1、1 随机事件样本空间事件的关系与运算 一、选择填空题 (在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方括号中 ) 【 C 】 1. 在电炉上安装了四个温控器，其显示温度的误差是随机的在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 0t ，电炉就断电，以 E 表示“电炉断电”，而 )4()3()2()1( TTTT 为四个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 E 等于 )(A 0)1( tT )(B 0)2( tT )(C 0)3( tT )(D 0)4( tT 【 D 】 2. 设事件 A 表示“甲种产品畅销而 乙种产品滞销”，则事件 A 表示 )(A “甲种产品滞销而乙
2、种产品畅销” )(B “甲、乙两种产品均畅销” )(C “甲种产品滞销” )(D “甲种产品滞销或乙种产品畅销” 【 B 】 3. 设 CBA , 是某随机试验中的三个事件， D 表示“只有 A 发生”，则 )(A AD )(B CBAD )(C BCAD )(D)( CBAD 【 D 】 4. 对于任意二事件 A 和 B ，与关系式 BBA 不等价 的是 )(A BA )(B AB )(C )(D 二、任意抛掷一颗骰子，观察出现的点数设事件 A 表示“出现偶数点”，事件 B表示“出现的点数能被 3整除” (1) 写出试验的样本点及样本空间； (2) 把事件 A 及 B 分别表示为样本点的集合
3、； (3) 事件 BAABBABA , 分别表 示什么事件？并把它们表示为样本点的集合 【解】 （ 1）设 i 表示“出现 i 点” )6,2,1( i ，则样本点为 BA BA654321 , ， 样本空间为 ., 654321 （ 2） , 642 A , , 63 B ; （ 3） , 531 A ，表示“出现奇数点”； , 5421 B ，表示“出现的点数不能被 3 整除”； , 6432 BA ，表示“出现的点数能被 2 或 3 整除”； 6AB ，表示“出现的点数能被 2 和 3 整除”； ,BA 51 ，表示“出现的点数既不能被 2 整除也不能被 3 整除” . 三、一盒中有 5
4、 只外形完全相同的电子元件（分别标有号码 5,4,3,2,1 ），一次从中任取 3 只，记录所取元件的号码 (1) 写出随机试验的样本点及样本空间； (2) 用样本空间的子集表示下列事件： A “最小号码为 1”； B “号码之和为 10 ” 【解】 (1) 设 ijk 表示“出现号码为 kji , ” );5,2,1,( kjikji ，则 , 345245235234145135134125124123 (2) ., 145135134125124123 A ., 145235 B 四、设 CBA , 为三个事件，用事件之间的运算表示下列事件： (1) A 发生 , B 与 C 都不发生；
5、 【解】 CBA ； ）（或 )( CBA (2) CBA , 都发生； 【解】 ABC (3) CBA , 中至少有两个发生； 【解】 A B CCABCBABCA 或 CABCAB (4) CBA , 中至多有两个发生 【解】 BCACBACABCBACBACBACBA 或 CBA 或 .ABC 2 概率的古典定义概率加法定理 一、填空题 (将你认为正确的答案填在题中的横线上 ) 1. 电话号码由七个数字组成，每个数字可以是 9,2,1,0 中的任一个数（但第一个数不能为 0 ），则电话号码是由完全不同的数字组成的概率为06048.010 6196919 A AA 2. 把 10 本书任意
6、地放在书 架上，则其中指定的 3 本书放在一起的概率为0 6 6 7.01511010 8833 A AA 3. 将 20 个球队任意分成两组（每组 10 个队）进行比赛，则最强的两个队恰好分在不同组内的概率为 5 2 6 3.01910102012918 C CC 4. 一盒中有 20 张奖票（其中只有 2 张有奖），现有两人依次从盒中 各抽一张奖票 第二人抽奖时不知道第一人是否中奖，则第二人中奖的概率为 1.0101 5. 一批产品共有 20 件 , 其中有 6 件次品任取 3 件产品恰有 1件是次品的概率为 0856.03200162194 C CC;任取 3 件产品没有次品的概率为 9
7、122.032003194 CC; 任取 3件产品中次品不少于 2 件的概率为 0022.0132 0 031 9 432 0 01621 9 4 CCC CC 6. 在区间 )1,0( 内随机地取两个数，则所取两数之和不超过 5.0 概率为 81 二、一批产品共有 20 件，其中一等品 8 件，二等品 12 件现从这批产品中任取 3件，求取出的产品中恰有 2 件等级相同的概率【要求：使用互不相容情形的加法定理】 【解】 设 取出的产品中恰有 2 件等级相同的概率 为 ),(AP 则 7 5 7 9.0)( 320 2121811228 C CCCCAP 三、在 1到 100 共一百个正整数中
