1、 1 小学数学典型应用题 小学数学中把含有数量关系的实际问题用语言或文字叙述出来，这样所形成的题目叫做应用题。任何一道应用题都由两部分构成。第一部分是已知条件（简称条件），第二部分是所求问题（简称问题）。应用题的条件和问题，组成了应用题的结构。 这本资料主要研究以下 30 类典型应用题： 1、归一问题 2、归总问题 3、和差问题 4、和倍问题 5、差倍问题 6、倍比问题 7、相遇问题 8、追及问题 9、植树问题 10、年龄问题 11、行船问题 12、列车问题 13、时钟问题 14、盈亏问题 15、工程问题 16、正反 比例问题 17、按比例分配 18、百分数问题 19、 “ 牛吃草 ” 问题
2、20、鸡兔同笼问题 21、方阵问题 22、商品利润问题 23、存款利率问题 24、溶液浓度问题 25、构图布数问题 26、幻方问题 27、抽屉原则问题 28、公约公倍问题 29、最值问题 30、列方程问题 1 归一问题 【含义】 在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。 【数量关系】 总量 份数 1 份数量 1份数量 所占份数所求几份的数量 另一总量 （总量 份数）所求份 数 【解题思路和方法】 先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。 例 1 买 5 支铅笔要 0.6 元钱，买同样的铅笔 16支，需要多少钱？ 解（ 1）买
3、 1支铅笔多少钱？ 0.65 0.12（元） （ 2）买 16 支铅笔需要多少钱？ 0.1216 1.92（元） 列成综合算式 0.6516 0.1216 1.92（元） 答：需要 1.92 元。 2 例 2 3 台拖拉机 3 天耕地 90 公顷，照这样计算，5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷？ 解（ 1） 1 台拖拉机 1 天耕地多少公顷？ 9033 10（公顷 ） （ 2） 5台拖拉机 6 天耕地多少公顷？ 1056 300（公顷） 列成综合算式 903356 1030 300（公顷） 答： 5台拖拉机 6 天耕地 300 公顷。 例 3 5 辆汽车 4 次可以运送 100 吨钢材，如果用同
4、样的 7 辆汽车运送 105吨钢材，需要运几次？ 解 （ 1） 1 辆汽车 1 次能运多少吨钢材？ 10054 5（吨） （ 2） 7 辆汽车 1 次能运多少吨钢材？ 57 35（吨） （ 3） 105 吨钢材 7 辆汽车需要运几次？ 10535 3（次） 列成综合算式 105 （ 100547 ） 3（次） 答：需要运 3次。 2 归总问题 【含义】 解题时，常常先找出 “ 总数量 ” ，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓 “ 总数量 ” 是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。 【数量关系】 1份数量 份数总量 总量 1 份数量份数
5、 总量 另一份数另一每份数量 【解题思路和方法】 先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。 例 1 服装厂原来做一套衣服用布 3.2 米，改进裁剪方法后，每套衣服用布 2.8 米。原来做 791 套衣服的布，现在可以做多少套？ 解 （ 1）这批布总共有多少米？ 3.2791 2531.2（米） 3 （ 2） 现在可以做多少套？ 2531.22.8 904（套） 列成综合算式 3.27912.8 904（套） 答：现在可以做 904 套。 例 2 小华每天读 24 页书， 12 天读完了红岩一书。小明每天读 36 页书，几天可以读完红岩？ 解 （ 1）红岩这本书总共多少页？ 2412 288（页
6、） （ 2）小明几天可以读完红岩？ 28836 8（天） 列成综合算式 241236 8（天） 答：小明 8天可以读 完红岩。 例 3 食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃 50 千克，30 天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃 10 千克，这批蔬菜可以吃多少天？ 解 （ 1）这批蔬菜共有多少千克？ 5030 1500（千克） （ 2）这批蔬菜可以吃多少天？ 1500 （ 50 10） 25（天） 列成综合算式 5030 （ 50 10） 150060 25（天） 答：这批蔬菜可以吃 25 天。 3 和差问题 【含义】 已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和
7、差问题。 【数量关系】 大数（和差） 2 小数（和差） 2 【解题思路和方法】 简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。 例 1 甲乙两班共有学生 98 人，甲班比乙班多 6人，求两班各有多少人？ 解 甲班人数（ 98 6） 2 52（人） 乙班人数（ 98 6） 2 46（人） 答：甲班有 52 人，乙班有 46 人。 4 例 2 长方形的长和宽之和为 18 厘米，长比宽多 2厘米，求长方形的面积。 解 长（ 18 2） 2 10（厘米） 宽（ 18 2） 2 8（厘米） 长方形的面积 108 80（平方 厘米） 答：长方形的面积为 80 平方厘米。 例 3 有甲乙丙三袋化肥，
8、甲乙两袋共重 32 千克，乙丙两袋共重 30 千克，甲丙两袋共重 22 千克，求三袋化肥各重多少千克。 解 甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多（ 32 30） 2 千克，且甲是大数，丙是小数。由此可知 甲袋化肥重量（ 22 2） 2 12（千克） 丙袋化肥重量（ 22 2） 2 10（千克） 乙袋化肥重量 32 12 20（千克） 答：甲袋化肥重 12 千克，乙袋化肥重 20 千克，丙袋化肥重 10 千克。 例 4 甲乙两车原来共装苹果 97 筐， 从甲车取下 14 筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多 3 筐，两车原来各装苹果多少筐？ 解 “ 从甲车取下 14 筐放到乙车上，结果甲
