1、 数学试卷 6 1 1 宁波市 2018 年高考模 拟考试 数学试卷 说明： 本试题卷分选择题和非选择题两部分 全卷共 5 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上 参考公式 第卷（选择题部分，共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 已知集合 05A x x ， 2 2 8 0B x x x ，则 AB A 2,4 B 4,5 C 2,5 D 0,4 2 已知复数 z 满足 (1 ) 2z i i （ i 为虚数单位），则 z 的 虚部为 A 32i
2、 B 32i C 32 D323 已知直线 l 、 m 与平面 、 ， l ， m ，则下列命题中正确的是 A若 ml/ ，则必有 / B 若 ml ，则必有 C 若 l ，则必有 D若 ，则必有 m 柱体的体积公式： V=Sh，其中 S 表示柱体的底面积 , h 表示柱体的高； 锥 体的体积公式 ： V= Sh， 其中 S 表示锥体的底面积 , h 表示锥体的高； 台体的体积公式： ，其中 S1, S2 分别表示台体的上、下底面积 , h 表示台体的高； 球的表面积公式： S = 4R2 ，球的体积公式： V= R3，其中 R 表示球的半径； 如果事件 A, B 互斥 , 那么 P(A+B)
3、=P(A)+P(B) ； 如果事件 A, B 相互独立 , 那么 P(AB)=P(A)P(B) ； 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p, 那么 n次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k次 的概率 Pn(k)= pk (1 p)n-k (k = 0,1,2, n) 数学试卷 6 2 2 4 使得 13 nxxx（ nN ） 的展开式中 含有常数项的 最小 的 n 为 A 4 B 5 C 6 D 7 5 记 nS 为数列 na 的前 n 项和 “任意正整数 n ，均有 0na ”是 “nS 为递增数列 ”的 A.充分 不 必要条件 B.必要 不 充分条件 C.充要条件 D.既 不 充分也
4、不 必要条件 6 已知实数 x ， y 满足不等式组 2 4 03 4 8 02 8 0xyxyxy ，则 xy 的最大值为 A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 7若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格，要求有公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案数有 A 48 种 B 72 种 C 96 种 D 216 种 8 设抛物线 2 4yx 的焦点为 F ，过点 (5,0)P 的直 线与抛物线相交于 ,AB两点，与抛物线的准线相交于 C ， 若 5BF ，则 BCF 与 ACF 的面积之比 BCFACFSS A 56 B 2033 C 1531 D 2029 9 已知 a 为正常数 ， 2
5、221,() 3 2 1 ,x ax x afx x ax a x a ,若 存在( , )42 ，满足 (sin ) (cos )ff ，则实数 a 的取值范围是 A. 1( ,1)2 B. )1,22( C. )2,1( D. )22,21( （第 7 题图） 数学试卷 6 3 3 122 3（第 14 题 图 ） 10 已知 ,xy均为非负实数，且 1xy，则 2 2 24 4 (1 )x y x y 的取值范围为 A. 2 ,43 B 1,4 C 2,4 D 2,9 第卷（非选择题部 分， 共 110 分） 二、填空题 :本大题共 7 小题 ,多空题每题 6 分 ,单空题每题 4 分，
6、共 36 分 11 双曲线 22 13yx 的 离心率 是 ，渐近线方程 为 12 已知直线 :1l mx y 若直线 l 与直线 10x my 平行 ，则 m 的值为 ； 动直线 l 被圆 222 2 4 0x x y 截得弦长 的 最 小值为 13 已知随机变量 X 的分布列如下表： X a 2 3 4 P 13 b 16 14 若 2EX ，则 a ； DX 14 已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为 120 的等腰三角形，侧视图为直角三角形，则该三棱锥的表面积 为 ，该三棱锥的外接球体积为 15 已知数列 na 与 2nan 均为等差数列（ nN ） ， 且 1 2a ，
7、则 23321 ( ) ) )23 nnaaaa n （ （ 数学试卷 6 4 4 16 已知实数 ,abc满足： 2abc ， 4abc .则 cba 的最小值为 17 已知棱长为 1的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， E 为侧面 11BBCC 中心， F 在棱 AD 上运动， 正方体表面上有一点 P 满足 1 1 1D P xD F yD E( 0, 0)xy， 则所有 满足条件的 P 点构成图形的面积 为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18 （本题满分 14 分）已知函数 ( ) 4 c o s sin 16f x
8、 x x . （）求函数 ()fx的单调递增区间； （）在 ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，若满足( ) 0fB ， 2a ，且 D 是 BC 的中点， P 是直线 AB 上的动点，求 PDCP 的最小值 ECBDC 1A 1B 1D 1AF（第 17 题 图） 数学试卷 6 5 5 19 （本题满分 15 分）如图，四边形 ABCD 为梯形， ， 60, CCDAB点 E 在线段 CD 上，满足 BE CD ,且 1 24CE AB CD ，现将ADE 沿 AE 翻折到 AME 位置 ，使得 2 10MC （ ） 证明 ： AE MB ; （ ） 求直
