1、第 七 章 气体动理论 7 1 处于平衡状态的一瓶氦气和一瓶氮气的分子数密度相同，分子的平均平动动能也相同，则它们 ( ) (A) 温度，压强均不相同 (B) 温度相同，但氦气压强大于氮气的压强 (C) 温度，压强都相同 (D) 温度相同，但氦气压强小于氮气的压强 分析与解 理想气体分子的平均平动动能 23k /kT ，仅与温度有关因此当氦气和氮气的平均平动动能相同时，温度也相同又由物态方程，当两者分子数密度 n 相同时，它们压强也相同故选 (C) 7 2 三个容器 A、 B、 C 中装有同种理想气体，其分子数密度 n相同，方均根速率之比 4:2:1: 2/12C2/12B2/12A vvv
2、，则其压强之比CBA : ppp 为 ( ) (A) 1 2 4 (B) 1 4 8 (C) 1 4 16 (D) 4 2 1 分析与解 分子的方均根速率为 MRT /32v ，因此对同种理想气体有 3212C2B2A : TTTvvv ，又由物态方程nkT ，当三个容器中分子数密度 n 相同时，得 16:4:1: 321321 TTTppp .故选 (C) 7 3 在一个体积不变的容器中，储有一定量的某种理想气体，温度为 0T 时，气体分子的平均速率为 0v ，分子平均碰撞次数为 0Z ，平均自由程为0 ，当气体温度升高为 04T 时，气体分子的平均速率 v 、平均碰撞频率 Z 和平均自由程
3、 分别为 ( ) (A) 00 4,4,4 ZZ 0vv (B) 0022 , ZZ0vv (C) 00 422 , ZZ0vv (D) 00 ,2, ZZvv 分析与解 理想气体分子的平均速率 MRT /8v ，温度由 0T 升至 04T ，则平均速率变为 0v2 ；又平均碰撞频率 vndZ 22 ，由于容器体积不变，即分子数密度 n 不变，则平均碰撞频率变为 0Z2 ；而平均自由程nd22 1， n 不变，则 也不变因此正确答案为 (B) 7 4 图示两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子的速率分布曲线 .如果2OP)(v和2HP)(v分别表示氧气和氢气的最概然速率，则 ( ) (A)
4、 图中 a 表示氧气分子的速率分布曲线且 4)( )( 22HP OP vv(B) 图中 a 表示氧气分子的速率分布曲线且41)( )( 22HP OP vv(C) 图中 b 表示氧气分子的速率分布曲线且41)( )( 22HP OP vv(D) 图中 b 表示氧气分子的速率分布曲线且 4)( )( 22HP OP vvnkTp分析与解 由MRTv 2P 可知，在相同温度下，由于不同气体的摩尔质量不同，它们的最概然速率 Pv 也就不同 .因22 OH MM ，故氧气比氢气的 Pv 要小，由此可判定图中曲线 a 应是对应于氧气分子的速率分布曲线 .又因16122OH MM，所以 22HPOP)(
5、 )(vv 4122OH MM .故选 (B) 题 7-4 图 7 5 有一个体积为 35 m1001 . 的空气泡由水面下 m050. 深的湖底处 (温度为 C0.4 o )升到湖面上来若湖面的温度为 C017o. ，求气泡到达湖面的体积 (取大气压强为 Pa100131 50 .p ) 分析 将气泡看成是一定量的理想气体，它位于湖底和上升至湖面代表两个不同的平衡状态利用理想气体物态方程即可求解本题位于湖底时，气泡内的压强可用公式 ghpp 0 求出， 其中 为水的密度 ( 常取 33 mkg100.1 ) 解 设气泡在湖底和湖面的状态参量分别为 (p1 ， V1 ， T1 )和 (p2 ,
6、V2 ， T2 )由分析知湖底处压强为 ghpghpp 021 ，利用理想气体的物态方程 222111 TVpTVp 可得空气泡到达湖面的体积为 3510120121212 m1011.6 Tp VTghpTp VTpV 7 6 一容器内储有氧气，其压强为 Pa10011 5. ，温度为 27 ，求： (1)气体分子的数密度； (2) 氧气的密度； (3) 分子的平均平动动能； (4) 分子间的平均距离 (设分子间均匀等距排列 ) 分析 在题中压强和温度的条件下，氧气可视为理想气体因此，可由理想气体的物态方程、密度的定义以及分子的平均平动动能与温度的关系等求解又因可将分子看成是均匀等距排列的，
