1、 1 大连理工大学 2019 年港澳台硕士研究生入学考试大纲 数学 港澳台硕士研究生入学考试 “数学”试题分为客观题型和主观题型，其中客观题型（填空题）占 40%，主观题型（计算题、简单的的推导与证明题）占 60%，具体复习大纲如下： 一、函数、极限、连续 1 理解 数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限 。 类型 axfxfaxfaxfxfaxfxxxxxxxxx)(lim)(lim)(lim)(lim)(lim)(lim000 2 理解并掌握 无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较 。 当 0x 时 1)1ln (s in xexxx 3 求极限的方法：
2、熟练理解并掌握 极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限 利用连续性 两个重要极限 exexxxxxxxx11lim1lim1s inlim100 无穷小 等价代换 当 0x 时 1)1ln (s in xexxx 2cos1 2xx “ 1 ” 型 xgxf )( 利用重要极限式指数化 )(1)(lnl i m)(ln)(l i m)(lim xgxfxfxgxg eexf 有理函数 xQ xPxR 极限（ xxx ,0 ） 4.理解 函数的连续性（含左连续与右连续）、 会求 函数间断点的类型 。 类型 )()(lim)(lim)()(lim00 000 xfxfxfx
3、fxf xxxxxx 理解 续函数的性质和初等函数的连续性 ，能判断分段函数的连续性 。 1定义： 如果 )()(lim00 xfxfxx 那么就称函数 )(xfy 在点 0x 连续。 0lim0 yx 2 2主要条件： )(lim)()(lim00 0 xfxfxf xxxx （由此可求两个参数） 4 熟练理解并掌握 闭区间上连续函数的性质 (有界性、最大值和最小值定理、介值定理 、零点定理 )。 二、一元函数微分学 1. 理解 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、 掌握 平面曲线的切线和法线 方程的计算方法。 导数定义： )( 0xf = x xfx
4、xfxyxx )()(limlim 0000， h xfhxfxfh )()(lim)( 0000 和 000 )()(lim)(0 xxxfxfxfxx axfxfaxf )()()( 000 h xfhxfxf h )()(lim)( 0000 可导必连续，连续未必可导 2. 掌握 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性 。 初等函数求导公式（ 16 个求导公式， 5 个求导法则） 导 数 公 式 微 分 公 式 1)( xx dxxxd 1)( xx cos)(sin xdxxd cos)(sin xx sin)(cos xdxxd sin)(c o s xx 2
5、sec)(tan xdxxd 2sec)(tan xx 2csc)(cot xdxxd 2c s c)(c o t xxx tansec)(sec xd xxxd ta ns e c)(s e c xxx c o tc s c)(c s c xd xxxd c o tc s c)(c s c aaa xx ln)( adxaad xx ln)( xx ee )( dxeed xx )( axxa ln1)(log dxaxxd a ln1)(lo g xx 1)(ln dxxxd 1)(ln 211)(arc s in xx dxxxd211)(a rc s in 3 211)(a rc c
6、o s xx dxxxd211)( a r c c o s 21 1)(arctan xx dxxxd21 1)(arc tan 21 1)c o t( xxarc dxxxa rcd21 1)c o t( （ 1） )()()()( xvxuxvxu （ 2） )()()()()()( xvxuxvxuxvxu ， )()( xucxcu （ 3）。 )0)()( )()()()()( )( 2 xvxv xvxuxvxuxv xu )0)()( )()( 2 xvxv xvcxv c (4) 复合函数导数 )(),(),( xgfyxguufy ， u 称为中间变量， dxdududydx
7、dy （ 5） )()(ty tx ； 参数方程求二阶导数dtdxdtdydxdy dtdxdtyddxyddxyd22 ， )()( ty tx )( )()()()( 322 t ttttdx yd 3. 熟练掌握 复 合函数、反函数、隐函数以及参数方 程所确定的函数的微分法 。 例如： 隐函数求二阶导数： F(x,y)=0 y=y(x),方程两边对 x 求导， y 的函数看成 x 的复合函数 4. 理解 高阶导数的概念 并会计算 分段函数的二阶导数、某些简单函数的 n 阶导数 。 5. 熟练理解并掌握 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理 。 6. 熟练理解并掌握利用 洛必达 (
8、L Hospital)法则与求未定式极限 。 例如： 洛必达法则：“ 00 ， ”型 )( )(lim)( )(lim 00 xg xfxg xf xxxx 7. 理解 函数的极值并会利用导数判别 函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线 )。 1方法：利用最值，单调性证不等式 单调性：单调升： )()( 21 xfxf ，当 21 xx 时 单调降： )()( 21 xfxf ，当 21 xx 时 0f ， f 单调升， 0f ， f 单调降 利用单调性证不等式，证 )()( xgxf ， )()()( xgxfxh ， 0)( 0 xh 2求导时最多到二阶 4 8.