9、线 CM 与面 AME 所成角的 正弦值 20 （本题满分 15 分） 已知函数 1( ) lnf x a x x x ，其中 a 为实常数 （）若 12x 是 ()fx的极大值点，求 (fx） 的极小值； （）若 不等式 1lna x b xx 对 任意 5 02 a ， 1 22 x 恒成立，求 b 的 最小值 AABEMBECDC（第 19 题图） 数学试卷 6 6 6 21（本题满分 15分）如图 ， 椭圆 2222: 1 ( 0 )xyC a bab 的离心率 为 32，点 ( 2,1)M 是椭圆内一点 ， 过点 M 作两条斜率存在且互相垂直的动直线 12,ll，设 1l 与椭圆 C
10、 相交于点 ,AB， 2l 与椭圆 C 相交于点 ,DE当M 恰好为线段 AB 的中点时， 10AB （ ） 求椭圆 C 的方程 ； （ ） 求 ADEB 的最小值 22. （本题满分 15 分）三个数列 , n n na b c， ，满足1 1110a， 1 1b ，21 | 1 | 2 52n n nn a a aa ， 1 21nnbb ， , *nnbca Nn （ ） 证 明：当 2n 时 ， 1na ； （ ） 是否 存在 集 合 , ab ， 使得 , nc ab 对 任意 *n N 成 立 ， 若存在，求出 ba 的 最小值；若不存在 ， 请说明理由； （ ） 求证： 2323
11、1 12 2 6( * , 2)22 n n nnc n N nccc xyEDA MOB（第 21 题图） 数学试卷 6 7 7 宁波市 2018 年高考模拟考试 数学 参考答 案 第卷（选择题共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 D 2 C 3 C 4 B 5 A 6 C 7 C 8 D 9 D 10 A 9 ()fx关于直线 xa 对称，且在 , )a 上为增函数 所以 sin c os 2 sin( )2 2 4a 因为 ( , )42 ， 3( , )4 2 4 所以 2 s in ( 12
12、()2)24 2a ， 10 简 解 ： 1 ( )2xy z ， 则 试题 等价于 21x y z ， 满足 , , 0xyz ，求 2 2 24( )x y z的取值范围 设点 1(0,0, )2A ， (1,0,0)B ， (0,1,0)C ， 点 ( , , )Pxyz 可视为长方体的一个三角截面 ABC 上的一个点，则 2 2 2 2|OP x y z ，于是问题可以转化为 |OP 的取值范围 显然 | | 1OP ， |OP 的最小值为 O 到 平面ABC 的距离， 可以利用等积法计算因为 数学试卷 6 8 8 O ABC A OBCVV ，于是可以得到 1|6OP 所以 2 1|
13、 | ,16OP ，即 2 2 24 x y z 2 ,43 另解：因为 ,0xy ，所以 2 2 2 2() ()2xy x y x y 令 t x y ，则 01t 2 2 2 2 2 24 4 ( 1 ) 4 ( 1 ) 5 2 1 4x y x y t t t t 当 0xy 且 1t ，即 0, 1xy或 1, 0xy时取等号； 另一方面， 2 2 2 2 2 2 24 4 ( 1 ) 2 ( 1 ) 3 2 1 3x y x y t t t t 当 16xy时取等号所以 2 2 2 24 4 (1 ) , 4 3x y x y 第卷（非选择题共 110 分） 二、填空题 :本大题共
14、 7 小题 ,多空题每题 6 分 ,单空题每题 4 分，共 36 分 11 2 ， 3yx 12 1 ， 223 13 0 ； 52 14 4 3 15 ， 2053 15 22 1n 16 6 17 118 16 简解：不妨设 a 是 ,abc中的最小者，即 ,a ba c，由题设知 0a ， 且 2b c a ， 4bc a . 于是 ,bc是一元二次方程 2 4(2 ) 0x a x a 的两实根 ， 2 4( 2 ) 4 0a a ， 数学试卷 6 9 9 324 4 1 6 0a a a ， 2( 4)( 4) 0aa , 所以 4a . 又当 4a , 1bc时，满足题意 . 故
15、,abc中最小者的最大值为 4 . 因为 , , 0abc ，所以 ,abc为全小于 0 或一负二正 . 1） 若 ,abc为全小于 0，则由（ 1）知， ,abc中的最小者不大于 4 ，这与 2abc 矛盾 . 2）若 ,abc为一负二正，设 0, 0, 0a b c ，则 2 2 8 2 6a b c a b c a 当 4a , 1bc时， 满足题设条件且使得不等式等号成立 故 cba 的最小值为 6. 17 答 ： 118 构成的图形，如图所示 记 BC 中 点为 N ，所求图形为直角梯形 ABND 、 BNE 、 1DAD 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说
16、明、证明过程或演算步骤 18（本题满分 14 分） 解答：（） 31( ) 4 c o s ( s in c o s ) 122f x x x x 3 s i n 2 c o s 2 2 2 s i n ( 2 ) 26x x x 4 分 由于 2 2 2 ,2 6 2k x k k Z ， 所以 ()fx增区间为 ,63k k k Z 6 分（）由 ( ) 2 s i n ( 2 ) 2 06f B B 得 NCBDC 1A 1B 1D 1A数学试卷 6 10 10 2 62B ，所以 3B . 8 分 作 C 关于 AB 的对称点 C , 连 BCPCDC , ， 7)()( 222 BCBDBCBDDC 12 分.7,7 共线时，取最小值，当 DPCDCPDPCPDCP 14 分19 （本题满分 15 分） 解答： （ ） 方法 一 ：连 BD 交 AE 于 N ，由条件 易算 43BD BC BD 2 分 又 /BC AE AE BD 4 分 从而 ,AE ABN ME N 所以 AE MNB 平 面 6 分 AE MB 7 分 方法二： 由 102,2,6 MCCEDEME ，得 222 MCCEME , 故 CE ME ， 又 CE BE ， 所以 CE BEM 平 面 ， 2 分 AABEMBECDC（第 19 题图）
