菱形难题组卷答案.doc

1、 答案 四 填空题（共 29 小题） 1（ 2012沈阳）如图，菱形 ABCD 的边长为 8cm， A=60， DE AB 于点 E， DF BC 于点 F，则四边形 BEDF 的面积为 16 cm2 考点 ： 菱形的性质；等边三角形的判定与性质 菁优网版权所有 专题 ： 压轴题 分析： 连接 BD，可得 ABD 是等边三角形，根据菱形的对称性与等边三角形的对称性可得四边形 BEDF的面积等于 ABD 的面积，然后求出 DE 的长度，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解 解答： 解：如图，连接 BD， A=60， AB=AD（菱形的边长）， ABD 是等边三角形， DE= AD= 8=4 c

2、m， 根据菱形的对称性与等边三角形的对称性可得，四边形 BEDF 的面积等于 ABD 的面积， 84 =16 cm2 故答案为： 16 点评： 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，作出辅助线构造出等边三角形是解题的关键 2（ 2012湖州）如图，将正 ABC 分割成 m 个边长为 1 的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成 n 个边长为 1 的小三角形，若 = ，则 ABC 的边长是 12 考点 ： 菱形的 性质；等边三角形的性质 菁优网版权所有 专题 ： 压轴题；规律型 分析： 设正 ABC 的边长为 x，根据等边三角形的高为边长的 倍，求出正 ABC 的面积，再根据菱形

3、的性质结合图形表示出菱形的两对角线，然后根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半表示出菱形的面积，然后根据所分成的小正三角形的个数的比等于面积的比列式计算即可得解 解答： 解：设正 ABC 的边长为 x，则高为 x， S ABC= x x= x2， 所分成的都是正三角形， 结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为 x ，较短的对角线为（ x ） = x 1， 黑色菱形的面积 = （ x ）（ x 1） = （ x 2） 2， = = ， 整理得， 11x2 144x+144=0， 解得 x1= （不符合题意，舍去）， x2=12， 所以， ABC 的边长是 12 故答案为： 12 点评： 本题考查了菱

4、形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握有一个角等于 60的菱形的两条对角线的关系是解题的关键，本题难点在于根据三角形的面积与菱形的面积列出方程 3（ 2012西宁）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、 BD 相交于点 O， AC=12， BD=16， E 为 AD 中点，点 P 在 x 轴上移动，小明同学写出了两个使 POE 为等腰三角形的 P 点坐标（ 5， 0）和（ 5， 0）请你写出其余所有符合这个条件的 P 点坐标 （ 8， 0）或（ ， 0） 考点 ： 菱形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的判定 菁优网版权所有 专题 ： 压轴题 分析： 由在菱形 ABCD 中， AC=12，

5、BD=16， E 为 AD 中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得 OE 的长，然后分别从 当 OP=OE 时， 当 OE=PE 时， 当 OP=EP 时去分析求解即可求得答案 解答： 解： 四边形 ABCD 是菱形， AC BD， OA= AC= 12=6， OD= BD= 16=8， 在 Rt AOD 中， AD= =10， E 为 AD 中点， OE= AD= 10=5， 当 OP=OE 时， P 点坐标（ 5， 0）和（ 5， 0）； 当 OE=PE 时，此时点 P 与 D 点重合，即 P 点坐标为（ 8， 0）； 如图，当 OP=EP 时，过点 E 作 EK BD 于 K，作

6、 OE 的垂直平分线 PF，交 OE 于点 F，交 x 轴于点 P， EK OA， EK： OA=ED： AD=1： 2， EK= OA=3， OK= =4， PFO= EKO=90， POF= EOK， POF EOK， OP： OE=OF： OK， 即 OP： 5= ： 4， 解得： OP= ， P 点坐标为（ ， 0） 其余所有符合这个条件的 P 点坐标为：（ 8， 0）或（ ， 0） 故答案为：（ 8， 0）或（ ， 0） 点评： 此题考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形的性质以及等腰三角形的性质此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用 4（ 2012鄂尔多斯）如图，将