9、 理解 函数最大值和最小值 并 掌握 其简单应用 。 三、一元函数积分学 1. 理解 原函数和不定积分的概念 . 1原函数：在区间上，若 )()( xfxF ，称为的一个原函数。 2不定积分：在区间 I 上， )(xf 的原函数的全体称为 )(xf 的不定积分，记为 cxFdxxf )()( 2. 理解 不定积分的基本性质、基本积分公式 . kCkxkdx (是常数 ) )1(11 Cxdxx Cxxdx |ln , Caadxa xx ln Cedxe xx Cxxdx s inc o s Cxxd x c o ss in Cxx d xxdx t a ns e cc o s 22 Cxx
10、d xxdx c o tc s cs in 22 Cxd xx s e cta ns e c (11) Cxxd xx cscc o tcsc (12) Cxxdx a rc s in1 2(13) Cxxdx arc tan123. 理解 定积分的概念和基本性质 ， 掌握 定积分中值定理、 理 解 变上限定积分确定的函数 并会求 其导数、 掌握 牛顿 -莱布尼茨 (Newton-Leibniz)公式 . 例如： )()()()( aFbFxFdxxf baba )()( xfdttfdxd xa ， )()( xfdttfdxd ax 4. 掌握 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 .
11、 凑分法： )()()()( xuduufdxxxf 掌握下列常用凑分法 （ 1） )()(1)( baxdbaxfadxbaxf （ 2） xdxfdxxxf s in)( s in)( s inc o s （ 3） xdxfdxxxf c o s)( c o s)( c o ss in 5 分布积分法： vduuvudv vdxuuvdxvu 掌握（ 1） cexedxexex d edxxe xxxxxx （ 2） cxxxx d xxxxxdx d xx c o ss i ns i ns i ns i nc o s （ 3） cxxxx d xxxxxdx d xx 4ln221ln2
12、2lnln 2222 （ 4） cxxxxx d xx )a r c t a n(21a r c t a n2a r c t a n 2 cxexex d xe xxx )c o ss in(21c o s)5( 简化计算的技巧 例如： （ 1） 1）若 )(xf 在 , aa 上连续且为偶函数，则 aaa dxxfdxxf 0 )(2)(2）若 )(xf 在 , aa 上连续且为奇函数，则 0)( aa dxxf2） 2200si n d c os dnnnI x x x x 1 3 3 1 ,2 4 2 21 3 4 2 , 1 .2 5 3nn nnnnn nnn 为 正 偶 数为 大
13、于 的 正 奇 数3）换元法（结合凑微分法） 5. 掌握 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分 . 6. 熟练掌握利用 定积 分 计算 平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积 四 .常微分方程 1. 理解 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等 。 2. 熟练掌握 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程 的 计算 方法。 例如： 形式 ( ) ( )y p x y q x 通解： cdxexQey dxxPdxxP )()( )(3. 理解 线性微分方程解的性质及解的结构定理 . 4. 掌握 二阶常系数齐
14、次线性 的 计算 方法。 例如： 二阶常系数线性齐次方程通解。标准型 0 qyypy ，其中常数。 解法：特征方程： 02 qprr ，特征根 2 422,1 qppr 6 通解 irxcxcerrexccrrececxYxxrxrxr2,12121212121,)s inc o s(,),)( 121实根（实根5. 熟练理解并掌握 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数，以及它们的和与积 的 计算 方法。 例如： 二阶常系数线性非齐次方程通解。标准型 xm exPqyypy )( ，其中,qp 常数 mmm xaxaaxP 10)( ， 0ma 解法：通解 )()()(
