1、 等比数列及其前 n 项和 一、选择题 1. 2 1与 2 1 两数的等比中项是 ( ) A 1 B 1 C 1 D.12 解析：设等比中项为 x， 则 x2 ( 2 1)( 2 1) 1，即 x 1. 答案： C 2设 an是任意等比数列，它的前 n项和，前 2n 项和与前 3n项和分别为 X， Y，Z，则下列等式中恒成立的是 ( ) A X Z 2Y B Y(Y X) Z(Z X) C Y2 XY D Y(Y X) X(Z X) 解析 (特例法 )取等比数列 1,2,4，令 n 1得 X 1， Y 3， Z 7代入验算，选D. 答案 D 3若等比数列 an满足 anan 1 16n，则公比
2、为 ( ) A 2 B 4 C 8 D 16 解析 由 anan 1 a2nq 16n 0知 q 0，又 an 1an 2anan 1 q2 16n 116n 16， q 4. 答案 B 4等比数列 an中， a2 3， a7 a10 36，则 a15 ( ) A 12 B 12 C 6 D 6 解析 由等比数列的性质，有 a2a 15 a7a 10 36，则 a15 36a2 12，故选 A. 答案 A 5已知等比数列 an的前 n项和 Sn t5 n 2 15，则实数 t的值为 ( ) A 4 B 5 C.45 D.15 解析 a1 S1 15t 15， a2 S2 S1 45t， a3
3、S3 S2 4t， 由 an是等比数列知 45t 2 15t 15 4 t，显然 t0 ，所以 t 5. 答案 B 6. 已知 na 为等比数列， 472aa， 56 8aa ，则 1 10aa（ ） A 7 B 5 C D -7 解析 472aa， 5 6 4 7 4 78 4 , 2a a a a a a 答案 D 7已知方程 (x2 mx 2)(x2 nx 2) 0 的四个根组成以 12为首项的等比数列，则 mn ( ) A.32 B.32或 23 C.23 D以上都不对 解析 设 a， b， c， d是方程 (x2 mx 2)(x2 nx 2) 0 的四个根，不妨设 a c d b，则
4、 a b c d 2， a 12，故 b 4，根据等比数列的性质，得到： c 1，d 2，则 m a b 92， n c d 3，或 m c d 3， n a b 92， 则 mn 32或 mn 23. 答案 B 二、填空题 8设 1 a1 a2 a7，其中 a1， a3， a5， a7成公比为 q 的等 比数列， a2， a4，a6成公差为 1的等差数列，则 q的最小值是 _ 解析 设 a2 t，则 1 t q t 1 q2 t 2 q3，由于 t1 ，所以 qmax t，t 1， 3 t 2故 q的最小值是 3 3. 答案 3 3 9在等比数列 an中，若公比 q 4，且前 3项之和等于
5、21，则该数列的通项公式 an _. 解析 由题意知 a1 4a1 16a1 21，解得 a1 1， 所以数列 an的通项公式 an 4n 1. 答案 4n 1 10.等比数列 an的前 n 项和为 Sn，公比不为 1.若 a1=1，且对任意的 都有an 2 an 1-2an=0， 则 S5=_。 解析 由已知可得公比 q=-2，则 a1=1可得 S5。 答案 11 11已知各项不为 0的等差数列 an，满足 2a3 a27 2a11 0，数列 bn是等比数列，且 b7 a7，则 b6b8 _. 解析 由题意可知， b6b8 b27 a27 2(a3 a11) 4a7， a70 ， a7 4，
6、 b6b8 16. 答案 16 12已知数列 xn满足 lg xn 1 1 lg xn(n N*)，且 x1 x2 x3 x100 1，则 lg(x101 x102 x200) _. 解析 由 lg xn 1 1 lg xn(n N*)得 lg xn 1 lg xn 1， xn 1xn 10， 数列 xn是公比为 10 的等比数列， xn 100 xn10 100， x101 x102 x200 10100(x1 x2 x3 x100) 10100， lg(x101 x102 x200) lg 10100 100. 答案 100 三、解答题 13设数列 an的前 n 项和为 Sn， a1 1，
7、且数列 Sn是以 2为公比的等比数列 (1)求数列 an的通项公式； (2)求 a1 a3 a2n 1. 解析 (1) S1 a1 1，且数列 Sn是以 2为公比的等比数列， Sn 2n 1， 又当 n2 时， an Sn Sn 1 2n 2(2 1) 2n 2. an 1 n ，2n 2 n (2)a3， a5， ， a2n 1是以 2 为首项，以 4 为公比的等比数列， a3 a5 a2n 1 4n1 4 n3 . a1 a3 a2n 1 1n3 22n 1 13 . 14已知等比数列 an中， a1 13，公比 q 13. (1)Sn为 an的前 n 项和，证明： Sn 1 an2 ；
8、(2)设 bn log3a1 log3a2 log3an，求数列 bn的通项公式 解析 (1)证明 因为 an 13 13 n 1 13n， Sn131 13n1 131 13n2 ，所以 Sn1 an2 . (2)bn log3a1 log3a2 log3an (1 2 n) n n2 .所以 bn的通项公式为 bn n n2 . 15已知数列 an的前 n项和为 Sn，数列 bn中， b1 a1， bn an an 1(n2) ，且an Sn n. (1)设 cn an 1，求证： cn是等比数列； (2)求数列 bn的通项公式 解析 (1)证明 an Sn n， an 1 Sn 1 n
9、1. 得 an 1 an an 1 1， 2an 1 an 1， 2(an 1 1) an 1， an 1 1an 1 12， an 1是等比数列 首项 c1 a1 1，又 a1 a1 1. a1 12， c1 12，公比 q 12. 又 cn an 1， cn是以 12为首项，公比为 12的等比数列 (2)由 (1)可知 cn 12 12 n 1 12 n， an cn 1 1 12 n. 当 n2 时 ， bn an an 1 1 12 n 1 12 n 1 12 n 1 12 n 12 n. 又 b1 a1 12代入上式也符合 ， bn 12 n. 16 已知两个等比数列 an， bn，
10、 满足 a1 a(a 0)， b1 a1 1， b2 a2 2， b3 a3 3. (1)若 a 1，求数列 an的通项公式； (2)若数列 an唯一，求 a的值 解析 (1)设数列 an的公比为 q，则 b1 1 a 2， b2 2 aq 2 q， b3 3 aq2 3 q2，由 b1， b2， b3成等比数列得 (2 q)2 2(3 q2) 即 q2 4q 2 0，解得 q1 2 2， q2 2 2. 所以数列 an的通项公式为 an (2 2)n 1或 an (2 2)n 1. (2)设数列 an的公比为 q，则由 (2 aq)2 (1 a)(3 aq2)，得 aq2 4aq 3a 1 0(*)， 由 a 0 得 4a2 4a 0，故方程 (*)有两个不同的实根 由数列 an唯一，知方程 (*)必有一根为 0，代入 (*)得 a 13.
