高中数学三角函数知识点及试题总结.doc

1、 高考三角函数 1.特殊角的三角函数值： sin 0 = 0 cos 0 = 1 tan 0 = 0 sin3 0 =21 cos3 0 = 23 tan3 0 = 33 sin 045 = 22 cos 045 = 22 tan 045 =1 sin6 0 = 23 cos6 0 =21 tan6 0 = 3 sin9 0 =1 cos9 0 =0 tan9 0 无意义2角度制与弧度制的互化： ,23600 ,1800 0 3 0 045 6 0 9 0 0120 0135 0150 18 0 27 0 36 0 0 6 4 3 2 32 43 65 23 2 3.弧长及扇形面积公 式 弧长

2、公式： rl . 扇形面积公式 :S= rl.21 -是圆心角且为弧度制。 r-是扇形半径 4.任意角的三角函数 设 是一个任意角，它的终边上一点 p（ x,y） , r= 22 yx (1)正弦 sin = ry 余弦 cos =rx 正切 tan =xy (2)各象限的符号： sin cos tan x y +cos sin2+ O + x y O + + + y O - + + 5.同角三角函数的基本关系： （ 1）平方关系 ： sin2 + cos2 =1。 （ 2）商数关系： cossin =tan （ zkk ,2 ） 6.诱导公式： 记忆口诀：2k 把 的 三 角 函 数 化 为

3、 的 三 角 函 数 ， 概 括 为 ：奇变偶不变，符号看象 限。 1 s in 2 s ink ， c o s 2 c o sk ， ta n 2 ta nkk 2 sin sin ， cos cos ， ta n ta n 3 si n si n ， cos cos ， ta n ta n 4 sin sin ， co s co s ， tan tan 口诀：函数名称不变，符号看象限 5 sin c o s2 ， cos sin2 6 sin c o s2 ， c o s sin2 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限 7 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性 质 8、三角函数公式： 降幂公

4、式： 升幂公式 ： 1+cos = 2cos2 2 cos2 2 2cos1 1-cos = 2sin2 2 sin2 2 2cos1 9 正弦定理 ： 2s in s in s ina b c RA B C . 余弦定理： 2 2 2 2 c o sa b c b c A ; 2 2 2 2 c o sb c a c a B ; 2 2 2 2 c o sc a b a b C . 三角形面积定理 . 1 1 1s i n s i n s i n2 2 2S a b C b c A c a B . 1 直角三角形中各元素间的关系： 如图，在 ABC 中， C 90， AB c， AC b，

5、BC a。 （ 1）三边之间的关系： a2 b2 c2。（勾股定理） 两角和与差的三角函 数关系 sin( )=sin cos cos sin cos( )=cos cos sin sin ta nta n1 ta nta n)ta n ( 倍角公式 sin2 =2sin cos cos2 =cos2 -sin2 =2cos2 -1 =1-2sin2 2tan1 tan22tan （ 2）锐角之间的关系： A B 90； （ 3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sinA cosB ca ， cosA sinB cb ， tanA ba 。 2斜三角形中各元素间的关系： 在 ABC 中，

6、A、 B、 C 为其内角， a、 b、 c 分别表示 A、 B、 C 的对边。 （ 1）三角形内角和： A B C 。 （ 2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 RCcBbAa 2s ins ins in 。 （ R 为外接圆半径） （ 3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a2 b2 c2 2bccosA； b2 c2 a2 2cacosB； c2 a2 b2 2abcosC。 3三角形的 面积公式： （ 1） 21 aha 21 bhb 21 chc（ ha、 hb、 hc分别表示 a、 b、 c 上的高）； （

7、2） 21 absinC 21 bcsinA 21 acsinB； （ 3）)sin(2 sinsin2CB CBa )sin(2 sinsin2AC ACb )sin(2 sinsin2BA BAc ； （ 4） 2R2sinAsinBsinC。（ R 为外接圆半径） （ 5） Rabc4 ； （ 6） )()( csbsass ； )(21 cbas； （ 7） r s。 4 解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等解三角

8、形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形 解斜 三角形的主要依据是： 设 ABC 的三边为 a、 b、 c，对应的三个角为 A、 B、 C。 （ 1）角与角关系： A+B+C = ； （ 2）边与边关系： a + b c， b + c a， c + a b， a b b； （ 3）边与角关系： 正弦定理 RCcBbAa 2s i ns i ns i n （ R 为外接圆半径）； 余弦定理 c2 = a2+b2 2bccosC， b2 = a2+c2 2accosB， a2 = b2+c2 2bccosA； 它们的