15、 * xyxYxy ，其中 )(xY 为对应齐次方程通解， )(*xy 为本身的特解。 xmk exQxxy )()(* ，其中21221,2,1,0rrrrrrk且当或当且当， mmm xbxbbxQ 10)( 6. 会用 微分方程 解决一些 简单 的 应用 问题。 五 、多元函数微分学 1. 了解 二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质 。 2. 理解并掌 握 多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件 。 3. 熟练理解并掌握 多元复合函数 求 二阶偏导数 ，会求 隐函数的导 数 。 例如： 多元复合函数求偏导数 设函数 ),( yxu 和 ),( yxv
16、 在 ),( yx 点分别具有对 x 和 y 的偏导数，而对应的函数 ),( vufz 在相应的 ),( vu 点具有对 u 和 v 的连续偏导数，则复合函数),(),( yxyxfz 在 ),( y 点具有对 ),( yx 的偏导数，且 xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 同链相乘，分链相加 若 ),( yxu 和 ),( yxv 二阶可 偏 导， ),( vufz 具有二阶连续偏导数，则 221 1 1 1 2z u u u vf f fx y x y x y y 22 2 1 2 2v v u vf f fx y x y y 7 4. 理解 方向导数和梯度 的概念，并 掌握其 计
17、算 方法。 例如： (1) 方向导数 ： 函数 u f (x , y , z)在 0P ( 000 , zyx ) 点沿方向e ,cos,(cos l )cos 的方向导数 ),( 000 zyxlf = c o s),(c o s),(c o s),( 000000000 zyxfzyxfzyxf zyx （ 2）梯度： 函数 u f (x , y , z)在 0P ( 000 , zyx )点的梯度00g r a d , ,PPfffu x y z 5. 会求 空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线 。 例如： 1） 空间曲线切线与法平面方程 设空间曲线 ttzztyytxx)()()
18、( 在),( 0000 zyxP 参数 0t ， 切向量 )(),(),( 000 tztytxs ，切线方程：)()()( 0 00 00 0 tz zzty yytx xx 法平面方程： 0)()()( 000000 zztzyytyxxtx 2） 空间曲面的切平面与法线方程 设空间曲面： 0),( zyxF 在切点 ),( 0000 zyxP ，法向量0),( Pzyx FFFn 切平面 方程： 0)()()(000 000 zzFyyFxxF PzPyPx， 法线 方程：000000PzPyPx FzzF yyF xx 6. 熟练理解并掌握 多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元
19、函数的最大值、最小值及其简单应用 。 例如： 条件极值问题可表述为：求函数 ),( 21 nxxxfu 在条件0),( 21 nxxxg 下的极值。 方法：构造拉格朗日函数 gfxxxL n ),( 21 ，令1xL，2xL， 0, nxL，0L ， 解出 ),( 21 nxxx ，代入 ),( 21 nxxxf ，其中最大（小）者为最大（小）值。 8 六 、多元函数积分学 1. 理解 二重积分和三重积分的概念及性质、 熟练掌握 二重积分的计算 (直角坐标、极坐标 )、 会 计算 三重积分 (直角坐标、柱面坐标、球面坐标 )。 例如： 1） 积分区域 D 为 X型区域 )()( 21 xyx
20、， bxa D dyxf ),( = ba xx dyyxfdx )( )(21 ),( ， 积分区域 D 为 Y型区域 )()( 21 yxy ， dyc D dyxf ),( = dc yy dxyxfdy )( )(21 ),( ， 2）对于二重积分 ,如果区域 D 关于 x 轴对称 ,函 数 ),( yxf 是关于 y 的奇函数 (既),(),( yxfyxf ), 则 D dyxf 0),( ; 若是偶函数 (既 ),(),( yxfyxf ),则 1),(2),( DD dyxfdyxf 其中 1D 是 D 在 x 轴的上半部分 对于二重积分 , 如果 区域 D 关于 y 轴对称
