1、考生请注意： 1 本试题共 6 题，共 2 页，考生请认真检查； 2 答题时，直接将答题内容写在我校提供的答题纸上；答在试卷上一律无效； 3 本试题不得拆开，拆开后遗失后果自负。 一、 简述题 （本题共 20 分，每小题 5 分） 1自由振动 、 强迫振动 自由振动：系统受到初始激励作用后，仅靠其本身的弹性恢复力 “自由地 ”振动， 其振动特性仅取决于系统本身的物理特性（质量和刚度）。 强迫振动：系统受到外界持续的激励作用而 “被动地 ”进行振动，其振动特性除 取决于系统本身的特性外，还取决于激励的特性。 2广义坐标 、 振型函数 广义坐标：是一种坐标形式，它是有几组互相正交的模态组成，任何变
2、量都可由这几组模态的唯一线性组合而成。 振型函数：是一种函数形式，描述振型在几维空间中的振幅值的表现。 3稳态响应 、 瞬态响应 稳态响应：当系统在外力作用下，经过一段时间后，系统振动趋于稳定时的响应。 瞬态响应：当系统在外力作用下，在系统振动趋于稳定之前的响应。 瞬态响应发生在稳态响应之前，他们组合构成完整的外力作用时的振动响应。 4 哈密顿原理 具有完整约束的动力学系统，在满足协调性条件、约束条件或边界条件，同时满足起始t1 时刻与结束 t2 时刻条件的可能的位移随时间变化的形式中，真实解对应的那种变化形式使Lagrange 泛函 L 取最小值，即 21 (T V W ) 0tt dt -
3、 + =式中： T为系统的动能， V 为系统的势能， W 为外力所作虚功。 二质量均为 m的两个球，系于具有很大张力 T的弦上，如图所示，求系统的固有频率。 （本题 10 分） 解： 由于弦的张力 T很大，两个球只能在竖向发生微幅振动。（ 1 分） 如下图所示，两个球在外力 1()Ft和 2()Ft作用下发生竖向微幅振动，位移分别为 1x 和2x 。 对两个球，分别作受力分析： 外荷载； 惯性力； 张力分力。（ 3 分） 运用达朗贝尔原理，分别列出 两个球的竖向运动方程： 1 2 111 ()x x xm x T T F tLL 2 2 122 ()x x xm x T T F tLL （ 5
4、 分） 写成矩阵形式： 1 1 12 2 22()00 2 ( )TTx x F tm LLm x T T x F tLL 得频率方程： 222202TTmLLKMTT mLL （ 7 分） 解得： 1 TmL ；2 3TmL （ 10 分） m m l l l m m F1(t) F2(t) x1 x2 T T T T 三图示简支梁， 梁长为 4l， 在四等分处有 3 个质量 m1=m2=m3=m， 梁 的抗弯刚 度为 EI， 忽略梁自身的质量，要求：（ 1）写出系统振动方程；（ 2） 求系统的各阶固 有频率； （ 3）画出相应的主振型。 （本题 20 分） 解： （ 1） 由柔度法建立 系
5、统 振动方程 ： 0禳禳镲镲+=睚睚镲镲铪铪112233yyy M yyy质量矩阵为： 123000000mMmm轾犏犏= 犏犏臌求柔度系数 ，由对称性 ： 311 33 912lEI=； 32 1 1 2 2 3 3 2 1112 lEI = = = =331 13 712lEI=； 322 1612lEI =柔度矩 阵为 3 9 1 1 71 1 1 6 1 112 7 1 1 9lEI轾犏犏= 犏犏臌因此，系统振动方程为： 1323009 1 1 71 1 1 6 1 1 0 0127 1 1 9 000mlmEIm禳 轾 禳轾镲镲 犏犏犏犏+=睚睚 犏犏犏犏臌铪 臌 铪112233yy
6、 或者： 3 9 1 1 71 1 1 6 1 112 7 1 1 9 0mlEI禳禳轾镲镲犏犏+=睚睚犏犏臌铪铪112233yy （ 2） 求频率： 由频率方程： 0 IM 代入柔度矩阵、质量，得 1 30.61625 EIml =； 2 32.45EIml =； 3 35.2EIml =m1 m2 l l EI m3 l l （ 3） 求振型： 将上述 频率代入振型方程 0 iiIM )( ，并进行正则化处理，可得： 1 1 1. 41 1 T = ； 2 1 0 1T =-； 3 1 1. 41 1T =- 振型图 四 图示简支梁，梁长为 l， 刚度 EI，梁体 自身 质量忽略不计，在
7、梁体 l /3 和 2l/3 处作用质 点 m1 和 m2，且 m1=m2=m， 现在 质点 m2 上作用一个突然施加荷载 FP(t)， 试求：质点 m1 和 m2 的强迫振动响应。 （本题 20 分） 解： 1）求自振频率 wj 和对应的振型 jj ： 求柔度系数 EIl2434 32211 ； EIl4867 32112 代入频率方程 0 IM ，得： 01112 1211 mm mm 进而求得： EImlm 48615 312111 )( ； EImlm 4 8 6 312112 )( 因此： EIl/3m 1 m 2F ( )tPl/3 l/31 23311 695154 8 61 m
