxxududyyzdxxzdz， ， 隐函数， ， 隐函数隐函数的求导公式：时，当：多元复合函数的求导法全微分的近似计算：全微分：0),()()(0),(),(),(),(),()(),(),(),(22),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),(0),(yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuGGFFvGuGvFuFvuGFJvuyxGvuyxFvuvu隐函数方程组：微分法在几何上的应用： ),(),(),(30)(,()(,()(,(2),(),
11、(),(1),(0),(,0),(0),(0)()()()()()(),()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxFzyxFzyxFnzyxMzyxFGGFFGGFFGGFFTzyxGzyxFzztyytxxtMtzztyytxxzyxMtztytxzyxzyxzyxyxyxxzxzzyzy、过此点的法线方程：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线方向导数与
12、梯度： 第 7 页 共 15 页 上的投影。在是单位向量。方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是的梯度：在一点函数的转角。轴到方向为其中的方向导数为：沿任一方向在一点函数lyxflfljieeyxflfjyfixfyxfyxpyxfzlxyfxflflyxpyxfz),(g r a ds i nc o s),(g r a d),(g r a d),(),(s i nc o s),(),(多元函数的极值及其求法： 不确定时值时， 无极为极小值为极大值时，则：，令：设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22000020000000000BACBACyxAyxABACC
13、yxfByxfAyxfyxfyxf yyxyxxyx重积分及其应用： DzDyDxzyxDyDxDDyDxDDDayxxdyxfaFayxydyxfFayxxdyxfFFFFFaaMzx o ydyxxIydyxyIxdyxdyxyMMydyxdyxxMMxd x d yyzxzAyxfzr d r drrfd x d yyxf23222232222322222D22)(),()(),()(),(,)0(),0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()s i n,c o s(),(， ， ，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量：平面薄片的重
14、心：的面积曲面柱面坐标和球面坐标： 第 8 页 共 15 页 dvyxIdvzxIdvzyIdvxMdvzMzdvyMydvxMxdrrrFdddd r drrFd x d y d zzyxfdd r drdrdrrddvrzryrxzrrfzrFdzr d r dzrFd x d y d zzyxfzzryrxzyxr )()()(1,1,1s i n),(s i n),(),(s i ns i nc o ss i ns i nc o ss i n),s i n,c o s(),(,),(),(,s i nc o s22222220 0),(0222， ， 转动惯量：， 其中 重心：， 球面
15、坐标：其中：柱面坐标：曲线积分： )()()()()(),(),(),(,)()(),(22tytxdtttttfdsyxfttytxLLyxfL 特殊情况： 则： 的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧第 9 页 共 15 页 。，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，在：二元函数的全微分求积注意方向相反！减去对此奇点的积分，应。注意奇点，如，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。上积分起止点处切向量分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：
16、第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),()0,0(),(),(21212,)()()c o sc o s()()(),()()(),(),(),()()(00),(),(00 yxdyyxQdxyxPyxuyxuQ d yP d xyPxQyPxQGyxQyxPGy d xx d yd x d yADyPxQxQyPQ d yP d xd x d yyPxQQ d yP d xd x d yyPxQLdsQPQ d yP d xdttttQtttPdyyxQdxyxPtytxLyxyxD LD LD LL LL曲面积分： dsRQPR d x d yQ d z d xP d y d zd
17、 z d xzxzyxQd z d xzyxQd y d zzyzyxPd y d zzyxPd x d yyxzyxRd x d yzyxRd x d yzyxRd z d xzyxQd y d zzyxPd x d yyxzyxzyxzyxfdszyxfzxyzxyxyDDDDyx)c o sc o sc o s(),(,),(,),(),(),(,),(),(),(),(),(),(1),(,),(22系：两类曲面积分之间的关号。，取曲面的右侧时取正号；，取曲面的前侧时取正号；，取曲面的上侧时取正，其中：对坐标的曲面积分：对面积的曲面积分：高斯公式： 第 10 页 共 15 页 dsAd
18、vAdsRQPdsAdsnAzRyQxPdsRQPR d x d yQ d z d xP d y d zdvzRyQxPnnd i v)c o sc o sc o s(. . .,0d i v,d i v)c o sc o sc o s()(成：因此，高斯公式又可写，通量：则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：通量与散度：高斯公式的物理意义斯托克斯公式 曲线积分与曲面积分的关系： dstAR d zQ d yP d xARQPzyxAyPxQxRzPzQyRRQPzyxRQPzyxd x d yd z d xd y d zR d zQ d yP d xd x d yyPxQd z d xxRzPd y d zzQyR的环流量：沿有向闭曲线向量场旋度：， ， 关的条件：空间曲线积分与路径无上式左端又可写成：kjir o tc o sc o sc o s)()()(常数项级数： 是发散的调和级数：等差数列：等比数列：nnnnqqqqq nn1312112)1(321111 12 级数审敛法：