9、车比乙车还多 3筐 ” ，这说明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差是（ 142 3 ） ， 甲 与乙 的 和 是 97 ，因此 甲车筐数（ 97 142 3） 2 64（筐） 乙车筐数 97 64 33（筐） 答：甲车原来装苹果 64 筐，乙车原来装苹果 33 筐。 4 和倍问题 【含义】 已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。 【数 量关系】 总和 （几倍 1）较小的数 总和 较小的数 较大的数 较小的数 几倍 较大的数 5 【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。 例 1 果园里有杏树和桃树共
10、 248 棵，桃树的棵数是杏树的 3倍，求杏树、桃树各多少棵？ 解 （ 1）杏树有多少棵？ 248 （ 3 1） 62（棵） （ 2）桃树有多少棵？ 623 186（棵） 答：杏树有 62 棵，桃树有 186 棵。 例 2 东西两个仓库共存粮 480 吨，东库存粮数是西库存粮数的 1.4 倍，求两库各存粮多少 吨？ 解 （ 1）西库存粮数 480 （ 1.4 1） 200（吨） （ 2）东库存粮数 480 200 280（吨） 答：东库存粮 280 吨，西库存粮 200 吨。 例 3 甲站原有车 52 辆，乙站原有车 32 辆，若每天从甲站开往乙站 28 辆，从乙站开往甲站 24 辆，几天后乙
11、站车辆数是甲站的 2 倍？ 解 每天从甲站开往乙站 28 辆，从乙站开往甲站 24辆，相当于每天从甲站开往乙站（ 28 24）辆。把几天以后甲站的车辆数当作 1 倍量，这时乙站的车辆数就是 2 倍量，两站的车辆总数（ 52 32）就相当于（ 2 1）倍， 那么，几天以后 甲站的车辆数减少为 （ 52 32） （ 2 1） 28（辆） 所求天数为 （ 52 28） （ 28 24） 6（天） 答： 6天以后乙站车辆数是甲站的 2 倍。 例 4 甲乙丙三数之和是 170，乙比甲的 2 倍少4，丙比甲的 3倍多 6，求三数各是多少？ 解 乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为1倍量。 因为乙比甲
12、的 2 倍少 4，所以给乙加上 4，乙数就变成甲数的 2倍； 又因为丙比甲的 3 倍多 6，所以丙数减去 6 就变为甲数的 3倍； 这时（ 170 4 6）就相当于（ 1 2 3）倍。那么， 甲数（ 170 4 6） （ 1 2 3） 28 乙数 282 4 52 6 丙数 283 6 90 答：甲数是 28，乙数是 52，丙数是 90。 5 差倍问题 【含义】 已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。 【数量关系】 两个数的差 （几倍 1）较小的数 较小的数 几倍较大的数 【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目
13、变通后利用公式。 例 1 果园里桃树的棵数是杏树的 3 倍，而且桃树比杏树多 124 棵。求杏树、桃树各多少棵？ 解 （ 1） 杏树有多少棵？ 124 （ 3 1）62（棵） （ 2）桃树有多少棵？ 623 186（棵） 答：果园里杏树是 62 棵，桃树是 186 棵。 例 2 爸爸比儿子大 27 岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的 4 倍，求父子二人今年各是多少岁？ 解 （ 1）儿子年龄 27 （ 4 1） 9（岁） （ 2）爸爸年龄 94 36（岁） 答：父子二人今年的年龄分别是 36 岁和 9 岁。 例 3 商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的 2 倍还多 12 万元，又知本月盈利
14、比上月盈利多30 万元，求这两个月盈利各是多少万元？ 解 如果把上月盈利作为 1倍量，则（ 30 12）万元就相当于上月盈利的（ 2 1）倍，因此 上月盈利（ 30 12） （ 2 1） 18（万元） 本月盈利 18 30 48（万元） 答：上月盈利是 18 万元，本月盈利是 48 万元。 例 4 粮库有 94 吨小麦和 138 吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是 9 吨，问几天后剩下的玉米是小麦的 3倍？ 7 解 由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差（ 138 94）。把几天后剩下的小麦看作 1 倍量，则几天后剩下的玉米就是 3 倍量，那么，（ 138 94）
15、就 相当于（ 3 1）倍，因此 剩下的小麦数量（ 138 94） （ 3 1） 22（吨） 运出的小麦数量 94 22 72（吨） 运粮的天数 729 8（天） 答： 8天以后剩下的玉米是小麦的 3 倍。 6 倍比问题 【含义】 有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。 【数量关系】 总量 一个数量倍数 另一个数量 倍数另一总量 【解题思路和方法】 先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。 例 1 100 千克油菜籽可以 榨油 40 千克，现在有油菜籽 3700 千克，可以榨油多少？ 解 （ 1 ） 3700 千
16、克是 100 千克的多少倍？ 3700100 37（倍） （ 2）可以榨油多少千克？ 4037 1480（千克） 列成综合算式 40 （ 3700100 ） 1480（千克） 答：可以榨油 1480 千克。 例 2 今年植树节这天，某小学 300 名师生共植树 400棵，照这样计算，全县 48000名师生共植树多少棵？ 解 （ 1） 48000名是 300名的多少倍？ 48000300 160（倍） （ 2）共植树多少棵？ 400160 64000（棵） 列成综合算式 400 （ 48000300 ） 64000（棵） 答：全县 48000 名师生共植树 64000 棵。 8 例 3 凤翔县今
