1、 第 1 页 共 4 页 2011年我爱数学初中生夏令营数学竞赛 说明 :第一试每题 50 分 ,共 150 分 ;第二试每题 15 分 ,共 150 分 . 第一试 1、 已知当 x 的值分别为 2、 m1、 m2 时 ,多项式 ax2+bx+c 的值分别为 0、 p1、 p2.如果 abc,并且 p1p2 cp1+ap2 ac=0,那么 ,能否保证 :当 x 的值分别为 m1+5、 m2+5 时 ,该多项式的值中至少有一个是正数 ?证明你的结论 . 2、 在 ABC 中 , A=75, B=35,D 是边 BC 上一点 ,BD=2CD. 求证 :AD2=(AC+BD)(AC CD). 3、
2、 (1)写出四个 连续的正整数 ,使得它们中的每一个都是某个不为 1 的完全平方数的倍数 ,并指出它们分别是哪一个完全平方数的倍数 (2)写出六个连续的正整数 ,使得它们中的每一个都是某个不为 1 的完全平方数的倍数 ,并指出它们分别是哪一个完全平方数的倍数 ,说明你的计算方法 . 第二试 1、 若 2 008=an( 3)n+an 1( 3)n 1+ +a1( 3)+a0(ai=0,1,2,i=0,1, n), 则 an+an 1+ a1+a0= . 2、 能使关于 x 的方程 x2 6x 2n=0(n N+)有整数解的 n 的值的 个数等于 . 3、 如果函数 y=b 的图像与函数 y=x
3、2 3|x 1| 4x 3 的图像恰有三个交点 ,则 b 的可能值是 . 4、 已知 a 为整数 ,关于 x 的方程1|41 224 x xx x+2 a=0 有实数根 .则 a 的可能值是 . 5、 如果某数可以表示成 91 的某个倍数的数字和 ,就把这个数叫做 “和谐数 ”.那么 ,在 1,2,2 008 中 ,和谐数的个数是 . 6、 已知某种型号的 汽车每台的售价是 23 万元 .某工厂在一年中生产这种汽车的总成本由固定成本和生产成本两部分组成 .一年的固定成本为 7000 万元 .在这一年中生产这种汽车 x 辆时 ,生产每一辆车的生产成本为x3 x-70万元 (0bc 得 a0,cc
4、/2a. 由已知得 c= 4a 2b 6a,则 c/a 6,c/2a 3,mi+52. 当 x=mi+5 时 ,该多项式的值是正数 .因此 ,可以保证 :当 x 的值分别为 m1+5、 m2+5 时 ,该多项式的值中至少有一个是正数 . 2、 由已知得 C=70. 延长 BC 至 E,使 AC=CE.联结 AE.则 CEA= CAE=21 ACB=35= ABC. 故 CAE AEB. 从而 ,AE2=ACBE,即 AB2=AC(AC+BC). 设 F 是 BD 的中点 ,联结 AF.则 CD=DF=FB.在 ACF、 ADB 中 ,由中线的性质分别得 AC2+AF2=2CD2+2AD2, A
5、D2+AB2=2DF2+2AF2. 由式 、 得 2AC2+AB2=6CD2+3AD2. 将式 代入式 得 3AC2+ACBC=6CD2+3AD2. 将 BC=3CD 代入上式得 AC2+ACCD=2CD2+AD2. 故 AD2=AC2+ACCD 2CD2=(AC+2CD)(AC CD)=(AC+BD)(AC CD). 3、 (1)242、 243、 244、 245 是四个连续的正整数 ,242 是 112 的倍数、 243 是 32 的倍数、 244 是 22 的倍数、 245 是 72 的倍数 . (2)2 348 124、 2 348 125、 2 348 126、 2 348 127
6、、 2 348 128、 2 348 129 是六个连续的正整数 ,其中 ,2 348 124 是 22 的倍数、 2 348 125 是 52 的倍数 ,2 348 126 是 112 的倍数、 2 348 127 是 32 的倍数、 2 348 128是 22 的倍数、 2 348 129 是 72 的倍数 . 计算方法如下 : 记 A=4912149k(k N+). 由 (1)可知 , A+240 是 22 的倍数 , A+242 是 112 的倍数 , A+243 是 32 的倍数 , A+244 是 22 的倍数 , A+245 是 72 的倍数 . 设 A+241 是 52 的倍数
7、 . 则当 k=11 时 ,上式成立 . 此时 ,A=2 347 884. A+240=2 348 124 是 22 的倍数 , A+241=2 348 125 是 52 的倍数 , A+242=2 348 126 是 112 的倍数 , A+243=2 348 127 是 32 的倍数 , A+244=2 348 128 是 22 的倍数 , A+245=2 348 129 是 72 的倍数 . 第二试 1、 0 或 4 或 8. 2 008=2( 3)6 2( 3)5 2 ( 3)3+( 3)2+1, 此时 , an+an 1+a 0=0; 2 008=2( 3)6 2( 3)5 2 (
