立体几何训练题.doc

1、1OD1B1C1DA CBA12013 年全国各地高考文科数学试题分类汇编 7：立体几何三、解答题1. （2013 年高考辽宁卷（文） ）如图, .ABOPAOCO是 圆 的 直 径 ， 垂 直 圆 所 在 的 平 面 ， 是 圆 上 的 点(I)求证: C平 面 ；(II)设 /.QGQGPB为 的 中 点 ， 为 的 重 心 ， 求 证 ： 平 面2. （2013 年高考浙江卷（文） ）如图,在在四棱锥 P-ABCD 中,PA面 ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA= ,ABC=120,G 为线段 PC 上的点.7 3()证明:BD面 PAC ; ()若 G 是 PC 的中点,求

2、DG 与 APC 所成的角的正切值;()若 G 满足 PC面 BGD,求 的值.PGGC3. （2013 年高考陕西卷（文） ）如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O平面 ABCD, 12AB. () 证明: A 1BD / 平面 CD1B1; () 求三棱柱 ABD-A1B1D1的体积. P面2图 4GEFAB CD4. （2013 年高考广东卷（文） ）如图 4,在边长为 1 的等边三角形 中, 分别是ABCDE边上的点, , 是 的中点, 与 交于点 ,将 沿ABCADEFBCFF折起,得到如图 5 所示的三棱锥 ,其中 .F2

3、(1) 证明: /平面 ;(2) 证明: 平面 ;CABF(3) 当 时,求三棱锥 的体积 .23DDEGFDEGV5. （2013 年高考湖南（文） ）如图 2.在直菱柱 ABC-A1B1C1中,BAC=90,AB=AC= ,AA1=3,D2是 BC 的中点,点 E 在菱 BB1上运动.(I) 证明:ADC 1E;(II) 当异面直线 AC,C1E 所成的角为 60时,求三棱锥 C1-A2B1E 的体积.6. （2013 年高考北京卷（文） ）如图,在四棱锥 中, , ,PABCD/ABD,平面 底面 , , 和 分别是 和 的中点,2CDABPEFPC求证:(1) 底面 ;(2) 平面 ;

4、(3)平面 平面/BE3C1B1AA1BC7. （2013 年高考课标卷（文） ）如图,三棱柱 中, ,1ABCAB, .1AB160()证明: ;AC()若 , ,求三棱柱 的体积.2B1 1ABC8. （2013 年高考山东卷（文） ）如图,四棱锥 PABCD中, ,P, ,2ABCD,EFGMN分别为 ,PBAC的中点()求证: 平 面 ;()求证: EFGMN平 面 平 面【答案】9. （2013 年高考四川卷（文） ）如图,在三棱柱 中,侧棱 底面 , ,1ABC1ABC12A,120分别是线段 的中点, 是线段 上异于端点的点.,D1PD()在平面 内,试作出过点 与平面 平行的直

5、线 ,说明理由,并证明直线1l平面 ;l1A()设()中的直线 交 于点 ,求三棱锥 的体积.lCQ1AC(锥体体积公式: ,其中 为底面面积, 为高)3VShh10. （2013 年高考课标卷（文 ） ）如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1中,D,E分别是 AB,BB1的中点.(1) 证明: BC 1/平面 A1CD;(2) 设 AA1= AC=CB=2,AB=2 ,求三棱锥 C 一 A1DE 的体积.211. （2013 年高考大纲卷（文） ）如图,四棱锥 P-ABCD 中，ABC=BAD=90 0，BC=2AD，4PAB 与PAD都是边长为 2 的等边三角形.(I)证明:PBCD； (I

6、I)求点 A 到平面 PCD 的距离. 12. （2013 年高考安徽（文） ）如图,四棱锥 的底面 是PABCD边长为 2 的菱形, .已知 .60BAD2,6()证明: PC()若 为 的中点,求三菱锥 的体积.EE13. （2013 年高考天津卷（文） ）如图, 三棱柱 ABC-A1B1C1中, 侧棱 A1A底面 ABC,且各棱长均相等. D, E, F 分别为棱AB, BC, A1C1的中点. () 证明 EF/平面 A1CD; () 证明平面 A1CD平面 A1ABB1; () 求直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值. 【答案】14. （2013 年高考重庆卷（文） ）(本小

7、题满分 12分,()小问 5 分,()小问 7 分)5如题(19)图,四棱锥 中, 底面 , , ,PABCDABCD23P2BCD.zhangwlx3ACB()求证: 平面 ;()若侧棱 上的点 满足 ,求三棱锥 的体积.F7F15. （2013 年高考江西卷（文） ）如图,直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中,AB/CD,ADAB,AB=2,AD= ,AA1=3,E 为 CD 上一点,DE=1,EC=32(1) 证明:BE平面 BB1C1C;(2) 求点 B1 到平面 EA1C1 的距离1 （2013 年高考辽宁卷（文） ）如图, .ABOPAOCO是 圆 的 直 径 ， 垂 直 圆 所