8、任取一个数，求这个数能被 3 或 7 整除的概率 【解】 设 这个数能被 3 或 7 整除的概率 为 ),(AP 则 43.0)( 11001411001141100133 CCCCCCAP 四、 设 41)( ,0)()( ,31)()()( BCPACPABPCPBPAP ，求三 事件CBA , 中至少有一个发生的概率 【解】 因为 0 P (AC )P (AB ) , 所以 ACAB , ，从而 CAB )( ,可推出 0)( ABCP , 所求为 )( CBAP )()()()()()()( A B CPCAPBCPABPCPBPAP 75.04341313131 . 3 条件概率概率
9、乘法定理全概率公式与贝叶斯公式 一、填空题 (将你认为正确的答案填在题中的 横线上 ) 1 设 BA, 是随机事件， 7.0)( AP ， 6.0)( BP ， 4.0)|( ABP ， 则)(ABP 48.0 2 设 BA, 是随机事件， 已知 ( ) 0.6PA ， 5.0)( BP ， 8.0)( BAP ，则)( ABP 5.0 3设 BA, 是随机事件 ， 5.0)( AP ， 6.0)( BP ， 8.0)( BAP ，则)( BAP 62.0 二、 选择填空题 (在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方括号中 ) 【 D 】 1已知事件 A 发生必导致事件 B 的发
10、生，且 1)(0 BP ，则 )|( BAP )(A 1 )(B 5.0 )(C 25.0 )(D 0 【 B 】 2已知 21)|(,31)|(,41)( BAPABPAP ，则 )( BAP )(A 21 )(B 31 )(C 41 )(D 51 【 A 】 3已知事件 A 与 B 满足条件 2.0)( BAP ，且 6.0)( AP ，则 )|( ABP )(A 5.0 )(B 6.0 )(C 7.0 )(D 8.0 三、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通 所需电话的概率 【解】 设 A =“拨通电话”， ,2,1“ ）（次才拨通电话第 iiB
11、 i 则 211 BBBA , ，101)( 1 BP ，10191109)()()( 11221 BPBBPBBP 故 2.0101101)()()(211 BBPBPAP； 四、试卷中的一道选择题共有 4 个答案可供选择，其中只有 1个答案是正确的某考生如果会 做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案设该考生会做这道题的概率为 8.0 （ 1）求该考生选出此题正确答案的概率（ 2）已知该考生答对了此题，求该考生确实会解此题的概率 【解】 设 A:该考生选出此题正确答案 ,B:该生会做此题 ，则 41)|(,1)|(,8.0)( BAPBAPBP （ 1）
12、 85.0412.018.0)|()()|()()()(.)( BAPBPBAPBPBAPABPAP （ 2） 9 4 1 2.085.0 8.0)( )()|()|()()( AP ABPABPABPAPABP五、盒中放有 10 个乒乓球，其中有 6 个是新的第一次比赛时从盒中任取 2 个来用，比赛结束后仍放回盒中第二次比赛时再从盒中任取 2 个，求第二次比赛时取出的都是新球的概率 【解】 设 A: 第二次比赛时取出的都是新球 , iB :第一次 比赛时取出 i个新球 ，)|()()|()()|()()()()(.)( 221100210 BAPBPBAPBPBAPBPABPABPABPAP
13、 2 0 7 4.021024210262102521016142102621024 CCCCCCC CCCCCC4 随机事件的独立性独立试验序列 一、填空题 (将你认为正确的答案填在题中的横线上 ) 1两射手独立地向同一目标各射击一次，假设两射手的命中率分别为 9.0 和8.0 ，则目标被击中的概率为 98.0 2. 设事件 A 与 B 独立， 7.0)(,4.0)( BAPAP ，则 )(BP 5.0 3. 一射手对同一目标独立地进行 4 次射击，假设每次射击命中率相同，若至少命中 1次的概率为 8180 ，则该射手的命中率 p 32 二、选择填空题 (在每题的四个备选答案中选择唯一正确的
14、答案填在题号前的方括号中 ) 【 C 】 1已知 A 与 B 相互独立，且 0)(,0)( BPAP ，则下面命题 不正确 的是 )()()( BPABPA )()()( APBAPB )(1)()( BPAPC )()()()( BPAPABPD 【 D 】 2一种零件的加工由两道工序完成，已知第一道工序的废品率为 p ，第二道工序的废品率为 q ，则该零件加工的成品率为 )(A qp1 )(B pq1 )(C pqqp )(D pqqp 1 【 D 】 3某人向同一目标独立重复射击，每次命中的概率为 )10( pp ，则此人 4 次射击恰好命中 2 次的概率为 )(A 2)1(3 pp )
15、(B 2)1(6 pp )(C 22 )1(3 pp )(D 22 )1(6 pp 三、一个工人看管三台车床，在一小时内车床需要工人照管的概率：第一台等于1.0 ，第二台等于 2.0 ，第三台等于 3.0 求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率 【解】 设 A: 一小时内 第一台 车床需要工人照管 ,B :一小时内 第二台 车床需要工人照管 C :一小时内 第三台 车床需要工人照管 ， D :一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管 ，则 ,3.0)(,2.0)(,1.0)( CPBPAP )()()()()( CBAPCBAPCBAPCBAPDP )()()()()()()()(
