1、 1 绝密 启用前 2017 年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 理科数学 注意事项： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自 己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应 位置填涂考生号。 2回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。 3回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4考试结束后，将本试卷和答题卡一并 交回。 第卷 一、选择题：本小题共 12 题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
2、（ 1）复数 2 21i 1i 的共轭复数是 （ A） 1i （ B） 1i （ C） 1i （ D） 1i （ 2）若集合 1M x x， 2 ,1N y y x x ，则 （ A） MN （ B） MN （ C） NM （ D） MN （ 3） 已知 等比数列 na 的各项 都为 正数 , 且3 5 412a, a,a成等差数列 , 则 3546aaaa 的值是 （ A） 512 （ B） 512 （ C） 352 （ D） 352 （ 4）阅读 如 图的程序框图 . 若输入 5n , 则输出 k 的值为 （ A） 2 （ B） 3 （ C） 4 （ D） 5 （ 5）已知双曲线 C 22
3、2:14xya 的一条渐近线方程为 2 3 0xy , 1F , 2F 分别 是双曲线 C 的左 ， 右焦点 , 点 P 在双曲线 C 上 , 且 1 7PF , 则 2PF 等于 （ A） 1 （ B） 13 （ C） 4 或 10 （ D） 1或 13 2 （ 6）如图 , 网格纸上小正方形的边长为 1, 粗线画出的是 某几何体的正视图 （等腰直角三角形） 和侧视图 , 且该几 何体的体积为 83 , 则该几何体的俯视图可以是 （ 7）五个人围坐在一张圆桌旁，每 个 人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币 . 若硬币正面朝上 , 则这个人站起来 ; 若硬币正面朝下 , 则这个人
4、继续坐着 . 那么 , 没有相邻的两 个 人站起来的概率为 （ A） 12（ B） 1532（ C） 1132（ D） 516 （ 8）已知 1F , 2F 分别是椭圆 C 22: 1 0xy abab 的左 , 右焦点 , 椭圆 C 上存在点 P 使 12FPF 为钝角 , 则椭圆 C 的离心率的取值范围是 （ A） 2,12（ B） 1,12（ C） 20,2（ D） 10,2（ 9）已知 : 0 , 1xp x e ax 成立 , :q 函数 1 xf x a 是减函数 , 则 p 是 q 的 （ A）充分不必要条件 （ B）必要不充分条件 （ C）充要条件 （ D）既不充分也不必要条件
5、 （ 10）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马 ;将四 个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥 P ABC 为鳖臑 , PA 平面 ABC , 2PA AB， 4AC , 三棱锥 P ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上 , 则球 O 的表 面积为 （ A） 8 （ B） 12 （ C） 20 （ D） 24 （ 11）若直线 1y 与函数 2sin 2f x x 的图象相交于点 11,P x y ， 22,Q x y ， 且 12xx23 ，则线段 PQ 与函数 fx的图象所围成的图形面积是 （ A） 2 33 （ B） 33 （ C） 2 323 （
6、 D） 323 （ 12）已知函数 323 3 12 4 8f x x x x , 则 20161 2017kkf 的值为 （ A） 0 （ B） 504 （ C） 1008 （ D） 2016 3 P CBA第卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 21 题为必考题，每个考生都必须作答。第22 23 题为选考题，考生根据要求作答。 二、填 空题 ：本小题共 4 题，每小题 5 分。 （ 13）已知 1, 2ab ，且 a ()ab，则向量 a 与向量 b 的夹角是 . （ 14） 3 nx 的展开式中各项系数和为 64 ，则 3x 的系数为 .（用数字填写答案） （ 15）已知函数 12
7、2 , 0 ,1 log , 0 ,x xfx xx 若 2fa , 则实数 a 的取值范围是 . （ 16）设 nS 为数列 na 的前 n 项和 , 已知 1 2a , 对任意 ,pq N* , 都有 p q p qa a a ， 则 60 (1nSf n nn N* )的最小值为 . 三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （ 17）（本小题满分 12 分） 如图 , 在 ABC 中 , 点 P 在 BC 边上 , 6 0 , 2 , 4P A C P C A P A C . ( ) 求 ACP ; ( ) 若 APB 的面积是 332 , 求 sinBAP . （ 18
