1、 1 相交线与平行线知 识 点 1. 相交线 同一平面中，两条直线的位置有两种情况： 相交： 如图所示，直线 AB 与直线 CD相交于点 O，其中以 O为顶点共有 4个角： 1， 2， 3， 4； 邻补角： 其中 1和 2有 一条公共边，且他们的另一边互为反向延长线。像 1和 2这样的角我们称他们互为邻补角； 对顶角： 1和 3 有一个公共的顶点 O，并且 1的两边分别是 3两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶 角； 1 和 2 互补， 2 和 3 互补，因为同角的补角相等，所以 1 3。 所以， 对顶角相等 例题： 1.如图， 3 1 2 3，求 1， 2， 3， 4的度数。
2、 2.如图，直线 AB、 CD、 EF 相交于 O，且 ABCD ， 1 27 ，则 2 _， FOB _。 CEA 2 O B1FD垂直： 垂直是相交的一种特殊情况两条直线相互垂直，其中一条叫做另一条的垂线，它们的交点叫做垂足。如图所示，图中 AB CD，垂足为 O。垂直的两条直线共形成四个直角，每个直角都是 90 。 例题： 如图， AB CD，垂足为 O， EF经过点 O， 1 26 ，求 EOD， 2， 3 的度数。(思考： EOD 可否用途中所示的 4表示？ ) 2 垂线相关的基本性质： （ 1） 经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； （ 2） 连接直线外一点与直线上各点的所有线
3、段中，垂 线段最短； （ 3） 从直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 例题： 假设你在游泳池中的 P 点游泳， AC 是泳池的岸，如果此时你的腿抽筋了，你会选择那条路线游向岸边？为什么？ *线段的垂直平分线：垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。如何作下图线段的垂直平分线？ 2.平行线：在同一个平面内永不相交的两条直线叫做平行线。 平行线公理： 经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。 如上图，直线 a 与直线 b平行，记作 a/b 3.同一个平面中的三条直线关系： 三条直线在一个平面中 的位置关系有 4 中情况：有一个交点，有两个交点，有三个交点，没有
4、交点。 （ 1）有一个交点： 三条直线相交于同一个点，如图所示，以交点为顶点形成各个角，可以用角的相关知识解决； 3 例题： 如图，直线 AB,CD,EF 相交于 O 点， DOB 是它的余角的两倍， AOE 2 DOF,且有 OG OA，求 EOG 的度数。 （ 2）有两个交点 :（这种情况必然是两条直线平行，被第三条直线所截。） 如图所示，直线 AB， CD 平行，被第三条直线 EF所截。这三条直线形成了两个顶点，围绕两个顶点的 8 个角之间有三种特殊关系： *同位角： 没有公共顶点的两个角，它们在直线 AB,CD 的同侧，在第三条直线 EF的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角；
5、*内错角： 没有公共顶点的两个角，它们在直线 AB,CD 之间，在第三条直线 EF的两旁（即位置交错），这样的一对角叫做内错角； *同旁内角： 没 有公共顶点的两个角，它们在直线 AB,CD 之间，在第三条直线 EF的同旁，这样的一对角叫做同旁内角； 指出上图中的同位角，内错角，同旁内角。 两条直线平行，被第三条直线所截，其同位角，内错角，同旁内角有如下关系： 两直线平行，被第三条直线所截，同位角相等； 两直线平行，被第三条直线所截，内错角相等 两直线平行，被第三条直线所截，同旁内角互补。 如上图，指出相等的各角和互补的角。 例题： 1.如图，已知 1 2 180 ， 3 180 ，求 4的度
6、数。 4 2.如图所示， AB/CD， A 135 ， E 80 。求 CDE 的度数。 平行线判定定理： 两条直线平行，被第三条直线所截，形成的角有如上所说的性质；那么反过来，如果两条直线被第三条直线所截，形成的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，是否能证明这两条直线平行呢？答案是可以的。 两条直线被第三条直线所截，以下几种情况可以判定这两条直线平行： 平行线判定定理 1：同位角相等，两直线平行 如图所示，只要满足 1 2（或者 3 4； 5 7； 6 8），就可以说 AB/CD 平行线判定定理 2：内错角相等，两直线平行 如图所示，只要满足 6 2（或者 5 4），就可以说 AB/CD
7、平行线判定定理 3：同旁内角互补，两直线平行 如图所示，只要满足 5+ 2 180 （或者 6+ 4 180 ），就可以说 AB/CD 平行线判定定理 4：两条直线同时垂直于第三条直线，两条直线平行 这是两直线与第三条直线相交时的一种特殊情况，由上图中 1 2 90 就可以得到。 例题： 1.已知： AB/CD， BD 平分ABC， DB 平分ADC，求证： DA/BC AB 12 DC342.已知： AF、 BD、 CE都为直线， B 在直线 AC 上， E 在直线 DF 上，且12，求证：F。 D E F3124A B C5 （ 3）有三个交点 当三条直线两两相交时，共形成 三个交点， 1
8、2 个角，这是三条直线相交的一般情况。如下图所示： 你能指出其中的同位角，内错角和同旁内角吗？ 三个交点可以看成一个三角形的三个顶点，三个交点直线的线段可以看成是三角形的三条边。 （ 4）没有交点： 这种情况下，三条直线都平行，如下图所示： 即 a/b/c。这也是同一平面内三条直线位置关系的一种特殊情况。 例题： 如图， CD AB， DCB=70， CBF=20， EFB=130，问直线 EF 与 CD有怎样的位置关系，为什么？ 练 习 题 一选择题： 1. 如图，下面结论正确的是（ ） A. 1 2和是同位角 B. 2 3和是内错角 1 2 3 4 6 C. 2 4和是同旁内角 D. 1和