9、变形形式有： a = 2R sinA， baBAsinsin ， bc acbA 2cos 222 。 5三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点 。 （ 1）角的变换 因为在 ABC 中， A+B+C=，所以 sin(A+B)=sinC； cos(A+B)= cosC； tan(A+B)=tanC。 2s in2c o s,2c o s2s in CBACBA ； （ 2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 r 为三角形内切圆半径， p 为周长之半。 （ 3）在 ABC 中，熟记并会证明： A， B， C 成等差数列

10、的充分必要条件是B=60； ABC 是正三角形的充分必要条件是 A， B， C 成等差数列且 a， b， c 成等比数列。 四【典例解析】 题型 1：正、余弦定理 （ 2009 岳阳一中第四次月考） .已知 ABC 中， AB a ， AC b ， 0ab ， 154ABCS ， 3, 5ab，则 BAC （ ） A. 30 B 150 C 0150 D 30 或 0150 答案 C 例 1（ 1） 在 ABC 中，已知 032.0A ， 081.8B ， 42.9a cm，解三角形； （ 2） 在 ABC 中，已知 20a cm， 28b cm， 040A ，解三角形（角度精确到 01 ，边

11、长精确到 1cm）。 例 2（ 1） 在 ABC 中，已知 23a ， 62c ， 060B ，求 b 及 A； （ 2）在 ABC 中，已知 134.6a cm ， 87.8b cm ， 161.7c cm ，解三角形 解析：（ 1） 2 2 2 2 cos b a c ac B = 22( 2 3 ) ( 6 2 ) 2 2 3 ( 6 2 ) cos 045 = 21 2 ( 6 2 ) 4 3 ( 3 1) =8 2 2.b 求 A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： 解法一： cos 2 2 2 2 2 2( 2 2 ) ( 6 2 ) ( 2 3 ) 1 ,222 2 2 (

12、6 2 ) b c aA bc 060.A （ 2）由余弦定理的推论得： cos 2 2 22b c aA bc 2 2 28 7 .8 1 6 1 .7 1 3 4 .62 8 7 .8 1 6 1 .7 0.5543, 05620A ； cos 2 2 22c a bB ca 2 2 21 3 4 .6 1 6 1 .7 8 7 .82 1 3 4 .6 1 6 1 .7 0.8398, 03253B ； 0 0 0 01 8 0 ( ) 1 8 0 ( 5 6 2 0 3 2 5 3 ) C A B 09047. 例 3 在 ABC中，si n cosA A 22， AC2， AB3，求

13、 Atan 的值和 ABC的面积。 .21)45c o s (,22)45c o s (2c o ss inAAAA又 0 180 A, 4 5 6 0 , 1 0 5 .AA 13ta n ta n ( 4 5 6 0 ) 2 313A , .4 6260s i n45c o s60c o s45s i n)6045s i n (1 0 5s i ns i n A S AC AB AABC 12 12 2 3 2 64 34 2 6si n ( )。 例 4 （ 2009 湖南卷文）在锐角 ABC 中， 1, 2 ,BC B A则 cosACA 的值等于 ， AC 的取值范围为 . 答案 2

14、 )3,2( 解析 设 , 2 .AB 由正弦定理得 , 1 2 .s i n 2 s i n 2 c o s c o sA C B C A C A C 由锐角 ABC 得 0 2 9 0 0 4 5 ， 又 0 1 8 0 3 9 0 3 0 6 0 ，故 233 0 4 5 c o s22 ， 2 c os ( 2 , 3 ) .AC 例 5 （ 2009 浙江理）（本题满分 14 分）在 ABC 中，角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc，且满足 25cos 25A ， 3AB AC （ I）求 ABC 的面积； （ II）若 6bc ，求 a 的值 解 （ 1）因为 25cos25A

15、， 2 34c o s 2 c o s 1 , s i n2 5 5AAA ，又由 3AB AC 得 cos 3,bc A 5bc， 1 s in 22ABCS b c A （ 2）对于 5bc ，又 6bc ， 5, 1bc 或 1, 5bc，由余弦定理得 2 2 2 2 c o s 2 0a b c b c A ， 25a 例 6 （ 2009 全国卷 理）在 ABC 中，内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ，已知222a c b，且 s in c o s 3 c o s s in ,A C A C 求 b 解法一：在 ABC 中 s in c o s 3 c o s

16、 s in ,A C A C 则由正弦定理及余弦定理有 : 2 2 2 2 2 23,22a b c b c aaca b b c 化简并整理得： 2 2 22( )a c b.又由已知222a c b 24bb.解得 4 0(bb或 舍 ）. 例 7 ABC 的三个内角为 A B C、 、 ，求当 A 为何值时， cos 2 cos 2BCA 取得最大值，并求出这个最大值。 解析： 由 A+B+C=，得 B+C2 = 2 A2，所以有 cosB+C2 =sinA2。 cosA+2cosB+C2 =cosA+2sinA2 =1 2sin2A2 + 2sinA2 = 2(sinA2 12)2+

