1、 宁化一中 2017 届高三下学期 省质检第二次 模拟考试 理科数学第 1 页 共 4 页 2017 年 宁化一中省质检第二次模拟综合 质量检测 理 科数学能力测 试 祝考试顺利 注意事项： 1本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上 做 答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名； 2本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 第 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，每小题 仅 有一项是符合题目要求的 。 1 已知实数 ,ab满足 14a bi i i ，其中 i 是虚数单位，若 4z a bi ，
2、则在复平面内，复数 z 所对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 已知实数 ,ab满足 1122ab ， 则 （ ） A 1133ab B 22log logab C 11ab D sin sinab 3 已知 fx为奇函数，函数 fx与 gx的图像关于直线 1yx对称， 若 14g ，则 3f （ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 2 4执行如下图所示的程序框图，则输出 s 的值为（ ） A 2018 1 B 2017 1 C. 2016 1 D. 2015 1 5.若函数 siny k kx （ 0, 2k ）与函数 2 6y kx k 的部分图像如图
3、所示， 则函数 ( ) s in c o sf x k x k x 图像的一条对称轴的方程可以为（ ） A 24x B 724x C 1324x D 1324x 宁化一中 2017 届高三下学期 省质检第二次 模拟考试 理科数学第 2 页 共 4 页 6.“微信抢红包”自 2015 年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为 10 元，被随机分配为 1.49 元， 1.81 元， 2.19 元， 3.41 元， 0.62 元， 0.48 元，共 6 份，供甲、乙等 6 人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于 4 元的概率是（ ） A. 12 B.1
4、3C. 14 D. 16 7.九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑 .若三棱锥 P ABC 为鳖臑， PA ABC平 面 ，2, 4PA AB AC ，三棱锥 P ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为（ ） A 8 B 12 C 20 D 24 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 24 B 703C 20 D 6839.已知直线 1yx与曲线 lny a x 相切，若 ,1a n n n N ， 则 n （ ）（参考数据： ln 2 0.7, ln 3 1.1） A 1 B
5、2 C 3 D 4 10.在数列 na 中，若对任意的 *nN 均 有 12n n na a a为定值，且7 9 9 82, 3, 4a a a ，则数列 na 的前 100 项的和 100S （ ） A 132 B 299 C 68 D 99 11已知点 A 是抛物线 2 4xy 的对称轴与准线的交点，点 B 为抛物线的焦点， P 在抛物线上且满足 PA m PB ，当 m 取最大值时，点 P 恰好在以 ,AB为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A 21 B 212 C 51 D 512 12 已知函数 323 3 1() 2 4 8f x x x x ，则 20161 2017kk
6、f 的值为 （ ） A 2016 B 1008 C 504 D 2017 第 II 卷（非选择题，共 90 分） 一、 填空题： 本 题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 若 A、 B、 C、 D 四人站成一排照相， A、 B 相邻的排法总数为 k ，则二项式 1 kxk的展开式中含 2x 项的系数为 _.14已知变量 ,xy满足4 3 0401xyxyx ， 22xyxy 的取值范围为 15 函数 l n 2 l n 1f x x x x 的定义域为 _ 宁化一中 2017 届高三下学期 省质检第二次 模拟考试 理科数学第 3 页 共 4 页 16 艾萨克 牛顿，英国皇家学会会
7、长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用 “ 作切线 ” 的方法求函数 ()fx零点时给出一个数列 nx ：满足 1 nnn nfxxxfx，我们把该数列称为牛顿数列。如果函数 2 0 f x ax bx c a有两个零点 1， 2，数列 nx 为牛顿数列，设 2ln1 nn nxa x，已知 1 2a ， 2nx ，则 na 的通项公式 na =_ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （ 本小题满分 12 分 ） 如图，在 ABC 中，角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc， 且 1s i n