7、故每个分子占有的体积为 30 dV ，由数密度的含意可知 nV /10 ， d 即可求出 解 (1) 单位体积分子数 325 m1044.2 kTpn (2) 氧气的密度 3-mkg30.1/ RTpMVm (3) 氧气分子的平均平动动能 J1021623 21k ./kT (4) 氧气分子的平均距离 m104531 93 ./ nd 通过对本题的求解，我们可以对通常状态下理想气体的分子数密度、平均平动动能、分子间平均距离等物理量的数量级有所了解 7 7 2.010-2 kg 氢气装在 4.010-3 m3 的容器内，当容器内的压强为 3.90105 Pa时，氢气分子的平均平动动能为多大？ 分
8、析 理想气体的温度是由分子的平均平动动能决定的，即 23k /kT 因此，根据题中给出的条件，通过物态方程 pV Mm RT，求出容器内氢气的温度即可得 k 解 由分析知氢气的温度 mRMpVT ，则氢气分子的平均平动动能为 J1089.32323 22k Rmp V M kkT 7 8 某些恒星的温度可达到约 1.0 108K，这是发生聚变反应 (也称热核反应 )所需的温度 .通常在此温度下恒星可视为由质子组成 .求： (1) 质子的平均动能是多少？ (2) 质子的方均根速率为多大？ 分析 将组成恒星的大量质子视为理想气体，质子可作为质点，其自由度 i 3，因此，质子的平均动能就等于平均平动
9、动能 .此外，由平均平动动能与温度的关系 2/32/2 kTm v ，可得方均根速率 2v . 解 (1) 由分析可得质子的平均动能为 J1007.22/32/ 152k kTm v (2) 质子的方均根速率为 1-62 sm1058.13 mkTv 7 9 日冕的温度为 2.0 106K，所喷出的电子气可视为理想气体 .试求其中电子的方均根速率和热运动平均动能 . 解 方均根速率 16e2 sm105.93 mkTv 平均动能 J101423 17k ./kT 7 10 在容积为 2.0 10-3 m3 的容器中，有内能为 6.75 102J的刚性双原子分子某理想气体 .(1) 求气体的压强
10、； (2) 设分子总数为 5.41022个，求分子的平均平动动能及气体的温度 . 分析 (1) 一定量理想气体的内能 RTiMmE 2 ，对刚性双原子分子而言， i 5.由上述内能公式和理想气体物态方程 pV RT 可解出气体的压强 .(2)求得压强后，再依据题给数据可求得分子数密度，则由公式 p nkT 可求气体温度 .气体分子的平均平动动能可由 23k /kT 求出 . 解 (1) 由 RTiE 2 和 pV RT 可得气体压强 Pa1035.12 5 iVEp (2) 分子数密度 n N/V，则该气体的温度 K1062.3/ 2 nkpVnkpT 气体分子的平均平动动能为 J104972
11、3 21k ./kT 7 11 当 温度 为 0 C 时，可将气体分子视为刚性分子，求在此温度下：（ 1）氧分子的平均动能和平均转动动能；（ 2） kg100.4 3 氧气的内能；（ 3） kg100.4 3 氦气的内能 . 分析 （ 1）由题意，氧分子为刚性双原子分子，则其共有 5个自由度，其中包括 3个平动自由度和 2个转动自由度 .根据能量均分定理，平均平动动能kT23kt ，平均转动动能 kTkT 22kr .（ 2）对一定量理想气体，其内能为 RTiMmE 2 ，它是温度的单值函数 .其中 i为分子自由度，这里氧气 i=5 、氦气 i=3. 而 m 为气体质量， M 为气体摩尔 质量
