1、- 1 -第一章 勾股定理检测题（本检测题满分：100 分，时间：90 分钟）一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1. 在 中， ， ， ，则该三角形为（ ）ABC AB=6 AC=8 BC=10A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形2.如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的 2 倍，那么斜边长扩大到原来的（ ）A.1 倍 B.2 倍 C.3 倍 D.4 倍3.下列说法中正确的是（ ）A.已知 是三角形的三边，则cba, 22cbaB.在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方C.在 Rt 中， ，所以 C=90 22D.在 Rt 中， ，所以 B=
2、90 cba4.如图，已知正方形 的面积为 144，正方形 的面积为 169 时，那么正方形 的面积为（ B ）A.313 B.144 C.169 D.255.如图，在 Rt 中， ， cm， cm，则其斜边上的高为（ ABC C=90 5 12）A.6 cm B.8.5 cm C. cm D. cm13601306.下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三内角之比为 B.三边长的平方之比为 123 123C.三边长之比为 D.三内角之比为345 3457.如图，在 中， ， ， ，点 在 上，且 ， C=90 =40=9 、 =，则 的长为（ ）= A BC第 4 题图ABCD
3、第 5 题图- 2 -A.6 B.7 C.8 D.9A8.如图，一圆柱高 8 cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点 爬到点 处吃食，要爬行的最6 短路程是（ ）A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm9.如果一个三角形的三边长 满足 ，则、 、 2+2+2+338=10+24+26这个三角形一定是（ ）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形10.在 中，三边长满足 ，则互余的一对角是（ ） 22cabA. 与 B. 与 C. 与 D. 、 、 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分）11.已知两条线段的长分别为 5 cm、12 cm，当第三条线段长为_
4、时，这三条线段可以构成一个直角三角形.12.在 中， cm， cm， 于点 ，则 _.=17 =16 =13.在 中，若三边长分别为 9、12、15，则以两个这样的三角形拼成的长方形的面积为_.14. 如图，在 Rt 中， ， 平分 ，交ABC A=90 BD ABC于点 ，且 ， ，则点 到 的距离是AC D AB=4 BD=5 D BC_.15.有一组勾股数，知道其中的两个数分别是 17 和 8，则第三个数是 .16. 若一个直角三角形的一条直角边长是 ，另一条7 直角边长比斜边 长短 ，则该直角三角形的斜边长为 _.1 M BCN第 7 题图A B C D 第 14 题图 - 3 -17
5、.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 7 cm，则正方形 的面积之和为_cm 2.， ， ， 18.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了_步路（假设 2 步为 1 m） ，却踩伤了花草.三、解答题（共 46 分）19.（6 分）若 三边长满足下列条件，判断 是不是直角三角形，若是，请说明 哪个角是直角.（1） ; 1,45,3ACBC（2） .)1(,2,122 - 4 -20.（6 分）在 中， ， ， 若 ，如图，根据勾股定= =b= 90C理，则 .若 不是直角三角形，如图和
6、图，请你类比勾股定理，试22abc猜想 与 的关系，并证明你的结论21.（6 分）若三角形的三个内角的比是 ，最短边长为 1，最长边长为 2.123求：（1）这个三角形各内角的度数；（2）另外一条边长的平方.22.（7 分）如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底A B C A B C A B C 第 20 题图 - 5 -部 8 m 处，已知旗杆原长 16 m，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？23.（7 分）观察下表：列举 猜想3，4，5 32=4+55，12，13 52=12+137，24，25 72=24+25 13， ， 132= +请你结合该表格及
7、相关知识，求出 的值.， 24.（7 分）如图，折叠长方形的一边 ，使点 落在 边上的点 处， cm， =10cm，求：（1） 的长；（2） 的长. =8 - 6 -25.（7 分）如图，长方体 中， ， ，一只蚂蚁从 点出发， =2 =3 沿长方体表面爬到 点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？- 7 -参考答案1. B 解析：在 中，由 ， ， ，可推出 .由勾股ABC AB=6 AC=8 BC=10 2+2=2定理的逆定理知此三角形是直角三角形，故选 B2.B 解析：设原直角三角形的三边长分别是 ，且 ，则扩大后的三角， ， 2+2=2形的斜边长为 ，即斜边长扩大到原来的 2 倍，故(2