9、是内错角 2. 如图，图中同旁内角的对数是（ ） A. 2 对 B. 3 对 C. 4 对 D. 5对 3. 如图，能与构成同位角的有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 4. 如图，图中的内错角的对数是（ ） A. 2 对 B. 3 对 C. 4 对 D. 5 对 5如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的 4倍少 30 ，那么这两个角是（ ） A. 42 138 、 B. 都是 10 C. 42 138 、 或 42 10 、 D. 以上都不对 二填空 1 已知：如图， AO BO ， 1 2。求证： CODO 。 证明： AO BO （ ） AOB 9
10、0（ ） 1 3 90 1 2 （ ） 390 CO DO （ ） 2 已知：如图， COD 是直线， 1 3 。求证： A、 O、 B 三点在同一条直线上。 B C D 2 3 1 O A A C 1 2 O 3 D B 7 证明： COD 是一条直线（ ） 1 2 _（ ） 1 3 （ ） _3 _ _（ ） 三解答题 1如图，已知： AB/CD，求证： B+D+ BED=360（至少用三种方法） E A B C D 2已知：如图， E、 F 分别是 AB和 CD 上的点， DE、 AF 分别交 BC 于 G、 H，A= D， 1= 2，求证： B= C。 2 A B E C F D H
11、G 1 3已知：如图， 1 2 3， ，B AC DE/ /，且 B、 C、 D 在一条直线上。 求证： AE BD/ / 4已知：如图， CDA CBA， DE 平分 CDA ，BF 平分 CBA ，且 AD E AED。 求证： DE FB/ / 5 已 知 ： 如 图 ， BAP APD 180 1 2 ，。 求证： E F A E 3 1 2 4 B C D D F C A E B A B 1 E F 2 C P D 8 6已知：如图 ， 1 2 3 4 5 6， ，。 求证： ED FB/ FE4A G 1 B536 2C D第二章 :平行线与相交线 一、精心选一选（请将答案填写在下
12、面的表格内 .每题 3 分，共 30 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1、下面四个图形中， 1 与 2 是对顶角的图形（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2、 一个角的余角是 46 ,这个角的补角是 ( ) A 134 B 136 C 156 D 144 3、 已知：如图 , 1 2,则有 ( ) A AB CD B AE DF C AB CD 且 AE DF D以上都不对 2 F D C B A E 1 （第 3 题图） 4 3 1 F D B A C E 2 5 （第 5 题图） 2 1 n m （第 6 题图） 9 4、 下列说法正确的是
13、( ) A相等的角是对顶角 B同旁内角互补 C一个角的余角小于它的补角 D同位角相等 5、如图，两 直线 AB， CD 被第三条直线 EF 所截， 1 70，下列说法中， 不正确 的是（ ） A若 3 70，则 AB CD B若 4 70，则 AB CD C若 5 70，则 AB CD D若 4 110，则 AB CD 6、如图，若 m n ， 1 105，则 2 _（ ） A 55 B 65 C 75 D 60 7、 如图，若 1l 1l ， 1 45 ，则 2 _度 （ ） A 45 B 75 C 135 D 155 8、如图：四边形 ABCD 中， AB CD，则下列结论中成立的是（ ）
14、 A A B 180 B B D 180 C B C 180 D A C 180 9、如图，若 AB CE，下列正确的是（ ） A B ACB B B ACE C A ECD D A ACE 10、 如图，直线 AB、 CD 相交于点 O， OE AB 于 O， COE=55 ，则 BOD 的度数是（ ） A 40 B 45 C 30 D 35 二、细心填一填（请把最后答案填写在横线上，每空 2 分，共 30 分） 11、如图，（ 1）当 时， DAC BCA. （ 2）当 时， ADC DAB 180 . （ 3）当 _ _时， AB DC. 12、如图，直线 AB、 CD 和 EF 相交，
15、则有： 1 与 2 是 _角 . 1 与 3 是 _角 . 3 与 4 是 _角 . 2 与 3 是 _角 . 1 与 4 是 _角 . 13、如图： 如果 1 2，那么根据 _，可得 AB CD. 如果 A EDC，那么根据 _，可得 AB CD. （第 8 题图） D C B A D C B A E （第 9 题图） （第 10 题图） （第 7 题 图） 10 （第 11 题图） （第 12 题图） （第 13 题图） 如果 _ _ 180 ,那么根据同旁内角互补，两直线平行，可得 AB CD. 三、仔细做一做（本大题共 40 分） 14、（ 6 分）尺规作图： 如图，以点 B 为顶点，
16、射线 BC 为一边，（ 1）利用尺规作 EBC ，使得 EBC A； （ 2）判断 EB 与 AD 的位置关系： _.（填：平行，相交） 15、（ 8 分） 如图 ,在下列 横线上 填写 . l 135 （已知） 3 135 （ _） 又 2 45 （已知） _ _ 180 a b（ _） 16、（ 8 分）根据图形及题意填空，并在括号里写上理由 . 已知：如图， AD BC， AD 平分 EAC. 试说明： B C 解： AD 平分 EAC（已知） 1 2（角平分线的定义） AD BC（已知） 1 _ （ ） 1 E D C B A 2 （第 16 题图） D C A B （第 15 题图） c a 3 1 2 b
