1、 1 2007 年研究生入学考试数学 二 试题 一、选择题： 1 10 小题，每小题 4 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 . （ 1）当 0x 时，与 x 等价的无穷小量是 （ A） 1ex （ B） 1ln1 xx（ C） 11x （ D） 1 cos x （ 2）函数1(e e ) ta n()eexxxfxx在 , 上的第一类间断点是 x （ ） （ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 2 （ 3）如图，连续函数 ()y f x 在区间 3, 2 , 2,3 上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区
2、间 2,0 , 0,2 的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设0( ) ( )dxF x f t t，则下列结论正确的是： （ A） 3(3) ( 2)4FF (B) 5(3) (2)4FF （ C） 3(3) (2)4FF （ D） 5(3) ( 2)4FF （ 4）设函数 ()fx在 0x 处连续，下列命题错误的是： （ A）若0 ()limx fxx存在，则 (0) 0f （ B）若0 ( ) ( )limx f x f xx 存在，则 (0) 0f . （ B）若0 ()limx fxx存在，则 (0) 0f （ D）若0 ( ) ( )limx f x f xx 存在，则 (0)
3、 0f . （ 5） 曲线 1 ln 1 exy x 的渐近线的条数为 2 （ A） 0. （ B） 1. （ C） 2. （ D） 3. （ 6）设函数 ()fx在 (0, ) 上具有二阶导数，且 ( ) 0fx ，令 ()nu f n ，则下列结论正确的是： (A) 若 12uu ，则 nu 必收敛 . (B) 若 12uu ，则 nu 必发散 (C) 若 12uu ，则 nu 必收敛 . (D) 若 12uu ，则 nu 必发散 . （ 7）二元函数 ( , )f xy 在点 0,0 处可微的一个充要条件是 （ A） ( , ) 0 , 0lim ( , ) ( 0 , 0 ) 0xy
4、f x y f . （ B）00( , 0 ) (0 , 0 ) (0 , ) (0 , 0 )l i m 0 , l i m 0f x f f y fxy且. （ C） 22( , ) 0 , 0 ( , ) ( 0 , 0 )lim 0xy f x y fxy . （ D）00l i m ( , 0 ) (0 , 0 ) 0 , l i m (0 , ) (0 , 0 ) 0x x y yf x f f y f 且. （ 8）设函数 ( , )f xy 连续，则二次积分 1sin2 d ( , )dxx f x y y 等于 （ A） 10 a rc sind ( , )dyy f x y
5、 x （ B） 10 a rc sind ( , )dyy f x y x （ C） 1 a rc sin0 2d ( , )dyy f x y x （ D） 1 a rc sin0 2d ( , )dyy f x y x （ 9）设向量组 1 2 3, 线性无关，则下列向量组线性相关 的是 线性相关，则 (A) 1 2 2 3 3 1, (B) 1 2 2 3 3 1, (C) 1 2 2 3 3 12 , 2 , 2 . (D) 1 2 2 3 3 12 , 2 , 2 . （ 10） 设矩阵 2 1 1 1 0 01 2 1 , 0 1 01 1 2 0 0 0AB ，则 A 与 B (
6、A) 合同且相似 （ B）合同，但不相似 . (C) 不合同，但相似 . (D) 既不合同也不相似 二、填空题 ： 11 16 小题，每小题 4 分，共 24 分 . 把答案填在题中横线上 . （ 11） 30 arctan sinlimx xxx _. （ 12）曲线 2cos cos1 sinx t tyt 上对应于 4t 的点处的法线斜率为 _. 3 （ 13）设函数 123y x ，则 ()(0)ny _. （ 14） 二阶常系数非齐次微分方程 24 3 2e xy y y 的通解为 y _. （ 15） 设 ( , )f uv 是二元可微函数， ,yxzfxy ，则 zzxyxy_.
