1、 1 高等代数（ II） 期末考试试卷 及答案 （ A 卷） 一、 填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1、 线性空间 Px 的两个子空间的交 11L x L x 2、 设 12, ,., n 与 12, ,., n 是 n维线性空间 V 的两个基 ， 由 12, ,., n 到 12, ,., n 的 过渡矩阵 是 C，列向量 X是 V 中向量 在基 12, ,., n 下的坐标， 则 在基 12, ,., n 下 的坐标是 3、 设 A、 B 是 n维 线性 空间 V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则 A 与 B 的关系是 4、设 3 阶方阵 A 的 3 个行列式 因子 分别为 ：
2、 21, , 1 , 则 其特征矩阵 EA 的标准形是 5、线性方程组 AX B 的最小二乘解所满足的线性方程组是： 二、 单项选择题（每小题 3 分，共 15分） 1、 （ ） 复数域 C 作为 实 数域 R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间 同构： （ A） 数域 P上 所有 二级对 角 矩阵作成的 线性空间； （ B） 数域 P上所有二级对称矩阵作成的线性空间 ； （ C） 数域 P上所有二级 反 对称矩阵作成的线性空间 ； （ D） 复数域 C 作为复数域 C 上的线性空间。 2、 （ ） 设 是 非零 线性空间 V 的线性变换， 则下列命题正确的是 ： （ A） 的核是零子空间的
3、充要条件是 是满射； （ B） 的核 是 V 的充要条件是 是满射 ； 2 （ C） 的值域 是零子空间 的充要条件是 是 满 射； （ D） 的值域 是 V 的充要条件是 是满射。 3、（ ） 矩阵 A 可逆的充要条件是： 0;A A B A 是一 个 非零常数； CA 是满秩的； DA 是方阵 。 4、 （ ）设实二次型 f XAX （ A 为对称阵）经正交变换后化为： 2 2 21 1 2 2 . nny y y ， 则 其中 的 12, ,. n 是： 1;AB 全是正数； C 是 A 的 所有特征值； D 不确定。 5、（ ）设 3 阶实对称矩阵 A 有三重特征根“ 2 ”，则 A
4、的若当 标准形是： 2 0 0 2 0 0 2 0 00 2 0 ; 1 2 0 ; 1 2 0 ;0 0 2 0 0 2 0 1 2A B C D 以上各情形皆有可能。 三、 是非题 （每小题 2 分，共 10 分） （请在你认为对的小题对应的括号内打 “”，否则打 “”） 1、（ ） 设 V1， V2均是 n维 线性空间 V的子空间，且 12 0VV 则 12V V V 。 2、（ ） n维线性空间的某一 线性变换在由特征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。 3、（ ）同阶方阵 A 与 B 相似的充要条件是 EA 与 EB 等价。 4、 （ ） n维 欧氏空间的 正交变换在任一基下的矩阵都
5、是正交矩阵。 5、（ ） 欧氏空间的内积是一对称的双线性函数 。 3 四、 解答题 （每小题 10 分，共 30分） 1、在线性空间 4P 中，定义线性变换： 4, , , , , , , , ,a b c d a b a c b d a b c d P A （ 1） 求该线性变换 在自然基： 121 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 340 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 下的矩阵 A； （ 2）求矩阵 A 的所有特征值和特征向量。 2、（ 1）求线性空间 3Px 中从基 2: 1, 1 , 1I x x到基 2: 1 , 1 , 1II x x
6、的过渡矩阵； （ 2）求线性空间 3Px 中向量 21 2 3f x x x 在基 2: 1, 1 , 1I x x下的坐标 。 4 3、 在 R2 中， 1 2 1 2, , ,a a b b ， 规定二元函数 ： 1 1 1 2 2 1 2 2,4a b a b a b a b （ 1） 证明：这是 R2的一个内积。 （ 2） 求 R2 的一个标准正交基。 5 五、 证明题 （ 每 小题 10 分， 共 30分） 1、 设 P3 的两个子空间 分别为 ： 1 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 1 2 3, , 0 , , , 0W x x x x x x W x x x x x x
7、证明 ： （ 1） 3 12P W W ； （ 2） 12WW 不是直和。 6 2、 设 是数域 P上线性空间 V 的线性变换， 证明 12, , . , rWL 是 的不变子空间的兖要条件是 1 , 2 , . . . ,i W i r A 7 3、 已知 AE 是 n级正定矩阵，证明 ： （ 1） A 是正定矩阵； （ 2） 23nAE 答案 一、 填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1、线性空间 Px 的两个子空间的交 11L x L x 0 2、 设 12, ,., n 与 12, ,., n 是 n维线性空间 V 的两个基 ， 由 12, ,., n 到 12, ,., n 的