12、，其中氧 气 13 m o lkg1032 M ；氦气13 m o lkg100.4 M .代入数据即可求解它们的内能 . 解 根据分析当气体温度为 T=273 K时，可得 （ 1）氧分子的平均平动动能为 J107.523 21kt kT 氧分子的平均转动动能为 J108.322 21kr kT（ 2）氧气的内能为 J10 7 . 1J2 7 331.8251032 100.42 233 RTiMmE （ 3）氦气的内能为 J10 3 . 4J2 7 331.823100.4 100.42 333 RTiMmE 7 12 已知质点离开地球引力作用所需的逃逸速率为 grv 2 ，其中 r为地球半
13、径 .(1) 若使氢气分子和氧气分子的平均速率分别与逃逸速率相等，它们各自应有多高的温度； (2) 说明大气层中为什么氢气比氧气要少 .(取 r 6.40 106 m) 分析 气体分子热运动的平均速率MRT8v，对于摩尔质量 M 不同的气体分子，为使 v 等于逃逸速率 v，所需的温度是不同的；如果环境温度相同，则摩尔质量 M 较小的就容易达到逃逸速率 . 解 (1) 由题意逃逸速率 gr2v ，而分子热运动的平均速率MRT8v.当 vv 时，有 RMrgT 4 由于氢气的摩尔质量 13H m o lkg10022 .M，氧气的摩尔质量 12O m o lkg10232 .M，则它们达到逃逸速率
14、时所需的温度分别为 K10891K,10181 5O4H 22 . TT (2) 根据上述分析，当温度相同时，氢气的平均速率比氧气的要大 (约为 4倍 )，因此达到逃逸速率的氢气分子比氧气分子多 .按大爆炸理论，宇宙在形成过程中经历了一个极高温过程 .在地球形成的初期，虽然温度已大大降低，但温度值还是很高 .因而，在气体分子产生过程中就开始有分子逃逸地球，其中氢气分子比氧气分子更易逃逸 .另外，虽然目前的大气层温度不可能达到上述计算结果中逃逸速率所需的温度，但由麦克斯韦分子速率分布曲线可知，在任一温度下，总有一些气体分子的运动速率大于逃逸速率 .从分布曲线也可知道在相同温度下氢气分子能达到逃逸
15、速率的可能性大于氧气分子 .故大气层中氢气比氧气要少 . 7 13 容积为 1 m3 的容器储有 1 mol 氧气，以 v 10 -1sm 的速度运动，设容器突然停止，其中氧气的 80的机械运动动能转化为气体分子热运动动能 .试求气体的温度及压强各升高了多少 . 分析 容器作匀速直线运动时，容器内分子除了相对容器作杂乱无章的热运动外，还和容器一起作定向运动 .其定向运动动能 (即机械能 )为 221mv .按照题意，当容器突然停止后， 80定向运动动能转为系统的内能 .对一定量理想气体内能是温度的单值函数，则有关系式： TRMmvmE 25%8021 2 成立，从而可求 T.再利用理想气体物态
16、方程，可求压强的增量 . 解 由分析知 TRMmmE 2528.0 2 v ，其中 m 为容器内氧气质量 .又氧气的摩尔质量为 12 m o lkg1023 .M ，解得 T 6.16 10-2 K 当容器体积不变时，由 pV Mm RT 得 Pa51.0 TVRMmp 7 14 有 N个质量均为 m的同种气体分子，它们的速率分布如图所示 .(1) 说明曲线与横坐标所包围的面积的含义； (2) 由 N和 0v 求 a 值； (3) 求在速率0v /2到 3 0v /2 间隔内的分子数； (4) 求分子的平均平动动能 . 题 7-14 图 分析 处理与气体分子速率分布曲线有关的问题时，关键要理解
17、分布函数 vf 的物理意义 . ddNNf v ，题中纵坐标 vv d/dNNf ，即处于速率 v 附近单位速率区间内的分子数 .同时要掌握 vf 的归一化条件，即 1d0 vvf.在此基础上，根据分布函数并运用数学方法 (如函数求平均值或极值等 )，即可求解本题 . 解 (1) 由于分子所允许的速率在 0 到 2 0v 的范围内，由归一化条件可知图中曲线下的面积 NNfS v vv d020 即曲线下面积表示系统分子总数 N. (2 ) 从图中可知 ， 在 0 到 0v 区间内， 0/ vvv aNf ；而在 0 到 2 0v 区间， Nf v .则利用归一化条件有 vvvvv 000 20