21、,函数 ),( yxf 是关于 x 的奇函数 (既),(),( yxfyxf ), 则 D dyxf 0),( ; 若是偶函数 (既 ),(),( yxfyxf ),则 2),(2),( DD dyxfdyxf 其中 2D 是 D 在 y 轴的右半部分 2. 理解 两类曲线积分的概念、性质 及 两类曲线积分的关系 ， 掌握 两类曲线积分的计算方法。 3. 熟练 掌握 格林 (Green)公式和 平面曲线积分与路径无关的条件、 会求 二元函数全微分 的 原函数 。 例如： 1） 第二型曲线积分（平面曲线） 积分形式： L dxyxP ),( L dyyxQ ),(= dyyxQdxyxPL ),
22、(),( 曲线积分与路径无关的充要条件 之一 是 ：yPxQ 在 D 内恒成立； 2） 格林 (Green)公式 dyyxQdxyxPL ),(),( dsyPxQD 9 其中 L 是 D 的正方向边界曲线。 4. 了解 两类曲面积分的概念、性质， 掌握 两类曲面积分的 计算 方法， 熟练掌握用高斯公式 计算 曲面积分的 方法。 例如： 高斯（ Gauss）公式 dzyxRdyyxQdxyxPS ),(),(),( dvzRyQxPV 七 、无穷级数 1. 了解 常数项级数的收敛与发散 的概念 、收敛 级 数的和的概念 。 例如： 两种 级数 （ 1） p 级数 pppp n14131211当
23、 1p 时收敛，当 1p 时发散 （ 2） 等比级数 nnn aqaqaqaaq 20当 1| q 收敛 ,且其和为qa1;当 1| q 时 ,等比级数发散 2. 掌握 级数的基本性质 ， 掌握 级 数 收敛的必要条件 ， 掌握 几何级数与 p 级数及其收敛性 ， 掌握 正项级数收敛性的 比较 判别法 ， 掌握 交错级数 并 会用 莱布尼茨 (Leibniz)判别法 。 例如： 1） 正项级数的比值判别法： 正项级数 1n nu, 0nu 2）比值审敛法，（达朗贝尔（ DAlembert）判别法）设 1n nu为正项级数，如果 ,lim 1 nnn uu 则当 1 时级数收敛； 1 (或 nn
24、n uu 1lim )时级数发散；1 时级数可能收敛也可能发散 . 3交错级数 11)1(n nn u )0( nu 的莱布尼茨定理判别法：若（ 1）);,3,2,1(1 nuu nn （ 2） ,0lim nn u 则级数收敛 4（比较审敛法的极限形式） 设 1n nu和 1n nv都是正项级数， (其中,2,1,0 nvn ), 如果 lvunnn lim 则 10 （ 1） 当 l0 时，两个级数同时敛散； （ 2） 当 l=0 时 ,若 1n nv收敛 ,则 1n nu也收敛 ,若 1n nu发散，则 1n nv也发散 . （ 3） 当 l 时 ,若 1n nv发散 ,则 1n nu也
25、发散 ;若 1n nu收敛 ,则 1n nv也收敛 . 3. 了解 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 。 4. 了解 函数项级数的收敛域与和函数的概念 。 5. 会求 幂级数 的 收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域 。 例如： 幂级数 1 0 ),(,)(nnn xxxa （ 1）收敛半径，收敛域：如果 ,lim 1 nnn aa 其中 1nn aa、 是幂级数 0nnnxa 的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径.,0,0,0,1R 开区间),( RR 叫做幂级数的收敛区间。再由幂级数在 Rx 处的收敛性就可以决定它的收敛域是,(),),( RRRRRR 、 或 , RR 这四个区间之一。 （ 1） 0211 1nnn xxxxx ， 1| x （ 2） 02 )1()1(11 1nnnnn xxxxx ， 1| x 6. 理解 幂级数在其收敛区间内的基本性质 (和函数的连续性、逐项求导 和逐项积分 )，熟练 掌握 简单幂级数的和函数的求法 。 7. 理解 初等函数的幂级数展开式 ， 熟练 掌握应 用它们将简单函数间接展开成幂级数。