7、两张长为 4，宽为 1 的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形旋转过程中，当两张纸条垂直时，菱形周长 的最小值是 4，那么菱形周长的最大值是 考点 ： 菱形的性质 菁优网版权所有 专题 ： 压轴题 分析： 作出图形，确定当两矩形纸条有一条对角线互相重合时，菱形的周长最大，设菱形的边长为 x，表示出 AB，然后利用勾股定理列式进行计算求出 x，再根据菱形的四条边都相等解答 解答： 解：如图，菱形的周长最大， 设菱形的边长 AC=x，则 AB=4 x， 在 Rt ABC 中， AC2=AB2+BC2， 即 x2=（ 4 x） 2+12， 解得 x= ， 所以，菱形的最大周长 = 4= 故答案

8、为： 点评： 本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用，确定出菱形的周长最大时的位置是解题的关键，作出图形更形象直观 5（ 2012杭州）已知一个底面为菱形的直棱柱，高为 10cm，体积为 150cm3，则这个棱柱的下底面积为 15 cm2；若该棱柱侧面展开图的面积为 200cm2，记底面菱形的顶点依次为 A， B， C， D， AE 是 BC 边上的高，则 CE 的长为 1 或 9 cm 考点 ： 菱形的性质；认识立体图形；几何体的展开图 菁优网版权所有 专题 ： 压轴题 分析： 由底面为菱形的直棱柱，高为 10cm，体积为 150cm3，由体积 =底面积 高，即可求得这个棱柱的下底面积，又由该

9、棱柱侧面展开图的面积为 200cm2，即可求得底面菱形的周长与 BC 边上的高 AE 的长，由勾股定理求得 BE 的长，继而求得 CE 的长 解答： 解： 底面为菱形的直棱柱，高为 10cm，体积为 150cm3， 这个棱柱的下底面积为： 15010=15（ cm2）； 该棱柱侧面展开图的面积为 200cm2，高为 10cm， 底面菱形的周长为： 20010=20（ cm）， AB=BC=CD=AD=204=5（ cm）， AE=S 菱形 ABCDBC=155=3（ cm）， BE= =4（ cm）， 如图 1： EC=BC BE=5 4=1（ cm）， 如图 2： EC=BC+BE=5+4=

10、9（ cm）， 故答案为： 15； 1 或 9 点评： 此题考查了菱形的性质、直棱柱的性质以及勾股定理此题难度不大，注意审题，掌握直棱柱体积与侧面积的求解方法 11（ 2009黑河）如图，边长为 1 的菱形 ABCD 中， DAB=60 度连接对角线 AC，以 AC 为边作第二个菱形 ACC1D1，使 D1AC=60；连接 AC1，再以 AC1 为边作第三个菱形 AC1C2D2，使 D2AC1=60； ，按此规律所作的第 n 个菱形的边长为 （ ） n 1 考点 ： 菱形的性质 菁优网版权所有 专题 ： 压轴题；规律型 分析： 根据已知和菱形的性质可分别求得 AC， AC1， AC2 的长，从

11、而可发现规律根据规律不难求得第 n个菱形的边长 解答： 解：连接 DB， 四边形 ABCD 是菱形， AD=AB AC DB， DAB=60， ADB是等边三角形， DB=AD=1， BM= ， AM= = ， AC= ， 同理可得 AC1= AC=（ ） 2， AC2= AC1=3 =（ ） 3， 按此规 律所作的第 n 个菱形的边长为（ ） n 1 故答案为（ ） n 1 点评： 此题主要考查菱形的性质以及学生探索规律的能力 12（ 2009安顺）如图所示，两个全等菱形的边长为 1 米，一个微型机器人由 A点开始按 A B C D E F C G A的顺序沿菱形的边循环运动，行走 2009