8、c o s s i n c o s 3a A C c A A c， D 为 AC 边上一点 （ ） 若 52 4, 3BCDc b S ，求 CD 的长 （ ） 若 D 是 AC 的中点，且 25c o s , 2 65B B D，求 ABC 的最短边的边长 18 （本小题满分 12 分） 如图， 等腰三角形 ABC 中 ， E 为底边 BC 的中点， AEC 沿 AE 折叠， 将点 C 折到点 P 的位置，使 二面角 P AE B为 60 ，设点 P 在 平 面 ABE 上的射影为 H . （ ） 证明：点 H 为 EB 的中点； （ ） 若 2 2 ,A B A C A B A C ， 求
9、直线 BE 与平面 ABP 所成角的正弦值 . 19 （本小题满分 12 分） 我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程。某市 共有户籍人口 400 万，其中老人（年龄 60 岁及以上）人数约有 66 万，为了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600 人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以 80 岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如下图表： （ ） 若采取分层抽样的方法再从样本中的 不能自理的老人中抽取 16 人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？ （ ） 估算该市 80 岁
10、及以上长者占全市户籍人口的百分比； （ III） 据统 计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下： 80岁及以上长者每人每月发放生活补贴 200元； 80 岁以下老人每人每月发放生活补贴 120元； 不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴 100元。试估计政府执行此计划的年度预算。 宁化一中 2017 届高三下学期 省质检第二次 模拟考试 理科数学第 4 页 共 4 页 20 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 10xy abab 的离心率为 32， 且过点 13,2. （ ） 求椭圆的标准方程 ; （ ） 四边形 ABCD 的顶点在椭圆上
11、 ,且对角线 ,ACBD 过原点 O , 设 1 1 2 2, , ,A x y B x y,满足 1 2 1 24y y xx . 试证 AB BCkk 的值为定值 ,并求出此定值 ； 试求四边形 ABCD 面积的最大值 . 21 （本小题满分 12 分） 已知 ()fx= 1ln 1 aa x x x (aR ). （ ）讨论函数 ()fx的单调性； （ ） 已知 -12() xeh x ax,若 12,xx是 ()fx的两个极值点， 且 (0,2m ， 12( ) ( ) ( )f x f x h m，求实数 a 的取值范围 . 请考生在第 22 、 23 题中任选一题做答，如果多做，则
12、按所做的第一题计分 。 22 （本小题满分 10 分） 选修 44 ：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知圆 C 的极坐标方程 为 2 2 2 c o s 1 04 ， 以极点为平面直角坐 标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系 . （） 求圆 C 的 直角 坐标方程 并写出圆心坐标和半径； （） 若 0,3 ，直线 l 的参数方程为 2 cos2 sinxtyt (t 为参数 )，点 P 的直角坐标为 2,2 ，直线 l 交圆 C 于 ,AB两点，求 PA PBPA PB 的 取值范围 23 （本小题满分 10 分） 选修 45 ：不等式选讲 已知 0xR 使不等式 | 1
13、| | 2 |x x t 成立 （ ）求满足条件的实数 t 的集合 T ； （ ）若 1, 1mn，对 tT ，不等式 33log logm n t恒成立，求 mn 的最小值 宁化一中 2017 届高三下学期 省质检第二次 模拟考试 理科数学第 5 页 共 4 页 宁化一中 2017届 省质检第二次模拟考试 理科数学 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A D A C B C D C B A C 二、填空题： 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13、 1124 14、 102,315
14、、 2,1e 16、 2n 三、解答题： 17 （本小题满分 12 分） （ 2）由 25cos 5B 得 5sin 5B ， 7 分 C A B ， 3 s in 5 s inA A B， 则 sin cosAA ，得 tan 1A ， 8 分 4A ，则 2212 2642c b bc ， 9 分 51sin sin53AC 且 21sin sin23BC ， 10 分 3 5 2 1 0,5 3 5c a b c a ， 2 2 29 1 3 265 1 0 5a a a ， 11 分 解得 25a ， 2 2, 6bc， ABC 的最短边的边长 22 12 分 18 （本小题满分 12