8、过渡矩阵 是 C，列向量 X是 V 中向量 在基 12, ,., n 下的坐标， 则 在基 12, ,., n 下 的坐标是 1CX 3、设 A、 B 是 n维线性空间 V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则 A 与 B 的关系是 相似 关系 4、设 3 阶方阵 A 的 3 个行列式因子分别为： 21, , 1 , 则其特征矩阵 EA 的标准形是 1 0 0000 0 15、线性方程组 AX B 的最小二乘解所满足的线性方程组是： A A X A B 8 二、 单项选择题（每小题 3 分，共 15分） 2、 （ A ）复数域 C 作为实数域 R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构： （
9、 A）数域 P上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （ B）数域 P上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （ C）数域 P上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （ D）复数域 C 作为复数域 C 上的线性空间。 2、（ D ） 设 是 非零 线性空间 V 的线性变换， 则下列命题正确的是： （ A） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （ B） 的核是 V 的充要条件是 是满射； （ C） 的值域是零子空间的充要条件是 是满射； （ D） 的值域是 V 的充要条件是 是满射。 3、（ B ） 矩阵 A 可逆的充要条件是： 0;A A B A 是一个非零常数 ； CA 是满秩的； DA 是方阵。
10、4、（ C ）设实二次型 f XAX （ A 为对称阵）经正交变换后化为： 2 2 21 1 2 2 . nny y y ， 则其中的 12, ,. n 是： 1;AB 全是正数； C 是 A 的所有特征值； D 不确定。 5、（ A ）设 3 阶实对称矩阵 A 有三重特征根“ 2 ”，则 A 的若当 标准形是： 2 0 0 2 0 0 2 0 00 2 0 ; 1 2 0 ; 1 2 0 ;0 0 2 0 0 2 0 1 2A B C D 以上各情形皆有可能。 三、 是非题 （每小题 2 分，共 10 分） （请在你认为对的小题对应的括号内打 “”，否则打 “”） 9 1、（ ）设 V1，
11、V2均是 n维线性空间 V的子空间，且 12 0VV 则 12V V V 。 2、（ ） n维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。 3、（ ）同阶方阵 A 与 B 相似的充要条件是 EA 与 EB 等价。 4、（ ） n维 欧氏空间的 正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。 5、（ ） 欧氏空间的内积是一对称的双线性函数 。 四、 解答题 （每小题 10 分，共 30分） 1、在线性空间 4P 中，定义线性变换： 4, , , , , , , , ,a b c d a b a c b d a b c d P A （ 1） 求该线性变换 在自然基： 121 , 0
12、, 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 340 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 下的矩阵 A； （ 2）求矩阵 A 的所有特征值和特征向量。 解： （ 1） 线性变换 在自然基下的矩阵是1 0 0 00 1 0 01 0 1 00 1 0 1A （ 5 分） （ 2）因为 41EA 所以矩阵 A 的所有 特征值是 1 2 3 4 1 解 齐次线性 方程组 0E A X 得矩阵 A 的所有特征向量： 10 120 , 0 , 1 , 0 0 , 0 , 0 , 1kk ， 其中 12,kk 不全为零 。 （ 5分） 2、（ 1）求线性空间 3Px 中从基 2: 1
13、, 1 , 1I x x到基 2: 1 , 1 , 1II x x的过渡矩阵； （ 2）求线性空间 3Px 中向量 21 2 3f x x x 在基 2: 1, 1 , 1I x x下的坐标。 解： （ 1） 因为 2 21 1 11 , 1 , 1 1 , , 0 1 20 0 1x x x x 2 21 1 11 , 1 , 1 1 , , 0 1 2001x x x x 所以 1221 1 1 1 1 11 , 1 , 1 1 , 1 , 1 0 1 2 0 1 20 0 1 0 0 1x x x x 21 1 1 1 1 11 , 1 , 1 0 1 2 0 1 20 0 1 0 0 1xx 21 2 41 , 1 , 1 0 1 4001xx