12、 米停下，则这个微型机器人停在 B 点 考点 ： 菱形的性质 菁优网版权所有 专题 ： 压轴题；规律型 分析： 根据题意可求得其每走一个循环是 8 米，从而可求得其行走 2009 米走了几个循环，即可得到其 停在哪点 解答： 解：根据 “由 A点开始按 A B C D E F C G A的顺序沿菱形的边循环运动 ”可得出，每经过 8 米完成一个循环， 20098=251 余 1， 行走 2009 米停下，即是在第 252 个循环中行走了一米，即停到了 B点 故答案为 B 点评： 本题考查的是循环的规律，要注意所求的值经过了几个循环，然后便可得出结论 16（ 2008大兴安岭）如图，菱形 AB1

13、C1D1 的边长为 1， B1=60；作 AD2 B1C1 于点 D2，以 AD2 为一边，做第二个菱形 AB2C2D2，使 B2=60；作 AD3 B2C2 于点 D3，以 AD3 为一边做第三个菱形 AB3C3D3，使 B3=60依此类推，这样做的第 n 个菱形 ABnCnDn 的边 ADn 的长是 考点 ： 菱形的性质 菁优网版权所有 专题 ： 压轴题；规律型 分析： 本题要找出规律方能解答第一个菱形边长为 1， B1=60，可求出 AD2，即第二个菱形的边长 按照此规律解答即可 解答： 解：第 1 个菱形的边长是 1，易得第 2 个菱形的边长是 ； 第 3 个菱形的边长是（ ） 2；

14、每作一次，其边长为上一次边长的 ； 故第 n 个菱形的边长是（ ） n 1 故答案为：（ ） n 1 点评： 本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题 21（ 2007德州）如图，在菱形 ABCD 中， B=60，点 E、 F 分别从点 B、 D 出发以同样的速度沿边 BC、DC 向点 C 运动给出以下四个结论： AE=AF； CEF= CFE； 当点 E， F 分别为边 BC， DC 的中点时， AEF 是等边三角形； 当点 E， F 分别为边 BC， DC 的中点时， AEF 的面积最大 上述结论中正确的序号有 （把你认为正确的序号都填上

15、） 考点 ： 菱形的性质 菁优网版权所有 专题 ： 压轴题；动点型 分析： 根据菱形的性质对各个结论进行验证从而得到正确的序号 解答： 解： 点 E、 F 分别从点 B、 D 出发以同样的速度沿边 BC、 DC 向点 C 运动， BE=DF， AB=AD， B= D， ABE ADF， AE=AF， 正确； CE=CF， CEF= CFE， 正确； 在菱形 ABCD 中， B=60， AB=BC， ABC 是等边三角形， 当点 E， F 分别为边 BC， DC 的中点时， BE= AB， DF= AD， ABE 和 ADF 是直角三角形，且 BAE= DAF=30， EAF=120 30 30

16、=60， AEF 是等边三角形， 正确； AEF 的面积 =菱形 ABCD 的面积 ABE 的面积 ADF 的面积 CEF 的面积 = AB2BEAB 2 （ AB BE） 2= BE2+ AB2， AEF 的面积是 BE 的二次函数， 当 BE=0 时， AEF 的面积最大， 错误 故正确的序号有 点评： 本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和等边三角形的 判定 23（ 2005黑龙江）已知菱形 ABCD 的边长为 6， A=60，如果点 P 是菱形内一点，且 PB=PD=2 ，那么 AP 的长为 或 考点 ： 菱形的性质 菁优网版权所有 专题 ： 压轴题；分类讨论 分析： 根据题意得，应