8、)2+(2)2=4(2+2)=2选 B.3.C 解析：A.不确定三角形是不是直角三角形，故 A 选项错误；B.不确定第三边是否为斜边，故 B 选项错误；C. C=90，所以其对边为斜边，故 C 选项正确；D.B=90，所以 ，故 D 选项错误.2+2=24.D 解析：设三个正方形的边长依次为 ，由于三个正方形的三边组成一个直角， ， 三角形，所以 ，故 ，即 .2+2=2 += =169144=255.C 解析：由勾股定理可知 cm，再由三角形的面积公式，有=2+2=13，得 .21=21= 1360ABC6. D 解析：在 A 选项中，求出三角形的三个内角分别是 30，60，90；在 B，C
9、 选项中，都符合勾股定理的条件，所以 A，B，C 选项中都是直角三角形.在 D 选项中，求出三角形的三个角分别是 所以不是直角三角形，故选 D45， 60， 75，7.C 解析：因为 Rt 中， ，所以由勾股定理得 .因为=40， =9 =41， ，所以 .=9 =40 =+-=40+9-41=88.C 解析：如图为圆柱的侧面展开图， 为 的中点，则 就是蚂蚁 爬行的最短路径. ， =2=2=126=122=6 ， ，即蚂蚁要爬行的最短路程是 10 =8 =62+82=10cm9.B 解析：由 ，整理，得2+2+2+338=10+24+26，即2-10+25+2-24+144+2-26+169
10、 =0，所以 ，符合 ，所(-5)2+(-12)2+(-13)2=0 =5， =12， =13 2+2=2以这个三角形一定是直角三角形- 8 -10.B 解析：由 ，得 ，所以 是直角三角形，且 是斜边，所2-2=2 2=2+2 以B =90，从而互余的一对角是 与 . 11. cm 或 13 cm 解析：根据勾股定理，当 12 为直角边长时，第三条线段长为119；当 12 为斜边长时，第三条线段长为 52+122=13 122-52=11912.15 cm 解析：如图， 等腰三角形底边上的高、中线以及顶角的平分线三线合一， . ， .=21 =16 =16=821 ，=17 （cm ）=2-
11、2=172-82=1513.108 解析：因为 ，所以 是直角三角形，且两条直角边长分别 92+122=152 为 9、12，则以两个这样的三角形拼成的长方形的面积为.912=10814. 3 解析：如图，过点 作 于 .D DE BC点 E因为 ， ， ，所以 A=90 AB=4 BD=5.AD= 22=5242=3因为 平分 ， ，所以点 到 的距离 BD ABC A=90 D BC =AD=315.15 解析：设第三个数是 ，若 为最长边，则 ，不是整数， =82+172=353不符合题意； 若 17 为最长边，则 ，三边是整数，能构成勾股数，=172-82=15符合题意，故答案为：15
12、16. 解析：设直角三角形的斜边长是 ，则另一条直角边长是 根25 cm xcm （ x-1） cm据勾股定理，得 ，解得 ，则斜边长是 （ x-1） 2+72=x2 x=25 25 cm17.49 解析：正方形 A，B，C ，D 的面积之和是最大的正方形的面积，即 49 cm218.4 解析：在 RtABC 中， ，则 ，少走了2=2+2 =42+32=5A B C D 第 14 题答图 E- 9 -（步） 2（ 3+45） =419.解：（1）因为 ，2=2+2根据三边长满足的条件，可以判断 是直角三角形，其中 为直角. （2）因为 ，所以2=(21)2， 2=(2)2， 2=(2+1)2
13、，2+2=(21)2+(2)2=422+1+42=4+22+1= (2+1)2=2根据三边长满足的条件，可以判断 是直角三角形，其中 为直角. 20.解：如图，若 是锐角三角形，则有 .证明如下： 22abc过点 作 ，垂足为 ，设 为 ，则有 .在 RtACD 中， x= x根据勾股定理，得 AC2 CD2=AD2，即 b2 x2= AD2. 在 RtABD 中，根据勾股定理，得 AD2=AB2 BD2，即 AD2= c2 (a x)2，即 ，222bcax.abcax ， ， .0,022bc如图，若 是钝角三角形， 为钝角，则有 . 证明如下： C22abc过点 作 ，交 的延长线于点
14、. 设 为 ，在 RtBCD 中，根据勾股定理，得 ，在 RtABD 中，根据x 22BDx勾股定理，得 AD2+ BD2= AB2，即 2()bxac即 .2abxc ， ， .0,022c21.解：（1）因为三个内角的比是 ，- 10 -所以设三个内角的度数分别为 .， 2， 3由 ，得 ，+2+3=180=30所以三个内角的度数分别为 .30， 60， 90（2）由（1）知三角形为直角三角形，则一条直角边长为 1，斜边长为 2.设另外一条直角边长为 ，则 ，即 . 2+12=22 2=3所以另外一条边长的平方为 3.22.分析：旗杆折断的部分，未折断的部分和旗杆顶部离旗杆底部的部分构成了
15、直角三角形，运用勾股定理可将折断的位置求出解：设旗杆未折断部分的长为 m，则折断部分的长为 m， （ 16）根据勾股定理,得 ，2+82=（ 16） 2解得： m，即旗杆在离底部 6 m 处断裂=623.分析：根据已知条件可找出规律 ；根据此规律可求出 的132+2=2=（ +1） 2 ， 值解：由 3，4，5： ； 32=4+5， 32+42=52=（ 4+1） 25，12，13： ；52=12+13， 52+122=132=（ 12+1） 27，24，25： .72=24+25， 72+242=252=（ 24+1） 2故 ， ，132=+=+1 132+2=2=（ +1） 2解得 ， ，即 .=84+1=85 =8524.分析：（1）由于 翻折得到 ，所以 ，则在 Rt 中，可求得 = 的长，从而 的长可求；（2）由于 ，可设 的长为 ，在 Rt 中，利用勾股定理求解直角三角形= 即可解：（1）由题意,得 (cm)，=10在 Rt 中， ， (cm)， =8 =22=6 （cm ）=106=4（2）由题意, 得 ，设 的长为 ，则 .= =8在 Rt 中，由勾股定理,得 ， （ 8） 2+42=2解得 ，即 的长为 5 cm=5 25.分析：要求蚂蚁爬行的最短路程，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最