15、 分） （ ） 依题意 ， AE BC ， 则 AE EB ， AE EP ， EB EP E. AE 面 EPB . 故 PEB 为二面角 P AE B的平面角 ， 所以 60PEB ， 因为 PE BE ，所以 PEB 为等边三角形， 宁化一中 2017 届高三下学期 省质检第二次 模拟考试 理科数学第 6 页 共 4 页 所以，若 H 为 EB 中点，则 PH EB ，又因为 AE 面 EPB ，所以 AE PH ，因为,AE EB E且 ,AEEB 平面 ABE ，所以 PH 平面 ABE ，所以 EB 的中点 H 为 P 在 平面 ABE 上的射影 . （ ） 过点 H ,作 HF
16、AB 于 F ,因为 PH 平面 ABE ,所以,PH HB PH HF,所以以 HF 方向为 x 轴 , HB 方向为y 轴 , HP 方向为 z 轴建立空间直角坐标系 H xyz , 由题知 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 3 , 2 , 1 , 0B E P A,所以 0 , 2 , 0 , 2 , 1 , 3 , 0 , 1 , 3E B P A P B ,设平面PAB 的法向量为 ,n x y z ,所以 2 3 030x y zyz ,令 3z ,则 3, 3yx,所以 3,3, 3n ,所以 6 2 1c o s , 74 9 9 3n E B ,
17、设 直线 BE 与平面 ABP 所成角 为 ,则 21sin719. （本小题满分 12 分） 解：（ ）数据整 理如下表： 健康状况 健康 基本健康 不健康尚能自理 不能自理 80 岁及以上 20 45 20 15 80 岁以下 200 225 50 25 从图表中知不能自理的 80 岁及以上长者占比为： 15 315 25 8 ， 故抽取 16 人中不能自理的 80 岁及以上长者人数为 16 80 岁以下长者人数为 10 人 （ ）在 600 人中 80 岁及以上长者在老人中占比为： ， 用样本估计总体， 80 岁及以上长者共有 116166 万 ， 80 岁及以上长者占户籍人口的百分比为
18、 =2.75% （ ）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为 X 元， P（ X=0） = ， P（ X=120） = = ， P（ X=200） = = ， 宁化一中 2017 届高三下学期 省质检第二次 模拟考试 理科数学第 7 页 共 4 页 P（ X=220） = = ， P（ X=300） = = ， 则随机变量 X 的分布列为： X 0 120 200 220 300 P EX= =28， 全市老人的总预算为 28 12 66 104=2.2176 108 元 政府执行此计划的年度预算约为 2.2176 亿元 20.（本小题满 分 12 分） 解 :(1)椭圆方程为 ;
19、 (2) 证明 :设 , , , 设 , , . 可得直线 AC、 BD 的方程分别为 , . 联立 和 , 计算得出 , . 即有 , . , 则 的值为定值 ,且为 0; 由 (1)可得四边形 ABCD 为平行四边形 , 则四边形 ABCD 面积 (原点到直线 AB 的距离为 d), 设直线 ,代入椭圆方程可得 , 则有 , , 宁化一中 2017 届高三下学期 省质检第二次 模拟考试 理科数学第 8 页 共 4 页 即有 ,当且仅当 时 ,取得等号 . 即有四边形 ABCD 面积的最大值为 4. 21.（本小题满分 12 分） 综上所述， 当 2a 时， ()fx的减区间为 1, 1a
20、，增区间为 0 ,1 , 1 ,a ； 当 2a 时， ()fx的增区间为 0, ； 当 21a 时， ()fx的增区间为 0, 1 , 1,a ，减区间为 1 ,1a ； 当 1a 时， ()fx的增区间为 1, ，减区间为 0,1 . （ ）由题知，21 )1(2)( x xexh x ，当 0 x 1时， ()hx 0，当 1 x 2时， )(xh 0，故 )(xh在（ 0,1）上是减函数，在（ 1,2）上是增函数，故 m in( ) (1) 2h x h a ， 由题知 2)()( 21 axfxf ， 由（ ）知 ，要使 ()fx有两个极值点，即 ()fx =0在（ 0， +）上有两
21、解，则 a -1 且 a -2；当 a -2 时， ()fx的减区间为 (1,-(a +1)，增区间为（ 0， 1），（ -(a +1),+），故 ()fx极大值 (1)f = 3a ，极小值 ( 1)fa = ln ( 1) 1a a a ； 当 -20，即 ln ( 1) 1 lnae ， 0 ( 1)ae ， 解得 1e a -1 且 a -2，综上所述，实数 a 的取值范围为 ( 1e ， -2) (-2,-1). 22【解析】 (1): 111 22 yx (2)将直线 l 的参数方程代入上述圆的普通方程化简得 : 2 2 ( s in c o s ) 1 0tt , 4 1 sin 2 4 4 sin 2 0 在 0,3 时恒成立 ,且 1 2 1 22 s in c o s , 1t t t t ,所以 112 s in c o s2 2 s in 4P A P BP A P B ,宁化一中 2017 届高三下学期 省质检第二次 模拟考试 理科数学第 9 页 共 4 页 因为 0,3 ,所以 7,4 4 12 ,所以 2 2 sin 2 , 2 24 ,所以21,42PA PBPA PB