8、lEImlEI .； 3332 05224 8 61 mlEIml EI .再求振型： 将上述频率代入振型方程 0 iiIM )( ，简化得： ),( 211122221212121111 immmmi 求得： 111； 1122）计算广义质量和广义荷载： mmmMM T 2110 011111 * mmmMM T 2110 011222 * 0011011 FtFtFtF T )()()(* 0022011 FtFtFtF T )()()(* 3）由 Duhamel 积分求解出每个广义坐标 hj(t)的响应： ),( d)(s i n)()( * 210 jtMFt t jjjjj )c o
9、 s(d)(s i n)( tmFtmFt t 12100 1101 122 )c o s(d)(s i n)( tmFtm Ft t 12100 2202 122 4）由振型迭加求出体系的位移响应向量： )()()()( 22112 1 ttttY i ii 1111 21 )()( tt )()( )()( tt tt 21 21 )c o s()c o s()()( tmFtmFtty 22201210211 1212 )c o s()c o s()()( tmFtmFtty 22201210212 1212 五 如图所示 简支梁， 忽略梁横向剪切变形的影响和阻尼的作用， 其弯曲固有振动
10、方程为 44( , )( ) ( ) ( , ) 0y x tE I x m x y x tx +=采用变量分离法，设 ( , ) ( ) ( )y x t x q t= ，这里： ()x 为振型函数， ()qt 为广义坐标， 要求： (1) 推导 振型函数 ()x 的表达式； (2) 根据边界条件 ， 推导其固有振动的频率方程； (3) 求前 3 阶频率 值 ， 画出前 3 阶振型图 ； (4) 写出简支梁固有振动的一般解 。 （本题 20 分） 解： (1) 推导 振型函数 ()x 的表达式； 采用变量分离法，设 ( , ) ( ) ( )y x t x q t= ， 代入梁的弯曲振动方程
11、，则有： 44() ( ) ( ) ( ) 0d d xE I q t m q t xx +=或写成： ( 4 ) ( ) ( ) 0( ) ( )x m q tx E I q t +=因为上式的第一项仅是 x 的函数，第二项仅是 t 的函数，所以只有每一项都等于一个常数时，对于任意的 x 和 t，上式才能满足，即 ( 4 ) ( ) ( )( ) ( )x m q tCx E I q t = = -由振动力学可知， C 是个正实数，即令 4C= ，上式可写成： 4 442() ( ) 0( ) ( ) 0ddx xxq t q t -=+= 这里： 24 mEI = 由上式的第二式，得方程的
12、解为： 12( ) c o s s i n s i n ( )q t C t C t A t = + = + 令 () rxx Be = ， 代入第一式，有 44( ) 0rxr a Be-= 可得： 1 , 2 3 , 4, r a r ia= ? ? 把上述四个根代入式 () rxx Be = ，得振型函数： 1 2 3 4( ) s i n c o s s i n h c o s hx A a x A a x A a x A a x = + + + l EI(x)=EI, m(x)=m x y o （ 2） 推导其固有振动的频率方程 ： 1 2 3 4( ) s i n c o s s
13、i n h c o s hx A x A x A x A x = + + + 1 2 3 4( ) ( c o s s i n c o s h s i n h )x A x A x A x A x = - + + 2 1 2 3 4( ) ( s i n c o s s i n h c o s h )x A x A x A x A x = - - + + 边界条件为： 2424( 0) 0 , 0( 0) 0 , 0 AAAA = + = = - + =即即 得： 240AA= 由： 1313( ) 0 , si n si nh 0( ) 0 , si n si nh 0 l A l A ll
14、 A l A al = + = = - + =即即 两式相加，有 32 sinh 0Al = ，有： 3 0A= 两式相减，有 12 sin 0Al = 由于 A1 不能再为零，即得频率方程 sin 0l = （ 3） 求前 3 阶频率值， 画出前 3 阶振型图 ： 解上述频率方程，得： nal n= 即得梁振动的固有频率为 2()n n EIlm = ; ) ,3 ,2 ,1( n 相应地，振型函数为 1( ) sinn nxxA l =) ,3 ,2 ,1( n （ 4） 简支梁固有振动的一般解： 固有振动方程的一般解为各振型的线性叠加，则得 ( , ) s i n s i n ( )n n nn nxy x t C tl =+ 六 如图所示悬臂梁 ， 设一阶振型函数 为 ( ) 1 cos 2 xx L =- ，请用 瑞 利 法 计算的一阶固有频率。（本题 10 分） 梁的刚度为 EI，质量为 m，瑞 利 公式为： llxxxmxxxEI0 20 221 d)()(d)()(解： 最大动能和势能分别为： 4230 () 32L EIK E I x d x L* 轾 =臌 20 ( ) 0 . 2 2 8LM m x d x m L* = 由 瑞利公式 得 1 43 .6 5 3 8EImL =
