1、 两条直线的位置关系 一、选择题 1直线 l过点 ( 1,2)且与直线 2x 3y 4 0垂直，则 l的方程是 ( ) A 3x 2y 1 0 B 2x 3y 5 0 C 3x 2y 7 0 D 2x 3y 8 0 解析 由直线 l 与直线 2x 3y 4 0 垂直，可知直线 l 的斜率是 32，由点斜式可得直线 l 的方程为 y 2 32(x 1)，即 3x 2y 1 0. 答案 A 2 m 1 是直线 mx (2m 1)y 1 0和直线 3x my 2 0垂直的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析 由两直线垂直 3m m(2m 1) 0m
2、0 或 1，所以 m 1 是两直线垂直的充分不必要条件 答案 A 3直线 l： 4x 3y 2 0 关于点 A(1,1)对称的直线方程为 ( ) A 4x 3y 4 0 B 4x 3y 12 0 C 4x 3y 4 0 D 4x 3y 12 0 解析 在对称直线上任取一点 P(x， y)， 则点 P关于点 A 对称的点 P(x ， y) 必在直线 l 上 由 x x 2，y y 2， 得 P(2 x,2 y)， 4(2 x) 3(2 y) 2 0，即 4x 3y 12 0. 答案 B 4过点 A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为 ( ) A x 2y 5 0 B 2x y 4 0 C x
3、3y 7 0 D 3x y 5 0 解析 所求直线过点 A 且与 OA 垂直时满足条件，此时 kOA 2，故求直线的斜率为 12，所以直线方程为 y 2 12(x 1)，即 x 2y 5 0. 答案 A 5已知点 A(1， 2)， B(m,2)，且线段 AB 的垂直平分线的方程是 x 2y 2 0，则实数 m的值是 ( ) A 2 B 7 C 3 D 1 解析 由已知条件可知线段 AB 的中点 1 m2 ， 0 在直线 x 2y 2 0 上，把中点坐标代入直线方程，解得 m 3. 答案 C 6. 直线 10x ay 与直线 ( 1) 2 3 0a x y 互相垂直，则 a的值为（ ） A -2
4、 B -1 C 1 D 2 解析 因为两直线垂直 ,所以 1 2 0aa ,解得 1a ,故选 C. 答案 C 7若曲线 y 2x x3在横坐标为 1的点处的切线为 l，则点 P(3,2)到直线 l的距离为 ( ) A.7 22 B.9 22 C.11 22 D.9 1010 解析 由题意得切点坐标为 ( 1， 1)切线斜率为 k y| x 1 2 3( 1)2 1，故切线 l的方程为 y ( 1) 1x ( 1)，整理得 x y 2 0，由点到直线的距离公式得：点 P(3,2)到直线 l的距离为 |3 2 2|12 12 7 22 . 答案 A 二、填空题 8. 若直线与直线 2 5 0xy
5、 与直线 2 6 0x my 互相垂直，则实数 m =_ _. 解析 1 2 1 212, , 12k k k km 直 线 互 相 垂 直 ,，即 12( ) 1, 12 mm . 答案 1 9. 已知直线 1 : ( 3) (4 ) 1 0l k x k y 与 2 : 2( 3) 2 3 0l k x y 平行，则 k 的值是_. 解析 因为两直线平行 ,所以当 3k 时 ,成立 ;当 3k 时 , 41k,解得 5k . 答案 3 或 5 10已知 1a 1b 1(a 0， b 0)，点 (0， b)到直线 x 2y a 0 的距离的最小值为 _ 解析 点 (0， b)到直线 x 2y
6、 a 0的距离为 d a 2b5 15(a 2b) 1a 1b 153 2baab 15(3 2 2) 3 5 2 105 ，当 a2 2b2且 a b ab，即 a 1 2，b 2 22 时取等号 答案 3 5 2 105 11若直线 m被两平行线 l1： x y 1 0 与 l2： x y 3 0 所截得的线段的长为 2 2，则 m的倾斜角可以是 15 30 45 60 75 其中正确答案的序号是 _(写出所有正确答案的序号 ) 解析 记直线 m 的倾斜角是 .由题意知直线 l1、 l2间的距离等于 22 2.又直线 m 被直线 l1、 l2所截得的线段的长是 2 2，因此直线 m 与直线
7、 l1的夹角的正弦值等于 22 2 12，直线 m 与直线 l1的夹角是 30 ，又直线 l1的倾斜角是 45 ，因此 15 或 75 ，故正确答案的序号是 . 答案 12已知 0 k 4，直线 l1： kx 2y 2k 8 0和直线 l2： 2x k2y 4k2 4 0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的 k值为 _ 解析 由题意知直线 l1， l2恒过定点 P(2,4)，直线 l1的纵截距为 4 k，直线 l2的横截距为 2k2 2，所以四边形的面积 S 122(4 k) 124(2 k2 2) 4k2 k 8，故面积最小时， k 18. 答案 18 三、解答题 13已知直
8、线 l： 3x y 3 0，求： (1)点 P(4,5)关于 l的对称点； (2)直线 x y 2 0关于直线 l对称的直线方程 解析 ：设 P(x， y)关于直线 l： 3x y 3 0的对称点为 P( x ， y) kPP kl 1，即 y yx x3 1. 又 PP 的中点在直线 3x y 3 0 上， 3 x x2 y y2 3 0. 由 得 x 4x 3y 95 ， y 3x 4y 35 . (1)把 x 4， y 5 代入 及 得 x 2， y 7， P(4,5)关于直线 l的对称点 P 的坐标为 ( 2,7) (2)用 分别代换 x y 2 0中的 x， y， 得关于 l的对称直
9、线方程为 4x 3y 95 3x 4y 35 2 0， 化简得 7x y 22 0. 14已知两直线 l1： ax by 4 0 和 l2： (a 1)x y b 0，求满足下列条件的 a， b 的值 (1)l1 l2，且直线 l1过点 ( 3， 1)； (2)l1 l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等 解析 (1) l1 l2， a(a 1) b 0. 又 直线 l1过点 ( 3， 1)， 3a b 4 0. 故 a 2， b 2. (2) 直线 l2的斜率存在， l1 l2， 直线 l1的斜率存在 k1 k2，即 ab 1 a. 又 坐标原点到这两条直线的距离 相等， l1， l2在 y
10、轴上的截距互为相反数，即 4b b. 故 a 2， b 2或 a 23， b 2. 15过点 P(1,2)的直线 l被两平行线 l1： 4x 3y 1 0 与 l2： 4x 3y 6 0截得的线段长 |AB| 2，求直线 l的方程 . 解析 设直线 l 的方程为 y 2 k(x 1)， 由 y kx 2 k，4x 3y 1 0， 解得 A 3k 73k 4， 5k 83k 4 ； 由 y kx 2 k，4x 3y 6 0， 解得 B 3k 123k 4， 8 10k3k 4 . |AB| 2， 53k 4 2 5k3k 4 2 2， 整理，得 7k2 48k 7 0， 解得 k1 7 或 k2 17. 因此，所求直线 l 的方程为 x 7y 15 0，或 7x y 5 0. 16过点 P(0,1)作直线 l 使它被直线 l1： 2x y 8 0 和 l2： x 3y 10 0 截得的线段被点 P 平分，求直线 l的方程 解析 设 l1与 l的交点为 A(a,8 2a)， 则由题意知，点 A 关于点 P 的对称点 B( a,2a 6)在 l2上， 代入 l2的方程得 a 3(2a 6) 10 0， a 4，即点 A(4,0)在直线 l 上， 所以直线 l 的方程为 x 4y 4 0.