17、年苹果大丰收，田家庄一户人家4亩果园收入 11111 元，照这样计算，全乡 800 亩果园共收入多少元？全县 16000 亩果园共收入多少元？ 解 （ 1） 800 亩是 4 亩的几倍？ 8004 200（倍） （ 2） 800 亩收入多少元？ 11111200 2222200（元） （ 3） 16000 亩是 800 亩的几倍？ 16000800 20（倍） （ 4） 16000 亩收入多少元？ 222220020 44444000（元） 答：全乡 800 亩果园共收入 2222200 元， 全县 16000 亩果园共收入 44444000 元。 7 相遇问题 【含义】 两个运动的物体同时由
18、两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。 【数量关系】 相遇时间总路程 （甲速乙速） 总路程（甲速乙速） 相遇时间 【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。 例 1 南京到上海的水路长 392 千米，同时从两港各 开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28 千米，从上海开出的船每小时行 21 千米，经过几小时两船相遇？ 解 392 （ 28 21） 8（小时） 答：经过 8小时两船相遇。 例 2 小李和小刘在周长为 400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑 5 米，小刘每秒钟跑 3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次
19、相遇需多长时间？ 解 “ 第二次相遇 ” 可以理解为二人跑了两圈。 因此总路程为 4002 9 相遇时间（ 4002 ） （ 5 3） 100（秒） 答：二人从出发到第二次相遇需 100 秒时间 。 例 3 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行 15 千米，乙每小时行 13 千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。 解 “ 两人在距中点 3 千米处相遇 ” 是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点 3 千米，乙距中点 3千米，就是说甲比乙多走的路程是（ 32 ）千米，因此， 相遇时间（ 32 ） （ 15 13） 3（小时） 两地距离（ 15 13）
20、3 84（千米） 答：两地距离是 84 千米。 8 追及问题 【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同 时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。 【数量关系】 追及时间追及路程 （快速慢速） 追及路程（快速慢速） 追及时间 【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。 例 1 好马每天走 120 千米，劣马每天走 75 千米，劣马先走 12 天，好马几天能追上劣马？ 解 （ 1）劣马先走 12 天能走多少千米？ 7512
21、 900（千米） （ 2）好马几天追 上劣马？ 900 （ 120 75）20（天） 列成综合算式 7512 （ 120 75） 90045 20（天） 答：好马 20 天能追上劣马。 10 例 2 小明和小亮在 200 米环形跑道上跑步，小明跑一圈用 40 秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了 500 米，求小亮的速度是每秒多少米。 解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即 200米，此时小亮跑了（ 500 200）米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑 500 米所用的时间。又知小明跑200 米用 40 秒，则跑 500 米用 40 （ 500200 ）秒，
22、所以小亮的速度是 （ 500 200） 40 （ 500200 ） 300100 3（米） 答：小亮的速度是每秒 3 米。 例 3 我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午 16 点开始从甲地以每小时 10 千米的速度逃跑，解放军在晚上 22 点接到命令，以每小时 30 千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距 60 千米，问解放军几个小时可以追上敌人？ 解 敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是（ 22 16）小时，这段时间敌人逃跑的路程是 10 （ 22 6）千米，甲乙两地相距 60 千米。由此推 知 追及时间 10 （ 22 6） 60 （ 30 10） 22020 11（小时） 答：解放军在 11 小时后可以追上敌人。 例 4 一辆客车从甲站开往乙站，每小时行 48千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行 40 千米，两车在距两站中点 16 千米处相遇，求甲乙两站的距离。 解 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车（ 162 ）千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间， 这个时间为 162 （ 48 40）4（小时） 所以两站间的距离为 （ 48 40）4 352（千米）