8、 在 的 平 面 ， 是 圆 上 的 点6(I)求证: BCPA平 面 ；(II)设 /.QGOCQGPBC为 的 中 点 ， 为 的 重 心 ， 求 证 ： 平 面【答案】2 （2013 年高考浙江卷（文） ）如图,在在四棱锥 P-ABCD 中,PA面 ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA= ,ABC=120,G 为线段 PC 上的点.7 3()证明:BD面 PAC ; ()若 G 是 PC 的中点,求 DG 与 APC 所成的角的正切值;()若 G 满足 PC面 BGD,求 的值.PGGC7【答案】解:证明:()由已知得三角形 是等腰三角形,且底角等于 30,且ABC,所6030A

9、BCDDDBAC 且以;、 ,又因为 ; PABPC()设 ,由(1)知 ,连接 ,所以 与面 所ACBOGOAPC成的角是 ,由已知及(1)知:DG, 1,3732,所以 与面4tan312DPD所成的角的正切值是 ; AC43()由已知得到: ,因为2125PAC,在 中,BGDD,设 37107223235(15)15, 2PGxCxxPGC8OD1B1C1DACBA1图 4GEFAB CD图 5DGBF CAE3 （2013 年高考陕西卷（文） ）如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O平面 ABCD, 12AB. () 证明:

10、 A 1BD / 平面 CD1B1; () 求三棱柱 ABD-A1B1D1的体积. 【答案】解: () 设 1O线 段 的 中 点 为 . 111 /BCAB的 对 应 棱是和.的 对 应 线 段是 棱 柱和同 理 ， 11O为 平 行 四 边 形四 边 形且且 111/ COA111111 /,./ BDADBCC面面且 .(证毕) () 的 高是 三 棱 柱面 ABO1. 在正方形 AB CD 中,AO = 1 . .1ORT中 ，在 1)2(11 ASVDABDADB的 体 积三 棱 柱. 所以, 1B的 体 积三 棱 柱 . 4 （2013 年高考广东卷（文） ）如图 4,在边长为 1

11、 的等边三角形 中, 分别是CDE边上的点, , 是 的中点, 与 交于点 ,将 沿ACAEFBCAFBF折起,得到如图 5 所示的三棱锥 ,其中 .F2(1) 证明: /平面 ;D(2) 证明: 平面 ;CABF(3) 当 时,求三棱锥 的体积 .23DEGFDEGV【答案】(1)在等边三角形 中, CA,在折叠后的三棱锥 中 ADEBCB也成立, , 平面 , /F平面 , 平面 ; F/(2)在等边三角形 中, 是 的中点,所以 ,CABC9C1B1AA1BC. 12BFC在三棱锥 中, , AF2BC22BFCBF; BCA平 面(3)由(1)可知 ,结合(2)可得 . /GEGED平

12、 面1131323224FDFVDF 6 （2013 年高考北京卷（文） ）如图,在四棱锥 中, , ,PABC/ABD,平面 底面 , , 和 分别是 和 的中点,2CABPDEFPC求证:(1) 底面 ;(2) 平面 ;(3)平面 平面D/BE【答案】(I)因为平面 PAD平面 ABCD,且 PA 垂直于这个平面的交线 AD 所以 PA 垂直底面 ABCD. (II)因为 ABCD,CD=2AB,E 为 CD 的中点 所以 ABDE,且 AB=DE 所以 ABED 为平行四边形, 所以 BEAD,又因为 BE 平面 PAD,AD 平面 PAD 所以 BE平面 PAD. (III)因为 AB

13、AD,而且 ABED 为平行四边形 所以 BECD,ADCD,由(I)知 PA底面 ABCD, 所以 PACD,所以 CD平面 PAD 来源:学科网所以 CDPD,因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点 所以 PDEF,所以 CDEF,所以 CD平面 BEF,所以平面 BEF平面 PCD. 7.（2013 年高考课标卷（文） ）如图,三棱柱 中, ,1ABCAB, .1AB160()证明: ;AC()若 , ,求三棱柱 的体积.2B1 1ABC【答案】 【答案】(I)取 AB 的中点 O,连接 、 、 ,O因为 CA=CB,所以 ,由于 AB=A A1,BA A 1=600,故 为等

14、边三角形,所以OC10OA AB. 1因为 OCOA =O,所以 AB 平面 OA C.又 A CC 平面 OA C,故 AB AC. 111(II)由题设知 12ABC与 都 是 边 长 为 的 等 边 三 角 形 ，1都 是 边 长 为 的 等 边 三 角 形 ， 所 以211113,6.OACOAC又 ， 则 ， 故11 1-=3.ABC ABCBS VSO 因 为 所 以 平 面 ， 为 棱 柱 的 高 ，又 的 面 积 ， 故 三 棱 柱 的 体 积10（2013 年高考课标卷（文 ） ）如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1中,D,E分别是 AB,BB1的中点.(1) 证明: BC 1/平面 A1CD;(2) 设 AA1= AC=CB=2,AB=2 ,求三棱锥 C 一 A1DE 的体积.2【答案】11 （2013 年高考大纲卷（文） ）如图,四棱锥 P-ABCD 中，ABC=BAD=90 0，BC=2AD，PAB 与PAD都是边长为 2 的等边三角形.(I)证明:PBCD； (II)求点 A 到平面 PCD 的距离.