8、） （本小题满分 12 分） 近年来 ，我国电子商务 蓬勃发 展 . 2016 年 “618”期间，某 网 购平台的销 售业绩高达 516 亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对 该网购平台 的商品和服务的评价系 统 . 从 该 评价系统中选出 200 次成功交易，并对其评价进行统计， 网购者 对商品的满意率为 0.6，对服务的满意率为 0.75，其中对商品和服务 都 满意的交易为 80 次 . ( ) 根据已知条件 完成 下面 的 22 列联表， 并回答能 否 有 99%的把握 认为 “网购者对 商品满意与 对 服务满意 之间 有关 系” ？ ( ) 若将频率视为概率，某人在该 网购平
9、台 上进行的 3 次购物中，设对商品和服务 都 满 意的次数为随机变量 X ，求 X 的分布列 和数学 期望 EX . 对服务满意 对服务不满意 合计 对商品满意 80 对商品不满意 合计 200 4 EDCBAEDCBA附： 2K 2n a d b ca b c d a c b d （其中 n a b c d 为样本容 量 ） （ 19）（本小题满分 12 分） 如图 1，在直角梯形 ABCD 中， AD /BC ， AB BC ， BD DC , 点 E 是 BC 边的 中点 , 将 ABD沿 BD 折起，使平面 ABD 平面 BCD ，连接 AE , AC ,DE , 得到如 图 2 所
10、示的几何体 . ( ) 求证： AB 平面 ADC ； ( ) 若 1AD ， 二面角 C AB D的平面角的正切值为 6 ，求二面角 B AD E 的余弦值 . 图 1 图 2 （ 20）（本小题满分 12 分） 过点 ,2Pa 作抛物线 2:4C x y 的两条切线 , 切点分别为 11,Ax y , 22,B x y . ( ) 证明 : 1 2 1 2xx yy 为定值 ; ( ) 记 PAB 的外接圆的圆心为点 M , 点 F 是抛物线 C 的焦点 , 对 任意实数 a , 试 判断以 PM 为直径的圆是否恒过点 F ? 并说明理由 . （ 21）（本小题满分 12 分） 已知函数
11、ln 0af x x ax . ( ) 若函数 fx有零点 , 求实数 a 的取值范围 ; ( ) 证明 :当 a 2e ， 1b 时 , 1ln fbb . 2P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 5 请考生在第 22 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 （ 22）（本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 3,(1, xttyt为参数 ) . 在以坐标原点为极点 , x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 , 曲线 : 2
12、2 c o s .4C( ) 求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直 角坐标方程 ; ( ) 求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值 . （ 23）（本小题满分 10 分）选修 4 5：不等式选讲 已知函数 12 f x x a x a. ( ) 若 13f ，求 实数 a 的取值范围 ; ( ) 若 1,axR , 求证： 2fx . 6 P CBA2017 年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 理科数学试题答案及评分参考 评分说明 : 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一
13、步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数， 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题不给中间分 一、选择题 （ 1） B （ 2） C （ 3） A （ 4） B （ 5） D （ 6） D （ 7） C （ 8） A （ 9） B （ 10） C （ 11） A （ 12） B 二、填空题 （ 13） 4 （ 14） 540 （ 15） 1, 8,2 （ 16） 292 三、解答题 (17) 解 : ( ) 在 APC 中
14、 , 因为 6 0 , 2 , 4P A C P C A P A C , 由余弦定理得 2 2 2 2 c o sP C A P A C A P A C P A C , 1 分 所以 2222 4 2 4 c os 60A P A P A P A P , 整理得 2 4 4 0AP AP , 2 分 解得 2AP . 3 分 所以 2AC . 4 分 所以 APC 是等边三角形 . 5 分 所以 60 .ACP 6 分 ( ) 法 1: 由于 APB 是 APC 的外角 , 所以 120APB . 7 分 因为 APB 的面积是 332 , 所以 1 3 3sin22 A P P B A P
15、B. 8 分 所以 3PB . 9 分 在 APB 中 , 2 2 2 2 c o sA B A P P B A P P B A P B 7 DP CBA222 3 2 2 3 c o s 1 2 0 19 , 所以 19AB . 10 分 在 APB 中 , 由正弦定理得 s in s inAB PBAPB BAP, 11 分 所以 sinBAP 3sin12019 3 5738 . 12 分 法 2: 作 AD BC , 垂足为 D , 因为 APC 是 边长 为 2 的 等边三角形 , 所以 1 , 3 , 3 0P D A D P A D . 7 分 因为 APB 的面积是 332 ,