17、32； 当 sinA2 = 12，即 A= 3 时 , cosA+2cosB+C2 取得最大值为 32。 例 8 （ 2009 浙江文）（本题满分 14 分）在 ABC 中，角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc，且满足 25cos 25A ， 3AB AC （ I）求 ABC 的面积； （ II）若 1c ，求 a 的值 解（ ） 531)5 52(212c o s2c o s 22 AA 又 ),0( A ， 54c o s1s in 2 AA ，而 353c o s. bcAACABACAB ，所以 5bc ，所以 ABC 的面积为： 254521s in21 Abc （ ）由（ ）知

18、5bc ，而 1c ，所以 5b 所以 5232125c o s222 Abccba 例 9在 ABC 中， a、 b、 c 分别是 A、 B、 C 的对边长，已知 a、 b、 c 成等比数列，且 a2 c2=ac bc，求 A 的大小及cBbsin的值。 a、 b、 c 成等比数列， b2=ac。 又 a2 c2=ac bc， b2+c2 a2=bc。 在 ABC 中，由余弦定理得： cosA=bc acb 2 222 =bcbc2=21， A=60。 在 ABC 中，由正弦定理得 sinB=aAbsin， b2=ac， A=60， acbc Bb 60sinsin 2=sin60 =23。

19、 例 10在 ABC 中，已知 A、 B、 C 成等差数列，求 2ta n2ta n32ta n2ta n CACA 的值。 解析：因为 A、 B、 C 成等差数列，又 A B C 180，所以 A C 120， 从而 2CA 60，故 tan 32 CA .由两角和的正切公式， 得 32tan2tan12tan2tan CACA。 所以 ,2t a n2t a n332t a n2t a n CACA 32t a n2t a n32t a n2t a n CACA 。 例 11在 ABC 中，若 2cosBsinA sinC，则 ABC 的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形

20、 C.等腰三角形 D.等边三角形 答 案： C 解析： 2sinAcosB sin（ A B） sin（ A B）又 2sinAcosB sinC， sin（ A B） 0， A B 例 12（ 2009 四川卷文）在 ABC 中， AB、 为锐角，角 A B C、 、 所对的边分别为 a b c、 、 ，且 5 1 0s in , s in5 1 0AB （ I）求 AB 的值； （ II）若 21ab ，求 a b c、 、 的值。 解 （ I） AB、 为锐角， 5 1 0s in , s in5 1 0AB 222 5 3 1 0c o s 1 s in , c o s 1 s in5

21、 1 0A A B B 2 5 3 1 0 5 1 0 2c o s ( ) c o s c o s s in s in .5 1 0 5 1 0 2A B A B A B 0 AB 4AB （ II）由（ I）知 34C ， 2sin 2C 由 sin sin sina b cA B C得 5 10 2a b c，即 2 , 5a b c b 又 21ab 2 2 1bb 1b 2, 5ac 21.（ 2009 四川卷文）在 ABC 中， AB、 为锐角，角 A B C、 、 所对的边分别为 a b c、 、 ，且 5 1 0s in , s in5 1 0AB （ I）求 AB 的值； （

22、 II）若 21ab ，求 a b c、 、 的值。 解 （ I） AB、 为锐角， 5 1 0s in , s in5 1 0AB 222 5 3 1 0c o s 1 s in , c o s 1 s in5 1 0A A B B 2 5 3 1 0 5 1 0 2c o s ( ) c o s c o s s in s in .5 1 0 5 1 0 2A B A B A B 0 AB 4AB （ II）由（ I）知 34C ， 2sin 2C 由 sin sin sina b cA B C得 5 10 2a b c，即 2 , 5a b c b 又 21ab 2 2 1bb 1b 2,

23、 5ac 五【思维总结】 1解斜三角形的常规思维方法是： （ 1）已知两角和一边（如 A、 B、 C），由 A+B+C = 求 C，由正弦定理求 a、 b； （ 2）已知两边和夹角（如 a、 b、 c），应用余弦定理求 c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用 A+B+C = ，求另一角； （ 3）已知两边和其中一边的对角（如 a、 b、 A），应用正弦定理求 B，由 A+B+C = 求C，再由正弦定理或余弦定理求 c 边，要注意解可能有多种情况； （ 4）已知三边 a、 b、 c，应余弦定理求 A、 B，再由 A+B+C = ，求角 C。 2三角形内切圆的半径： 2Sr abc ，特别地， 2a b cr 斜直； 3三角学中的射影定理：在 ABC 中， AcCab c o sc o s ， 4两内角与其正弦值：在 ABC 中， BABA s ins in ， 5解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解” 1 如果函数 的图像关于点 中心对称，那么 的最小值为（ ） （ A） （ B） （ C） (D) 2、右图所示的是函数 图象的一部分，则其函数解 析式是