1、成都石室中学 20172018 学年度上期高 2019 届 10 月月考数学（理科）试卷第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 在空间直角坐标系 中，点 关于 平面对称的点的坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为两点关于 时，则两点的横坐标、竖坐标相同，纵坐标互为相反数，故点关于 平面对称的点的坐标是 。选 D。2. 若 表示两条直线， 表示平面，下列说法中正确的为（ ）A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则【答案】C【解析】对于选项 A
2、， 与 可能平行，也可能在平面内，故 A 不正确。对于选项 B， 与 可能平行、相交、垂直，故 B 不正确。对于选项 C，由线面垂直的定义可得必有 ，故 C 正确。对于选项 D， 与 可能相交、平行或异面，故 D 不正确。选 C。3. 空间四边形 中， ， ， ，点 在 上，且 ，点为 中点，则 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图， 。选 B。4. 设双曲线 的虚轴长为 2，焦距为 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意知 2b=2,2c=2 ,b=1,c= ,a2=c2-b2=2,a= ,.5. 直线 经过 ， 两点 ，那么直线
3、的倾斜角的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设直线 的倾斜角为 ，则又 ，所以 或 。即直线 的倾斜角的取值范围为 。选 B。6. 已知椭圆与双曲线 的焦点相同，且它们的离心率的乘积等于 ，则此椭圆的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】双曲线的焦点为 ，离心率为 ，所以椭圆的离心率 。设椭圆的标准方程为 ，则 ，解得 。所以椭圆的方程为 。选 A。7. 一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）A. B. C. 21 D. 18【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是棱长为 2 的正方体，截去两个侧棱互相垂直的正三棱锥，侧棱长为
4、 1，所以该几何体的表面积为，故选 A考点：1、空间几何体的三视图；2、多面体的表面积8. 在正三棱柱 中，点 为 的中点，点 是线段 上的动点，则关于点到平面 的距离说法正确的是（ ）A. 点 运动到点 时距离最小B. 点 运动到线段 的中点时距离最大C. 点 运动到点 时距离最大D. 点 到平面 的距离为定值【答案】D【解析】如图，取 的中点 ，连 。由三棱柱的有关知识可得 ，又 ，所以平面 平面。因为 平面 ，所以 平面 ，因此线段上的点到平面 的距离为定值。选 D。9. 如果点 既在平面区域 上，且又在曲线 上，则 的最小值为（ ）A. B. 1 C. D. 【答案】C【解析】画出不等
5、式组表示的平面区域如图中的 所示，曲线 表示焦点在 x 轴上的椭圆，结合图形可得当直线 与椭圆相切时，椭圆和不等式组表示的平面区域才有公共点。由 消去 x 整理得 ，令 ，解得 或 （舍去） 。所以 的最小值为 。选 C。10. 设 为双曲线 的左焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线的左、右支交于点 ，若 ， ，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设 ,则 。在 中由余弦定理可得 。 , 为直角三角形，且 。设双曲线的右焦点为 F1，连 P F1,Q F1，由题意可得点 关于原点对称，所以四边形 FPF1Q为矩形，因此 。由双曲线的定义得 ，又 ，所以， ，在 中
6、，由勾股定理得 ，即 ，整理得 ， 。即该双曲线的离心率为 。选 B。11. 在长方体 中，点 分别是棱 上的动点， ， ，直线 与平面 成 30角，则三棱锥 体积的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图，以 C 为原点建立空间直角坐标系 ，设 ，则 。设平面 的一个法向量为 ，由 ，得 ，令 ，则 。又 ,由条件得 ，整理得 ， ，当且仅当 时等号成立。解得 。 。即三棱锥 体积的最小值是 。选 A。点睛：（1）本题利用代数方法解决立体几何问题，可使得解题过程变得简洁直观，这也是几何问题中常用的方法。（2）在解决直线和平面所成角的问题时，要注意直线和平面所成的角和直线的
7、方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系，避免出现错误。12. 设椭圆 的左、右焦点分别为 ，其焦距为 ，点在椭圆的外部，点 是椭圆 上的动点，且 恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】点 在椭圆的外部,则 ，解得 ， ，即 。由椭圆的定义得 ，, 恒成立， ，解得 ，即 。所以椭圆离心率的取值范围是 。选 D。点睛：（1）解决圆锥曲线问题时要注意常见结论的运用，如在本题中用到了椭圆的通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）长的结论。（2）注意平面几何知识的运用，对于本题中的恒成立问题，只需要 的最大值小于 即可，在求 得最大值时可用平面几何的有关知识解决。
8、第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 双曲线 的一个焦点到其渐近线距离为 3，则 的值为_【答案】-9【解析】双曲线的方程为 。取双曲线的一条渐近线为 ，即 ；双曲线的一个焦点为。由题意得 ，解得 或 （舍去） 。答案： 。14. 矩形 中， ， ，沿 将矩形 折成一个大小为 的二面角，则四面体 的外接球的表面积为_【答案】【解析】如图，在四面体 中， ，取 AC 的中点 O，连 ，则，所以四面体 的顶点在以 O 为球心，半径为 5 的球面上，故球的表面积为 。答案：15. 椭圆 的左、右焦点分别为 ，弦 过 ，若 的内切圆的周长为， 两点的
9、坐标分别为 ， ，则 _【答案】【解析】在椭圆 中， 。 的内切圆的周长为 ， 内切圆的半径为 。由椭圆的定义得 的周长为，又且 ， ，解得 。答案： 。点睛：本题的解答中运用了数学中“算两次”的方法，即从两个不同的角度分别求出了的面积，从而建立了关于 的关系式，使得问题得以求解。对于圆锥曲线的问题，一定要注意定义的运用，这样可简化解题过程中的推理和运算。16. 已知两定点 ， 和一动点 ，给出下列结论：若 ，则点 的轨迹是椭圆；若 ，则点 的轨迹是双曲线；若 ，则点 的轨迹是圆；若 ，则点 的轨迹关于原点对称；若直线 与 斜率之积等于 ，则点 的轨迹是椭圆（除长轴两端点） 其中正确的是_（填
10、序号） 【答案】【解析】对于，由于 ，所以点 的轨迹是线段 ，不正确；对于，由于 ，故点 的轨迹是双曲线的右支，不正确；对于，设 ，由题意得 ，整理得 ， ， ，点 的轨迹是圆，正确。对于，设 ，则 。又点 关于原点的对称点为 ， ，点 也在曲线 上，即点 的轨迹关于原点对称。故正确。对于，设 ，则 ，由题意得 ，整理得 。此方程不一定表示椭圆。 不正确。综上，正确的结论是。答案：三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17. 在 中，角 所对的边分别为 ，已知 （）求 的值；（）若 ，求 【答案】 （） ；（） 或 .【解析】试题分析:(1)由已知利用三角形内角和定理,三角函数恒等变换的应用化简即可求值;(2)由已知利用正弦定理及(1)可得 ，进而可求角 .