18、 0 dd vv aaN (3) 速率在 0v /2到 3 0v /2间隔内的分子数为 12/7dd 2/30 0 000 NaaN vvv vvv v (4) 分子速率平方的平均值按定义为 vvfvvv d/d 0 20 22 NN 故分子的平均平动动能为 202 20302k 3631dd2121 000 vvvvvvv vvv mNaN amm 7 15 一 飞机在地面时，机舱中的压力计指示为 Pa10011 5. ，到高空后压强降为 Pa10118 4. .设大气的温度均为 27.0 .问此时飞机距地面的高度为多少？ (设空气的摩尔质量为 2.89 10 2 kgmol 1 ) 分析
19、当温度不变时，大气压强随高度的变化主要是因为分子数密度的改变而造成 .气体分子在重力场中的分布满足玻耳兹曼分布 .利用地球表面附近气压公式 kTm ghpp /e x p0 ，即可求得飞机的高度 h.式中 p0 是地面的大气压强 . 解 飞机高度为 m1093.1/ln/ln 300 ppMgRTppmgkTh 7 16 目前实验室获得的极限真空约为 1.3310 11Pa，这与距地球表面 1.0104km 处的压强大致相等 .而电视机显像管的真空度为 1.3310 3 Pa，试求在 27 时这两种不同压强下单位体积中的分子数及分子的平均自由程 .(设气体分子的有效直径 d 3.010 8cm
20、) 解 理想气体分子数密度和平均自由程分别为 n kTp ； pdkT 22 ，压强为 1.3310 11Pa时， -39 m1021.3/ kTpn m108.72 82 pdkT 从 的值可见分子几乎不发生碰撞 .压强为 1.3310 3 Pa 时， 3-17 m1021.3 kTpn ， m8.72 2 pdkT 此时分子的平均自由程变小，碰撞 概率 变大 .但相对显像管的尺寸而言，碰撞仍很少发生 . 7 17 在标准状况下， 1 cm3 中有多少个氮分子 ？氮分子的平均速率为多大？平均碰撞次数为多少 ?平均自由程为多大？（已知氮分子的有效直径m1076.3 10d ） 分析 标准状况即
21、为压强 Pa10013.1 5p ，温度 K273T .则由理想气体物态方程 nkTp 可求得气体分子数密度 n，即单位体积中氮分子的个数 .而氮气分子的平均速率、平均碰撞次数和平均自由程可分别由公式MRTv 8， nvdZ 22 和nd22 1直接求出 . 解 由分析可知，氮分子的分子数密度为 325 m1069.2 kTpn 即 3cm1 中约有 191069.2 个 . 氮气的摩尔质量为 M=28 10 3 kgmol 1，其平均速率为 MRTv 8=454 1sm 则平均碰撞次数为 -192 s107.72 nvdZ 平均自由程为 m1062 1 82 nd 讨论 本题主要是对有关数量
22、级有一个具体概念 .在通常情况下，气体分子平均以每秒几百米的速率运动着，那么气体中进行的一切实际过程如扩散过程、热传导过程等好像都应在瞬间完成，而实际过程都进行得比较慢，这是因为分子间每秒钟上亿次的碰撞导致分子的自由程只有几十纳米，因此宏观上任何实际过程的完成都需要一段时间 . 7 18 在一定的压强下，温度为 20 时，氩气和氮气分子的平均自由程分别为 9.910 8m 和 27.510 8m.试求： (1) 氩气和氮气分子的有效直径之比；(2) 当温度不变且压强为原值的一半时，氮气分子的平均自由程和平均碰撞频率 . 分析 ( 1 ) 气体分子热运动的平均自由程 pdkTnd 22 2/2 1 ，因此，温度、压强一定时，平均自由程 2/1 d .(2) 当温度不变时，平均自由程 p /1 . 解 (1) 由分析可知 67.1/ r22r ANNA dd (2) 由分析可知氮气分子的平均自由程在压强降为原值的一半时，有 m105.52 7NN 22 而此时的分子平均碰撞频率 22222 NNNNN 2 /8 MRTZ v 将 T 293K， MN2 2.810 2 kgmol 1 代入，可得 -18N s1056.82 Z
