1、高考专题训练二十五 数形结合思想 班级 _ 姓名 _ 时间： 45分钟 分值： 75 分 总得分 _ 一、选择题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上 1 已知直线 l1： 4x 3y 6 0 和 l2： x 1，抛物线 y2 4x 上一动点 P 到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值是 ( ) A 2 B 3 C.115 D.3716 解析： 设 P 到 l1的距离为 d1， P 到 l2的距离为 d2，由抛物线的定义知d2 |PF|， F(1,0)为抛物线焦点，所以 d1 d2 d1 |PF|.过 F作 FHl1于 H，
2、设 F 到 l1的距离为 d3，则 d1 |PF| d3.当且仅当 H， P， F三点共线时， d1 d2最小，由点到直线距离公式易得 d3 105 2. 答案： A 2已知双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的右焦 点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是 ( ) A (1,2 B (1,2) C 2， ) D (2， ) 解析： 如图所示，根据直线与渐近线斜率的大小关系： ba c2 a2a e2 1 3，从而 e 2. 答案： C 3已知 OB (2,0)， OC (2,2)， CA ( 2cos， 2sin)，则
3、向量 OA 与 OB 的夹角的取值范围为 ( ) A 0， 4 B 4， 512 C 512， 2 D 12， 512 解析： 如图，在以 O 为原点的平面直角坐标系中， B(2,0)， C(2,2)， A点轨迹是以 2为半径的圆 C， OD， OE 为 C 的切线，易得 COB 4， COD COE 6，当 A 点位于 D点时， OA 与 OB 的夹角 最小为 12，当 A点位于 E点时， OA 与 OB 的夹角最大为 512，即夹角的取值范围为 12， 512 答案： D 4 函数 y 3cos 2x 3 6 x 3 与 y 3cos 2x 7376 x53 的图象和两直线 y 3 所围成
4、的封闭区域的面积为( ) A 8 B 6 C 4 D以上都不对 解析： 函数 y 3cos(2x 73) 3cos 2 x 43 3 . y 3cos(2x 73)的图象是将函数 y 3cos 2x 3 的图象向右平移 43 个单位得到的由画图可知，所围成的区域的面积为 43 6 8. 答案： A 5设定义域为 R 的函数 f(x) 1|x 2| x 2，1 x 2.若关于 x的方程 f2(x) af(x) b 0有 3个不同的实数解 x1， x2， x3，且 x12x2 解析： 作出 f(x)的图象，图象关于 x 2 对称，且 x 2 时， f(x) 1，故 f(x) 1有 3个不同实数根
5、x，除此之外，只有两个根或无根又f2(x) af(x) b 0 有 3 个不同的实数解 x10 且 a 1)有两个零点，则实数 a的取值范围为 ( ) A 01 C a0 且 a 1 D 10 且 a 1)和函数 y x a，则函数 f(x) logax x a有两个零点，就是函数 y logax(a0 且 a 1)与函数 y x a有两个交点，由图象可知当 01 时，函数 y logax 图象过点 (1,0)，而直线 y x a与 x 轴交点 (a,0)在点 (1,0)右侧，所以一定有两个交点，故 a1. 答案： B 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，把答案填在题中横线
6、上 7 设有一组圆 Ck： (x k 1)2 (y 3k)2 2k4(k N*)下列四个命题： A存在一条定直线与所有的圆均相切 B存在一条定直线与所有的圆均相交 C存在一条定直线与所有的圆均不相交 D所有的圆不经过原点 其中真命题的代号是 _ (写出所有真命 题的代号 ) 解析： 假设圆经过原点，则有 (0 k 1)2 (0 3k)2 2k4，即 2k4 10k2 2k 1，而上式左边为偶数，右边为奇数，故矛盾，所以D 正确而所有圆的圆心轨迹为 x k 1，y 3k， 即 y 3x 3.此直线与所有圆都相交，故 B 正确由于圆的半径在变化，故 A， C 不正确 答案： BD 8当 0 x 1
7、 时，不等式 sin2x kx，则实数 k 的取值范围是_ 解析： 在同一坐标系下，作出 y1 sin2x与 y2 kx的图象，要使不等式sin2x k成立，由图可知需 k 1. 答案： k 1 9函数 f(x) 13x3 ax2 bx 在 1,2上是单调减函数，则 a b的最小值为 _ 解析： y f(x)在区间 1,2上是单调减函数， f (x) x2 2ax b 0 在区间 1,2上恒成立 结合二次函数的图象可知 f ( 1) 0 且 f (2) 0， 即 1 2a b 0，4 4a b 0 也即 2a b 1 0，4a b 4 0. 作出不等式组表示的平面区域如图： 当直线 z a b
8、经过交点 P( 12， 2)时， z a b取得最小值，且zmin 12 2 32. z a b 取得最小值 32. 答案： 32 点评： 由 f (x) 0 在 1,2上恒成立，结合二次函数图象转化为关于 a， b的二元一次不等式组，再借助线性规划问题，采用图解法求 a b的最小值 10用计算机产生随机二元数组成区域 10， f(3)0， f b2a f( k)b0)的左右焦点分别为F1、 F2，离心率 e 22 ，右准线为 l， M、 N是 l 上的两个动点， F1M F2N 0. (1)若 |F1M | |F2N | 2 5，求 a、 b 的值； (2)求证：当 |MN|取最小值时， F
9、1M F2N 与 F1F2 共线 解： 由 a2 b2 c2与 e ca 22 ，得 a2 2b2. F1( 22 a,0)， F2 22 a， 0 ， l 的方程为 x 2a. 设 M( 2a， y1)， N( 2a， y2) 则 F1M 3 22 a， y1 ， F2N 22 a， y2 由 F1M F2N 0得 y1y2 32a20 (1)由 |F1M | |F2N | 2 5， 得 3 22 a2 y21 2 5 22 a2 y22 2 5 由 三式，消去 y1， y2，并求得 a2 4故 a 2， b 22 2. (2)证明： |MN|2 (y1 y2)2 y21 y22 2y1y2 2y1y2 2y1y2 4y1y2 6a2. 当且仅当 y1 y2 62 a或 y2 y1 6a 时 ， |MN|取最小值 6a. 此时 ， F1M F2N 3 22 a， y1 22 a， y2 (2 2a， y1 y2) (2 2a,0) 2F1F2 . 故 F1M F2N 与 F1F2 共线