16、)()()()( CPBPAPCPBPAPCPBPAPCPBPAP 7.08.09.03.08.09.07.02.09.07.08.01.0 902.0 四、电路由电池 a 与两个并联的电池 b 及 c 串联而成设电池 cba , 损坏的概率分别是 2.0,2.0,3.0 ，求电路发生间断的概率 【解】 设 1A : 电池 a损坏 ， 2A : 电池 b损坏 ， 3A : 电池 c 损坏 ， B : 电路发生间断 ，则 )()()()()( 321321321 AAAPAAPAPAAAPBP )()()()()()( 321321 APAPAPAPAPAP 328.02.02.03.02.02
17、.03.0 五、某机构有一个 9 人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的概率都是7.0 现在该机构内就某事 可行与否个别征求每个顾问的意见，并按多数人意见作出决策，求作出正确决策的概率 【解】 设 A : 任何一人贡献正确意见 ，则 ,7.0)( AP 于是所求概率为 )9()8()7()6()5()5( 99999 PPPPPmP 5 离散随机变量三个重要的离散分布 一、填空题 (将你认为正确的答案填在题中的横线上 ) 1设离散随机变量 X 的概率分布为 ,2,1,25)( kakXP k ， 则 常数 a 51 2某段高速公路每周发生交通事故的次数服从参数为 3 的泊松分布，则该段高速
18、公路每周发生 4 次交通事故的概率为 168075.0 （取 0498.0e 3 ） 3自动生产线在调整以后出现废品的概率为 )10( pp 生产过程中出现废品时立即进行调 整则在两次调整之间生产的合格品数 X 的概率分布为： 二、已知一批产品共 20 个，其中有 4 个次品 X 0 1 2 n )( xp p pq 2pq npq（）不放回抽样：抽取 6 个产品，求样品中次品数的概率分布 （）放回抽样：抽取 6 个产品，求样品中次品数的概率分布 【解】 （ 1） 设随机变量 X 为 取出的样本中的次品数，则 )20,4,6( HX ，即 X 的概率函数为 )4,3,2,1,0()( 620
19、6164 xCCCxXP xx 从而 X 的概率分布为 X 0 1 2 3 4 )(ixp 2066.0 4508.0 2817.0 0578.0 0031.0 （ 2）设随机变量 Y 为取出的样本中的次品数 ,则 )2.0,6( BY ,Y 的概率函数为 )6,5,4,3,2,1,0()2.01()2.0()( 66 yCyYP yyy 从而 Y 的概率分布为 Y 0 1 2 3 4 5 6 )( jyp 2621.0 3932.0 2458.0 0819.0 0154.0 0015.0 0001.0 三、一批零件中有 9 个合格品与 3 个废品安装机器时从这批零件中任取 1个如果每次取出的
20、废品不再放回去，设 X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，求 X 的概率分布 【解】 设随机变量 X 为在取得合格品以前已取出的废品数，则 X 可能取值为0,1,2,3， ，43129)0( XP ，449119123)1( XP ，2209109112123)2( XP ，2 2 0199101112123)3( XP 即 X 0 1 2 3 )(ixp 43 449 2209 2201 四、电话总机为 30 个电话用户服务在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于 01.0 ，求在一小时内有 4 个用户使用电话的概率（先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算） 【解】 （ 1）设随机变量 X
21、 为一小时内使用电话的用户数，则 )01.0,300( BX , 1 6 8 8 7 7.0)01.01()01.0()4( 29644300 CXP （ 2）用泊松分布计算 )301.0300( np 168075.0!43)4( 34 eXP 相对误差为 .5168877.0 168075.0168877.00006 随机变量的分布函数连续随机变量的概率密度 一、选择填空题 (在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方括号中 ) 【 C 】 1. 若函数IxIxxxF,1;,1 1)( 2 是某个连续随机变量 X 的分布函数，则 I )(A )1 ,( )(B ) ,1( )(C )0,( )(D ) ,0( 【 B 】 2. 若函数IxIxxxf,0;,s in21)( 是某个连续随机变量 X 的概率密度，则 I )(A 2,0 )(B ,0 )(C 23,0 )(D 2,0 【 A 】 3. 设 )(1xF 与 )(2xF 分别为随机变量 1X 与 2X 的分布函数，若函数)()()( 21 xbFxaFxF 是某随机变量的分布函数，则必有