16、 所以 1 3 322AD PB . 8 分 所以 3PB . 9 分 所以 4BD . 在 Rt ADB 中 , 22 19A B B D A D , 10分 所以 4s in19BDBAD AB , 3c os19ADBAD AB . 所以 sin sin 30B A P B A D s i n c o s 3 0 c o s s i n 3 0B A D B A D 11 分 4 3 3 12219 19 3 5738 . 12 分 （ 18） 解： ( ) 22 列联表： 对服务满意 对服务不满意 合计 对商品满意 80 40 120 对商品不满意 70 10 80 合计 150 50
17、 200 8 2 分 22 2 0 0 8 0 1 0 4 0 7 01 1 .1 1 1 ,1 5 0 5 0 1 2 0 8 0K 3 分 因为 11.111 6.635 ， 所以 能 有 99%的把握 认为 “网购者对 商品满意与 对 服务满意 之间 有关 系” . 4 分 ( ) 每次购物时，对商品和服务 都满意 的概率为 25 ，且 X 的取值可以是 0， 1， 2， 3 6 分 32 133 2 7 2 3 5 40 ; 1 ;5 1 2 5 5 5 1 2 5P X P X C 2123 2 3 3 62 = 5 5 1 2 5P X C ； 3033 2 3 83=5 5 1
18、2 5P X C . 10 分 X 的分布列为： 11 分 所以 2 7 5 4 3 6 8 60 1 2 31 2 5 1 2 5 1 2 5 1 2 5 5 EX . 12 分 或者 :由于 23,5XB，则 263 55 EX . 12 分 (19) 解： ( ) 因为平面 ABD 平面 BCD ，平面 ABD 平面 BCD BD ， 又 BD DC ，所以 DC 平面 ABD . 1 分 因为 AB 平面 ABD， 所以 DC AB . 2 分 又因为折叠前后均有 AD AB ， DC AD D , 3 分 所以 AB 平面 ADC . 4分 ( ) 由（ ）知 AB 平面 ADC ，
19、所以二面角 C AB D的平面角为 CAD . 5 分 又 DC 平面 ABD， AD 平面 ABD， 所以 DC AD . 依题意 6ta n ADCDCA D . 6 分 因为 1AD ， 所以 6CD . 设 0AB x x， 则 12 xBD . 依题意 ABD BDC ，所以 AB CDAD BD ，即161 2 xx. 7 分 解得 2x ，故 222 , 3 , 3A B B D B C B D C D . 8 分 法 1：如图所示，建立空间直角坐标系 D xyz ，则 )0,0,0(D , )0,0,3(B , )0,6,0(C ， X 0 1 2 3 P 27125 5412
20、5 36125 8125 9 zyx EDCBAGFEDCBA36, ,022E， 36,0,33A， 所以 36, , 022DE ， 36, 0,33DA .由（ ）知平面 BAD 的法向量 )0,1,0(n . 9 分 设平面 ADE 的法向量 ),( zyxm 由 0,0,m DEm DA 得36 0,2236 0.33xyxz 令 6x ， 得 3, 3yz , 所以 )3,3,6( m . 10 分 所以21|,c o s mn mnmn. 11 分 由图可知二面角 B AD E的平面角为锐角， 所以二面角 B AD E的余弦值为 12 . 12分 法 2 ：因为 DC 平面 AB
21、D， 过点 E 作 EF /DC 交 BD 于 F ， 则 EF 平面 ABD . 因为 AD 平面 ABD， 所以 EF AD . 9分 过点 F 作 FG AD 于 G ，连接 GE ， 所以 AD 平面 EFG，因此 AD GE . 所以 二面角 B AD E的平面角为 EGF . 10 分 由平面几何知识求得 2621 CDEF ， 2221 ABFG ， 所以 22 2E G E F F G . 所以 cos EGF = 21EGFG . 11 分 所以二面 角 B AD E的余弦值为 12 . 12分 （ 20） 解： ( ) 法 1:由 2 4xy ,得 214yx ,所以 12
22、yx . 所以直线 PA 的斜率为112x. 10 因为点 11,Ax y 和 22,B x y 在抛物线 C 上 , 所以 21114yx, 22214yx. 所以直线 PA 的方程为 21 1 11142y x x x x . 1 分 因为点 ,2Pa 在直线 PA 上 , 所以 21 1 1112 42x x a x ,即 2112 8 0x ax . 2 分 同理 , 2222 8 0x ax . 3 分 所以 12,xx是方程 2 2 8 0x ax 的两个根 . 所以 12 8xx . 4 分 又 2221 2 1 2 1 21 1 1 44 4 1 6y y x x x x ,
23、5 分 所以 1 2 1 2 4x x y y 为定值 . 6 分 法 2:设过点 ,2Pa 且与抛物线 C 相切的切线方程为 2y k x a , 1 分 由 22,4,y k x axy 消去 y 得 2 4 4 8 0x kx ka , 由 21 6 4 4 8 0k ak , 化简得 2 20k ak . 2 分 所以 12 2kk . 3 分 由 2 4xy ,得 214yx ,所以 12yx . 所以直线 PA 的斜率为1112kx,直线 PB 的斜率为2212kx. 所以121 24xx, 即 12 8xx . 4 分 又 2221 2 1 2 1 21 1 1 44 4 1 6y y x x x x , 5 分 所以 1 2 1 2 4x x y y 为定值 . 6 分 ( ) 法 1： 直线 PA 的垂直平分线方程为 1112 222y x ayxx , 7 分 由于 21114yx , 21182x ax , 所以直线 PA 的垂直平分线方程为 111242ax x ayxx . 8 分
