1、 对数与对数函数 一、选择题 1若点 (a， b)在 y lgx 图象上， a1 ，则下列点也在此图象上的是 ( ) A (1a， b) B (10a,1 b) C (10a ， b 1) D (a2,2b) 解析：当 x a2时， y lga2 2lga 2b，所以点 (a2,2b)在函数 y lgx 的图象上 答案： D 2下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是 ( ) A y 2|x| B y lg(x x2 1) C y 2x 2 x D y lg 1x 1 解析 依次根据函数奇偶性定义判断知， A， C 选项对应函数为偶函数， B 选项对应函数为奇函数，只有 D 选项对应函数定义域
2、不关于原点对称，故为非奇非偶函数 答案 D 3.设 a log1312， b log1323， c log343，则 a、 b、 c 的大小关系是 ( ) A ab 且 a0， b0，又 c3，即 a 2b 的取值范围是 (3， ) 答案 C 二、填空题 8.函数 f(x) ln 1 1x 1 的定义域是 _ 解析 要使 f(x)有意义，应有 1 1x 10， xx 10， x1. 答案 ( ， 0) (1， ) 9已知函数 xxf lg)( ，若 1)( abf ，则 )()( 22 bfaf _。 答案 2 10函数 f(x) |log3x|在区间 a， b上的值域为 0,1，则 b a
3、的最小值为_ 解析： 如图所示为 f(x) |log3x|的图象，当 f(x) 0 时， x 1，当f(x) 1 时， x 3 或 13，故要使值域为 0,1，则定义域为 13， 3或 13，1或 1,3，所以 b a 的最小值为 23. 答案： 23 11已知函数 f(x) 2x (x 2)，f(x 2) (x 2)， 则 f(log23) _. 解析 1 log23 2， log23 2 2 f(log23) f(log23 2) f(log212) 2log212 12. 答案 12 12函数 y log3(x2 2x)的单调减区间是 _ 解析 (等价转化法 )令 u x2 2x，则 y
4、 log3u. y log3u 是增函数， u x2 2x 0 的减区间是 (， 0)， y log3(x2 2x)的减区间是 (， 0) 答案 (， 0) 【点评】 本题采用了等价转化法 (换元法 )，把问题转化为关于 x 的二次函数的单调区间问题，但应注意定义域的限制 三、解答题 13已知函数 f(x) log4(ax2 2x 3) (1)若 f(1) 1，求 f(x)的单调区间； (2)是否存在实数 a，使 f(x)的最小值为 0？若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由 解： (1) f(1) 1， log4(a 5) 1，因此 a 5 4， a 1， 这时 f(x) log4( x
5、2 2x 3) 由 x2 2x 30 得 10，12a 44a 1，解得 a 12. 故存在实数 a 12使 f(x)的最小值等于 0 14若函数 y lg(3 4x x2)的定义域为 M.当 x M 时，求 f(x) 2x 2 3 4x的最值及相应的 x 的值 解 y lg(3 4x x2)， 3 4x x2 0， 解得 x 1 或 x 3， M x|x 1，或 x 3， f(x) 2x 2 3 4x 4 2x 3 (2x)2. 令 2x t， x 1 或 x 3， t 8 或 0 t 2. f(t) 4t 3t2 3 t 23 2 43(t 8 或 0 t 2) 由二次函数性质可知： 当
6、0 t 2 时， f(t) 0， 43 ， 当 t 8 时， f(t) (， 160)， 当 2x t 23，即 x log2 23时， f(x)max 43. 综上可知：当 x log2 23时， f(x)取到最大值为 43，无最小值 15已知函数 f(x) logax bx b(a 0， b 0， a 1) (1)求 f(x)的定义域； (2)讨论 f(x)的奇偶性； (3)讨论 f(x)的 单调性； 解 (1)令 x bx b 0， 解得 f(x)的定义域为 (， b) (b， ) (2)因 f( x) loga x b x b loga x bx b 1 logax bx b f(x)
7、， 故 f(x)是奇函数 (3)令 u(x) x bx b，则函数 u(x) 1 2bx b在 (， b)和 (b， )上是减函数， 所以当 0 a 1 时， f(x)在 (， b)和 (b， )上是增函数；当 a 1时， f(x)在 (， b)和 (b， )上是减函数 16.已知函数 f(x) loga(3 ax) (1)当 x 0,2时，函数 f(x)恒有意义，求实数 a 的取值范围 (2)是否存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在区间 1,2上为减函数，并且最大值为 1？如果存在，试求出 a 的值；如果不存在，请说明理由 解析 (1)由题意， 3 ax0 对一切 x 0,2恒成立， a0 且 a1 ， g(x) 3 ax 在 0,2上是减函 数，从而 g(2) 3 2a0 得 a32. a 的取值范围为 (0,1) 1， 32 . (2)假设存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在区间 1,2上为减函数，并且最大值为 1. 由题设 f(1) 1，即 loga(3 a) 1， a 32，此时 f(x) log32 3 32x ，当 x 2 时，函数 f(x)没有意义，故这样的实数 a 不存在