7、 （ 16）设矩阵0 1 0 00 0 1 00 0 0 10000A ，则 3A 的秩为 . 三、解答题 ： 17 24 小题 ， 共 86 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . （ 17） (本题满分 10 分 ) 设 ()fx是区间 0,4上单调、可导的函数，且满足 () 100 c o s s i n( )d ds i n c o sf x x ttf t t t t ，其中 1f 是 f 的反函数，求 ()fx. （ 18）（本题满分 11 分） 设 D 是位于曲线 2 ( 1 , 0 )xay x a a x 下方、 x 轴上方的无界区域 . （）求区域 D 绕 x
8、轴 旋转一周所成旋转体的体积 ()Va； （）当 a 为何值时， ()Va最小？并求此最小值 . （ 19）（本题满分 10 分）求微分方程 2()y x y y 满足初始条件 (1) (1) 1yy的特解 （ 20）（本题满分 11 分）已知函数 ()fu 具有二阶导数，且 (0) 1f ，函数 ()y yx 由方程1e1yyx所确定，设 ln sinz f y x，求 2002dd,xxzz. （ 21） (本题满分 11 分 ) 设函数 ( ), ( )f x g x 在 ,ab 上连续，在 (, )ab 内具有二阶 导数且存在相等的最大值，( ) ( ), ( ) ( )f a g a
9、 f b g b，证明：存在 ( , )ab ，使得 ( ) ( )fg . （ 22） (本题满分 11 分 ) 设二元函数222, | | | | 11( , ) , 1 | | | | 2x x yf x y xyxy ，计算二重积分D ( , )df x y ，其中 , | | | | 2D x y x y . 4 （ 23） (本题满分 11 分 ) 设线性方程组 1 2 31 2 321 2 302040x x xx x axx x a x 与方程 1 2 321x x x a 有公共解，求 a 的值及所有公共解 . 5 1 .【 分析 】 本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无
10、穷小代换即可 . 【 详 解 】 当 0x 时， 1ex x， 1112xx ， 2111 c o s 22x x x， 故用排除法可得正确选项为（ B） . 事实上，0 0 01 1 1 1lnl n ( 1 ) l n ( 1 ) 11 1 2l im l im l im 112x x xxxx xx x xxxx ， 或 1l n l n ( 1 ) l n ( 1 ) ( ) ( ) ( )1 x x x x o x x o x x o x xx . 所以应选（ B） 【 评注 】 本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算 . 类似例题见数学复习指南（理工类） 第
11、一篇 【例 1.54】 【例 1.55】 . 2 【 分析 】 因为函数为初等函数， 则先找出函数的无定义点，再根据左右极限判断间断点的类型 . 【 详解 】 函数在 0, 1, 2x x x 均无意义， 而110 0 0 0( e e ) ta n ( e e ) ta nl im ( ) l im 0 , l im ( ) l im 1e e e exxx x x xxxxxf x f x ； 111( e e ) ta nl im ( ) l imeexxx xxfxx ； 122( e e ) ta nl im ( ) l imeexxx xxfxx . 所以 0x 为函数 ()fx的
12、第一类间断点，故应选（ A） . 【 评注 】 本题为基础题型 . 对初等函数来讲，无定义点即为间断点，然后再根据左右极限判断间断点的类型；对分段函数来讲，每一分段支中的无定义点为间断点，而分段点也可能为间断点，然后求左右极限进行判断 . 类似例题见文登强化班 笔记 高等数学第 1 讲【例 4】和【例 5】，数学复习指南（理工类）第一篇【例 1.49 1.51】 3 【 分析 】本题实质上是求分段函数的定积分 . 【 详解 】利用定积分的几何意义，可得 221 1 1 3( 3 ) 12 2 2 8F ， 211(2) 222F ， 6 2 0 2 20 2 0 11( 2 ) ( )d (
13、)d ( )d 122F f x x f x x f x x . 所以 33(3 ) ( 2 ) ( 2 )44F F F ，故选（ C） . 【 评注 】本题属基本题型 . 本题利用定积分的几何意义比较简便 . 类似例题见 文登强化班 笔记 高等数学 第 5 讲 【例 17】 和 【例 18】 ，数学复习指南（理工类） 第一篇 【例 3.39】【例 3.40】 . 4 【 分析 】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系 . 由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用 赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数 ()fx去进行判断，然后选择正确选项 . 【 详解 】取 ( ) | |f x
