1、 直线与圆、圆与圆的位置关系 一、选择题 1已知集合 A (x， y)|x， y 为实数，且 x2 y2 1， B (x， y)|x， y 为实数，且 x y 1，则 A B 的元素个数为 ( ) A 4 B 3 C 2 D 1 解析 法一 (直接法 )集合 A 表示圆，集合 B 表 示一条直线，又圆心 (0,0)到直线 x y 1 的距离 d 12 22 1 r，所以直线与圆相交，故选 C. 法二 (数 形结合法 )画图可得，故选 C. 答案 C 【点评】 本题法二采用数形结合法求解与法一比较显得更容易、更直观 . 2过圆 x2 y2 1 上一点作圆的切线与 x 轴、 y 轴的正半轴交于 A
2、、 B 两点，则|AB|的最小值为 ( ) A. 2 B. 3 C 2 D 3 解析 设圆上的点为 (x0， y0)，其中 x00， y00，则切线方程为 x0x y0y 1. 分别令 x 0， y 0 得 A(1x0， 0)， B(0， 1y0)， |AB| 1x02 1y02 1x0y01x20 y202 2. 答案 C 3若直线 2x y a 0 与圆 (x 1)2 y2 1 有公共点，则实数 a 的取值范围( ) A 2 5 a 2 5 B 2 5 a 2 5 C 5 a 5 D 5 a 5 解析 若直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切，故有 |a 2|51 ， 解得 2 5 a 2
3、 5. 答案 B 4设两圆 C1、 C2 都和两坐标轴相切，且都过点 (4,1)，则两圆心的距离 |C1C2|( ) A 4 B 4 2 C 8 D 8 2 解析 设与两坐标轴都相切的圆的方程为 (x a)2 (y a)2 a2，将点 (4,1)代入得 a2 10a 17 0，解得 a 52 2，设 C1(5 2 2， 5 2 2)，则 C2(5 2 2，5 2 2)，则 |C1C2| 32 32 8. 答案 C 5直线 y kx 3 与圆 (x 2)2 (y 3)2 4 相交于 M、 N 两点，若 |MN|2 3，则 k 的取值范围是 ( ) A. 34， 0 B. 33 ， 33 C. 3
4、， 3 D. 23， 0 解析 如图，若 |MN| 2 3，则由圆与直线的位置关系 可知圆心到直线的距离满足 d2 22 ( 3)2 1. 直线方程为 y kx 3， d |k2 3 3|1 k2 1，解得 k 33 .若 |MN|2 3，则 33 k 33 . 答案 B 6 若圆 (x a)2 (y b)2 b2 1 始终平分圆 (x 1)2 (y 1)2 4 的周长，则 a，b 满足的关系是 ( ) A a2 2a 2b 3 0 B a2 b2 2a 2b 5 0 C a2 2a 2b 5 0 D a2 2a 2b 5 0 解析 即两圆的公共弦必过 (x 1)2 (y 1)2 4 的圆心，
5、 两圆相减得相交弦的方程为 2(a 1)x 2(b 1)y a2 1 0， 将圆心坐标 ( 1， 1)代入可得 a2 2a 2b 5 0. 答案 C 7.直线 3y kx与圆 22( 2) ( 3) 4xy 相交于 ,MN两点，若 23MN ，则 k的取值范围是 （ ） A 3,04B 33,33C 3, 3 D 2,03答案 B 二、填空题 8已知圆 C 过点 (1,0)，且圆心在 x 轴的正半轴上，直线 l： y x 1 被圆 C 截得的弦长为 2 2，则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为 _ 解析 由题可知，设圆心的坐标为 (a,0)， a0，则圆 C 的半径为 |a 1|，圆心到直
6、线 l 的距离为 |a 1|2，根据勾股定理可得， (|a 1|2)2 ( 2)2 |a 1|2，解得a 3 或 a 1(舍去 )，所以圆 C 的圆心坐标为 (3,0)，则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为 x y 3 0. 答案 x y 3 0 9过点 ( 1， 2)的直线 l 被圆 x2 y2 2x 2y 1 0 截得的 弦长为 2，则直线 l 的斜率为 _ 解析 将圆的方程化成标准方程为 (x 1)2 (y 1)2 1，其圆心为 (1,1)，半径r 1.由弦长为 2得弦心距为 22 .设直线方程为 y 2 k(x 1)，即 kx y k 2 0， |2k 3|k2 1 22 ，化简得
7、 7k2 24k 17 0， k 1 或 k 177. 答案 1 或 177 10已知直线 x y m 0 与圆 x2 y2 2 交于不同的两点 A、 B， O 是坐标原点，|OA OB | | AB |，那么实数 m 的取值范围是 _ 解析 方法 1：将直线方程代入圆的方程得 2x2 2mx m2 2 0， 4m2 8(m2 2)0 得 m22， b2) (1)求证： (a 2)(b 2) 2； (2)求线段 AB 中点的轨迹方程； (3)求 AOB 面积的最小值 解析 (1)证明：圆的标准方程是 (x 1)2 (y 1)2 1，设直线方程为 xa yb 1，即 bx ay ab 0，圆心到
8、该直线的距离 d |a b ab|a2 b2 1， 即 a2 b2 a2b2 2ab 2a2b 2ab2 a2 b2，即 a2b2 2ab 2a2b 2ab2 0， 即 ab 2 2a 2b 0，即 (a 2)(b 2) 2. (2)设 AB 中点 M(x， y)，则 a 2x， b 2y，代入 (a 2)(b 2) 2， 得 (x 1)(y 1) 12(x1， y1) (3)由 (a 2)(b 2) 2 得 ab 2 2(a b)4 ab， 解得 ab2 2(舍去 ab2 2)， 当且仅当 a b 时， ab 取最小值 6 4 2， 所以 AOB 面积的最小值是 3 2 2. 16已 知圆
9、C 的方程为 x2 y2 4. (1)求过点 P(1,2)且与圆 C 相切的直线 l 的方程； (2)直线 l 过点 P(1,2)，且与圆 C 交于 A、 B 两点，若 |AB| 2 3，求直线 l 的方程； (3)圆 C 上有一动点 M(x0， y0)， ON (0， y0)，若向量 OQ OM ON ，求动点 Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线 解析 (1)显然直线 l 的斜率存在，设切 线方程为 y 2 k(x 1)， 则由 |2 k|k2 1 2，得 k1 0， k2 43， 从而所求的切线方程为 y 2 和 4x 3y 10 0. (2)当直线 l 垂直于 x 轴时，此时直线方程
10、为 x 1， l 与圆的两个交点坐标为 (1，3)和 (1， 3)，这两点的距离为 2 3，满足题意；当直线 l 不垂直于 x 轴时，设其方程为 y 2 k(x 1)， 即 kx y k 2 0，设圆心到此直线的距离为 d(d 0)，则 2 3 2 4 d2， 得 d 1，从而 1 | k 2|k2 1，得 k 34，此时直线方程为 3x 4y 5 0， 综上所述，所求直线方程为 3x 4y 5 0 或 x 1. (3)设 Q 点的坐标为 (x， y)， M 点坐标是 (x0， y0)， ON (0， y0)， OQ OM ON ， (x， y) (x0,2y0)x x0， y 2y0. x20 y20 4， x2 y2 2 4，即 x24y216 1. Q 点的轨迹方程是 x24y216 1，轨迹是一个焦点在 y 轴上的椭圆