17、分 P 与 A在 BD 的同侧与异侧两种情况进行讨论 解答： 解：当 P 与 A在 BD 的异侧时：连接 AP 交 BD 于 M， AD=AB， DP=BP， AP BD（到线段两端距离相等的点在垂直平分线上）， 在直角 ABM 中， BAM=30， AM=ABcos30=3 ， BM=ABsin30=3， PM= = ， AP=AM+PM=4 ； 当 P 与 A在 BD 的同侧时：连接 AP 并延长 AP 交 BD 于点 M AP=AM PM=2 ； 当 P 与 M 重合时， PD=PB=3，与 PB=PD=2 矛盾，舍去 AP 的长为 4 或 2 故答案为 4 或 2 点评： 本题注意到应

18、分两种情况讨论，并且注意两种情况都存在关系 AP BD，这是解决本题的关键 24（ 2003温州）如图：菱形 ABCD 中， AB=2， B=120， E 是 AB的中点， P 是对角线 AC 上的一个动点，则 PE+PB的最小值是 考点 ： 菱形的性质；线段垂直平分线的性质 菁优网版权所有 专题 ： 压轴题；动点型 分析： 过点 E 作 PE AB，交 AC 于 P，则 PA=PB，根据已知得到 PA=2EP，根据勾股定理可求得 PE， PA的值，从而可得到 PE+PB的最小值 解答： 解：当点 P 在 AB 的中垂线上时， PE+PB有最小值 过点 E 作 PE AB，交 AC 于 P，则

19、 PA=PB B=120 CAB=30 PA=2EP AB=2， E 是 AB 的中点 AE=1 在 Rt APE 中， PA2 PE2=1 PE= ， PA= PE+PB=PE+PA= 故答案为 点评： 本题考查的是中垂线，菱形的邻角互补勾股定理和最值本题容易出现错误的地方是对点 P 的运动状态不清楚，无法判断什么时候会使 PE+PB成为最小值 29（ 2012凉山州）如图，在四边形 ABCD 中， AC=BD=6， E、 F、 G、 H分别是 AB、 BC、 CD、 DA的中点，则 EG2+FH2= 36 考点 ： 菱形的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理 菁优网版权所有 专题 ： 计

20、算题；压轴题 分析： 连接 EF， FG， GH， EH，由 E、 F、 G、 H分别是 AB、 BC、 CD、 DA的中点，得到 EH， EF， FG，GH 分别是 ABD， ABC， BCD， ACD 的中位线，根据三角形中位线定理得到 EH， FG 等于 BD 的一半， EF， GH 等于 AC 的一半，由 AC=BD=6，得到 EH=EF=GH=FG=3，根据四边都相等的四边形是菱形，得到 EFGH 为菱形，然后根据菱形的性质得到 EG HF，且 EG=2OE， FH=2OH，在 Rt OEH中，根据勾股定理得到 OE2+OH2=EH2=9，再根据等式的性质，在等式的两边同时乘以 4，

21、根据 4=22，把等式进行变形，并把 EG=2OE， FH=2OH 代入变形后的等式中，即可求出 EG2+FH2的值 解答： 解：如右图，连接 EF， FG， GH， EH， E、 H分别是 AB、 DA 的中点， EH 是 ABD 的中位线， EH= BD=3， 同理可得 EF， FG， GH 分别是 ABC， BCD， ACD 的中位线， EF=GH= AC=3， FG= BD=3， EH=EF=GH=FG=3， 四边形 EFGH为菱形， EG HF，且垂足为 O， EG=2OE， FH=2OH， 在 Rt OEH中，根据勾股定理得： OE2+OH2=EH2=9， 等式两边同时乘以 4 得： 4OE2+4OH2=94=36， （ 2OE） 2+（ 2OH） 2=36， 即 EG2+FH2=36 故答案为： 36 点评： 此题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理以及等式的基本性质，本题的关键是连接 EF， FG， GH， EH，得到四边形 EFGH 为菱形，根据菱形的性质得到 EG HF，建立直角三角形，利用勾股定理来解决问题 一 解答题（共 1 小题） 考点 ： 菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理；正方形的判定 菁优网版权所有