14、x ，则0 ( ) ( )lim 0x f x f xx ，但 ()fx在 0x 不可导，故选（ D） . 事实上， 在 (A),(B)两项中，因为分母的极限为 0，所以分子的极限也必须为 0，则可推得(0) 0f . 在（ C）中，0 ()limx fxx存在，则00( ) (0 ) ( )(0 ) 0 , (0 ) l i m l i m 00xxf x f f xff xx ，所以 (C)项正确，故选 (D) 【 评注 】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效 . 完全类似例题见 文登强化班 笔记 高等数学第 2 讲【例 2】，
15、文登 07 考研模拟试题数学二第一套（ 2） . 5 【 分析 】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断 . 【 详解 】 11l im l im l n 1 e , l im l im l n 1 e 0xxx x x xyyxx ， 所以 0y 是曲线的水平渐近线； 001l im l im l n 1 e xxxy x ，所以 0x 是曲线的垂直渐近线； 1el n 1 e l n 1 e 1el im l im 0 l im l im 11xxx xx x x xy xx x x ， 1l im l im l n 1 e 0xxxb y x xx ，所
16、以 yx 是曲线的斜渐 近线 . 故选（ D） . 7 【 评注 】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法 .注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在 . 本题要注意 ex 当,xx 时的极限不同 . 类似例题见文登强化班 笔记 高等数学第 6 讲第 4 节【例 12】，数学复习指南（理工类）第一篇【例 6.30】，【例 6.31】 . 6 【 分析 】本题依据函数 ()fx的性质，判断数列 ()nu f n . 由于含有抽象函数，利用赋值法举反例更易得出结果 . 【 详解 】选（ D） . 取 ( ) lnf x x ，21( ) 0fx x ， 12ln
17、1 0 ln 2uu ，而 ( ) lnf n n发散，则可排除（ A）； 取21()fxx，46( ) 0fx x ，1211 4uu ，而21()fnn收敛，则可排除（ B）； 取 2()f x x ， ( ) 2 0fx ， 1214uu ，而 2()f n n 发散，则可排除（ C）； 故选（ D） . 事实上， 若 12uu ，则 211( 2 ) (1 ) ( ) 02 1 2 1uu ff f . 对任意 1,x ，因为 ( ) 0fx ，所以 1( ) ( ) 0f x f c ， 对任意 21, ， 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )f x f f x x . 故选（
18、D） . 【 评注 】对于含有抽象函数的问题，通过举符合题设条件的函数的反例可简化计算 . 类似例题见文登强化班 笔记 高等数学第 1 讲【例 24】 ，数学复习指南（理工类） 第一篇【例 1.22】 . 7 .【 分析 】 本题考查二元函数可微的充分条件 . 利用可微的判定条件及可微与连续，偏导的关系 . 【 详解 】 本题也可用排除法，（ A）是函数在 0,0 连续的定义；（ B）是函数 在 0,0 处偏导数存在的条件；（ D）说明 一阶偏导数 (0,0), (0,0)xyff存在，但不能推导出两个一阶偏导函数 ( , ), ( , )xyf x y f x y在点 (0,0) 处连续，所
19、以（ A）（ B）（ D）均不能保证 ( , )f xy在点 0,0 处可微 . 故应选（ C） . 事实上， 8 由 22( , ) 0 , 0 ( , ) ( 0 , 0 )lim 0xy f x y fxy 可得 22200( , 0) ( 0 , 0) ( , 0) ( 0 , 0)l i m l i m 00xxf x f f x f xxx x ，即 (0,0) 0,xf 同理有 (0,0) 0.yf 从而 0 ( , ) (0 , 0 ) ( (0 , 0 ) (0 , 0 ) )l i m xyf x y f f x f y = 2200( , ) ( 0 , 0 ) ( ,
20、) ( 0 , 0 )l im l im 0( ) ( )f x y f f x y fxy . 根据可微的判定条件可知函数 ( , )f xy 在点 0,0 处可微，故应选 (C). 【 评 注 】 二元函数连续或偏导数存在均不能推出可微，只有当一阶偏导数连续时，才可微 . 类似例题见文登强化班 笔记 高等数学第 9 讲【例 3例 5】，数学复习指南（理工类）第一篇【例 8.11】 . 8, 【 分析 】 本题更换二次积分的积分次序，先根据二 次积分 确定积分区域，然后写出新的二次积分 . 【 详解 】 由题设可知， , sin 12 x x y ，则 0 1 , a r c s i ny