8、3)3+( 3)2 ( 3) 2, 此时 , an+an 1+a 0= 4; 第 3 页 共 4 页 2 008= ( 3)7 ( 3)6 2( 3)5 2( 3)3+( 3)2 ( 3) 2, 此时 , an+an 1+a 0= 8; 2 008=2( 3)6 2( 3)5+( 3)4+( 3)3+( 3)2+1, 此时 , an+an 1+a 0=4; 2 008=( 3)8+2( 3)7+( 3)5+( 3)4+( 3)3+( 3)2+1, 此时 ,an+an 1+a 0=8. 注意到 将 ( 3)n 变为 ( 1)( 3)n+1 2( 3)n, 将 2( 3)n 变为 ( 1)( 3)
9、n+1 ( 3)n, 将 3( 3)n 变为 ( 1)( 3)n+1 的时候 , an+an 1+a 0 的值都增加或减少 4,并且当 n8 时 , an+an 1+a 0 的绝对值不大于 8.因此 ,an+an 1+a 0=0 或 4 或 8. 2、 1. x=3 n2 23 ,其中 , n2 23 是完全平方数 .显然 ,n2. 当 n2 时 ,可设 2n+32=(2k+1)2(k N+,k2), 即 2n 2=(k+2)(k 1). 显见 k 1=1,k=2,n=4. 能使原方程有整数解的 n 的值的个数等于 1. 3、 6、 25/4. 令 y=x2 3|x 1| 4x 3.则 y=x
10、2 x 6= 425)21( 2 x ,x1; y=x2 7x= 449)27( 2 x ,x1. 当 x=1 时 ,y= 6; 当 x=12 时 ,y= 25/4. 由图像知 ,所求 b 的可能值是 6、 25/4. 4、 0、 1、 2. 令 y=1x |x| 2.则 0y1.由 y2 4y+2 a=0 (y 2)2=2+a 12+a4 1a2. 因此 ,a 的可能值是 0、 1、 2. 5、 2 007. 注意到 91=713. 数字和为 1 的数不是 91 的倍数 . 1 001,10 101,10 011 001,101 011 001, 100 110 011 001,1 010
11、110 011 001, 都是 91 的倍数 ,而它们的数字和依次是 2,3, 4,5,6,7,. 因此 ,在 1,2,2 008 中 ,能够表示成 91 的某个倍数的数字和的数的个数是 2 007. 6、 318. 若该厂一年中生产的这种汽车的销售收入不低于总成本 ,则 23x 7000+ xx x3700 x x 3000 x 2201 1 1 x 234.6601 x318. 因此 ,在一年中至少需要生产这种汽车 318 辆 . 7、 2008 2 0062 . 由已知得 2008aa 1-nn 或1-nn a1a , 1 只能经过第 类变换或第 类变换变为 an(n=2,3,2 008
12、), 从 a1 开 第 4 页 共 4 页 始连续经过 2 007 次这样的变换变为 a2 008. 连续两次第 类变换相互抵消 ,保持原数不变 . 连续三次变换依次是 “第 类变换、第 类变换、第 类变换 ”时 ,其中两次第 类变换相互抵消 ,相当于只对原数进行了一次第 类变换 .因此 ,对 2 的连续 2 007 次变换相当于对 2 连续进行 m 次第 类变换或第 类变换 ,而且只有在第一次和最后一次变换中才可能是第 类变换 .而对 2 连续 2 007 次变换 :“前 2 006 次为第 类变换、最后一次为第 类变换 ”时 ,a2008达到最大值 2008 2 0062 . 8、 线段
13、AM 内 . 设直线 AB 与 O 的另一交点为 D,不妨设点 B 在点 A 和 D 之间 .过点 D 作直线 AC 的垂线 DE,垂足为 E.则 ABAD=k(k 是一个不变的常数 ), ABC ADE, AB/AC=AD/AE,AB2/AC=ABAD/AE=k/AE. 当 AE 达到最大值 ,即点 B 的位置在线段 AM 内时 ,AB2/AC 的值达到最小 . 9、 50. 由已知 BAC=20, BCD=50,故 BC=BD, CBE=60, ABE=20. 在 CE 上取一点 F 使 CBF=20,则 EBF=40,BF=FE, DBF=60, BFC=80,BC=BF. 由式 、 得
14、 BD=BF,知 BDF 是正三角形 .于是 ,BF=DF. 由式 、 得 DF=FE,知 DFE 是等腰三角形 . 又 BFD=60,知 DFE=40.从而 , FED=70, ADE=50. 10、 1 351 373 940. 将 1,2,2 008 分成 1 004 组 : 1,2 008,2,2 007,1 004,1 005. 由题设 ,各组中恰取出一个数 .将 2,4,2 008 中的 1 004,1 006,1 008,1 010 分别换成同一组的 1 005,1003,1001,999,其余各数不变 ,就是所选出的符合题目要求的 1 004 个数 . 2+4+ +2 008 (1 004+1 006+1 008+1 010)+(1 005+1 003+1 001+999) =1 009 020 ( 1+3+7+11)=1 009 000, 22+42+ +2 0082 (1 0042+1 0062+1 0082+1 0102)+(1 0052+1 0032+1 0012+9992) =4(12+22+ +1 0042) 2 009( 1+3+7+11) =2/31 0041 0052 009 2 00920 =2 0083352 009 40 180=1 351 373 940. 答案与选法无关 .