21、y x ， 故应选（ B） . 【 评 注 】 本题为基础题型 . 画图更易看出 . 类似例题见文登强化班 笔记 高等数学第 10 讲【例 5】，数学复习指南（理工类）第一篇【例 10.6】 ，【例 10.7】 . 9 .【 分析 】本题考查由线性无关的向量组 1 2 3, 构造的另一向量组 1 2 3, 的线性相关性 . 一般令 1 2 3 1 2 3, , , , A ，若 0A ，则 1 2 3, 线性相关；若 0A ，则 1 2 3, 线性无关 . 但考虑到本题备选项的特征，可通过简单的线性运算得到正确选项 . 【 详解 】由 1 2 2 3 3 1 0 可知应选（ A） . 或者因为
22、 1 2 2 3 3 1 1 2 31 0 1, , , , 1 1 00 1 1 ，而 1 0 11 1 0 00 1 1， 9 所以 1 2 2 3 3 1, 线性相关，故选（ A） . 【 评注 】本题也可用赋值法求解，如取 T T T1 2 31 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 1 ，以此求出（ A），（ B），（ C），（ D）中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或行列式是否为零可立即得到正确选项 . 完全类似例题见 文登强化班 笔记 线性代数第 3 讲【例 3】，数学复习指南（理工类） 第二篇 【例 3.3】 . 10 .【 分析 】本题考查矩
23、阵的合同关系与相似关系及其之间的联系，只要求得 A 的特征值，并考虑到实对称矩阵 A 必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案 . 【 详解 】 由 22 1 11 2 1 ( 3 )1 1 2EA 可得 1 2 33, 0 ， 所以 A 的特征值为 3,3,0；而 B 的特征值为 1,1,0. 所以 A 与 B 不相似，但是 A 与 B 的秩均为 2，且正惯性指数都为 2，所以 A 与 B 合同，故选（ B） . 【 评注 】若矩阵 A 与 B 相似，则 A 与 B 具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值 . 所以通过计算 A 与 B 的特征值可立即排除（ A）（ C） . 完全类似例
24、题见数学复习指南（理工类） 第二篇 【例 5.17】 . 11 【 分析 】 本题为 00 未定式极限的求解，利用洛必达法则即可 . 【 详解 】 232001 c osa r c ta n si n 1l im l im 3xx xxx x 220 1 co s (1 )lim 3x xxx 202 c o s s i n ( 1 ) 1 1 1l i m 6 3 6 6xx x x xx . 【 评 注 】本题利用了洛必达法则 . 本题还可用泰勒级数展开计算 . 因为 3 3 3 311a r c t a n ( ) , s i n ( )36x x x o x x x x o x ， 所
25、以 30 a rc ta n s in 1lim 6x xxx . 完全类似例题见文登强化班 笔记 高等数学第 1 讲【例 17】，数学复习指南（理工类）第一篇【例 1.31】 . 12 .【 分析 】 本题考查参数方程的导数及导数的几何意义 . 【 详解 】 因为44d c os 2d si n 2 c os si n 22ttytx t t t ， 10 所以曲线在对应于 4t 的点的切线斜率为 222 ， 故曲线在对应于 4t 的点的法线斜率为 222. 【 评注 】 本题为基础题型 . 类似例题见文登 强化班 笔记 高等数学第 2 讲【例 15】和【例 16】，数学复习指南（理工类）第
26、一篇【例 2.8】 . 13 .【 分析 】 本题求函数的高阶导数，利用递推法或函数的麦克老林展开式 . 【 详解 】 212,23 23yyx x ，则 ()1( 1) 2 !() (2 3)nnnnnyx x ，故 ()1( 1) 2 !(0 ) 3nnnn ny . 【 评注 】 本题为基础题型 . 完全类似例题见文登强化班 笔记 高等数学第 2 讲【例 21】，数学复习指南（理工类）第一篇【 2.26】，【例 2.27】 . 14 .【 分析 】本题求解二阶常系数非齐次微分方程的通解，利用二阶常系数非齐次微分方程解的结构求解，即先求出对应齐次方程的通解 Y ，然后求出非齐次微分方程的一
27、个特解 *y ，则其通解为 *y Y y . 【 详解 】对应齐次方程的特征方程为 2 124 3 0 1 , 3 ， 则对应齐次方程的通解为 312eexxy C C. 设原方程的特解为 2*exyA ，代入原方程可得 2 2 2 24 e 8 e 3 e 2 e 2x x x xA A A A ， 所以原方程的特解为 2* 2e xy ， 故原方程的通解为 3212e e 2 ex x xy C C ，其中 12,CC为任意常数 . 【 评注 】本题为基础题型 . 完全类似例题见 文登强化班 笔记 高等数学第 7 讲【例 11】，数学复习指南（理工类）第一篇【例 5.13】 . 15 【 分析 】本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可 . 【 详解 】 利用求导公式可得 122 1zyffx x y ，
