1、 1 普通高等学校 招生全国统一考试 模拟试卷 1（ 北京卷 ） 理科数学 本试卷共 4 页， 150 分。考试时长 120 分钟，考生务必将答案 填写 在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷 、 答题卡 和草稿纸 一并收回。 第一部分 （选择题 共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1.已知集合 2 | 2 0A x x x ， 0, 1, 2B ，若 AB A 0 B 0,1 C 0,2 D 0, 1, 2 2.下列函数中，在区间 (0, 上为增函数的是 A 1yx B 2=( 1)yx C 2
2、xy D 0.5log ( 1)yx 3.设 na 是公比为 q 的等比数列，则“ 1q ”是“ na 为递 增 数列 ” 的 A 充分且不必要条件 B 必要且不充分条件 C 充分且必要条件 D 既非充分也非必要条件 4.设 a ， bR ，若 ab ，则 A 11ab B lg lgab C 22ab D sin sinab 5.若输出的 S 的值为 64，则判断框内应填入的条件是 A. 3?k B. 3?k C. 4?k D. 4?k 6某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 A19 B16 C13 D12 注 ： 1-4 页 为 试题， 5-11 页 为 详细 答案 及 评分标准
3、， 12-13 页 为试题难度说明 . 本试卷 配套 标准 答题纸 可在 百度文库本试卷作者处免费获得 . 印发 时，请删去本标注 . 2 7.甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为（ ） A 12 B 40 C 60 D 80 8.某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如图检查项目： 项目：折叠状态下（如图 1），检查四条桌腿长相等； 项目：打开过程中（如图 2），检查 O M O N O M O N ； 项目：打开过程中（如图 2），检查 O K O L O K O L ； 项目：打开后（如图 3），检查 1 2 3 4 9 0 ； 项目：打开后（如图 3），检查 A
4、 B A B C D C D 在检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行的是”（ ） A B C D 第二部分 （非选择题 共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 9.若等比数列 na 满足 2 4 5aa a ， 4 8a ，则公比 q ，前 n 项和nS 10.已知 1( 2,0)F ， 2(2,0)F ，满足 12| | | | 2PF PF的动点 P 的轨迹方程为 11.在 ABC 中， cosc a B A ；若 1sin 3C ，则cos( )B 12.若非零向量 a ， b 满足 ( ) 0a a b ， 2| | | |ab
5、，则向量 a ， b 夹角的大小为 3 13.已知函数 21 , 0 ,()c os , 0.xxfx xx 若关于 x 的方程 ( ) 0f x a在 (0, ) 内有唯一实根，则实数 a 的最小值是 14.已知实数 u ， v ， x ， y 满足 221uv， 1 0,2 2 0,2,xyxyx 则 z ux vy 的最大值是 三、解答题共 6 小题，共 80 分。 15.（本小题 13 分） 如图，在 ABC 中， 3B ， 8AB ，点 D在 BC 边上，且 CD=2， 1cos 7ADC. （ ）求 sin BAD （ ）求 BD ， AC 的长 16.（本小题 13 分） 某公司
6、购买了 A,B,C 三种不同品牌的电动智能送风口罩 .为了了解三种品牌的口罩的电池性能，现采用分层抽样的方法，从三种品牌的口罩中抽出 25 台，测试他们一次完全充电后的连续待机时长，统计结果如下（单位：小时）： A 4 4.5 5 5.5 6 6 B 4.5 5 6 6.5 6.5 7 7 7.5 C 5 5 5.5 6 6 7 7 7.5 8 8 9 （ ） 已知该公司购买的 C 品牌电动智能送风口罩比 B 品牌多 150 台，求该公司购买的 B品牌电动智能送风口罩的数量； （ ） 从 A 品牌和 B 品牌抽出的电动智能送风口罩中，各随机选取一台，求 A 品牌待机时长高于 B 品牌的概率；
7、（） 从 A 品牌的电动智能送风口罩中 , 随机选取 2 台 ，其中 待机时长 不高于 4.5 小时的为X 台，求 X 的分布列和数学期望 . BACD4 17. （本小题 14 分）如图，由直三棱柱 1 1 1ABC A B C 和四棱锥11D BBCC 构成的几何体中， 90BAC ， 1AB ，1 2BC BB， 1 5C D CD，平面 1CCD 平面 11ACCA （）求证： 1AC DC ； （）若 M 为 1DC 的中点，求证： /AM 平面 1DBB ； （）在线段 BC 上是否存在点 P ，使直线 DP 与平面 1BBD 所成的角为3？若存在，求 BPBC 的值，若不存在，说
8、明理由 18. （本小题 13 分） 已知函数 1ln1 xfx x （ ）求曲线 y f x 在点 00f， 处的切线方程； （ ）求证：当 01x ， 时， 323xf x x； （ ）设实数 k 使得 33xf x k x对 01x ， 恒成立，求 k 的最大值 19. （本小题 14 分） 已知椭圆 G ： 2 2 12x y，与 x 轴不重合的直线 l 经过左焦点 1F ，且与椭圆 G 相交于 A ， B 两点，弦 AB 的中点为 M ，直线 OM 与椭圆 G 相交于 C ， D 两点 （）若直线 l 的斜率为 1，求直线 OM 的斜率； （）是否存在直线 l ，使得 2| | |
9、| | |A M C M D M成立？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 20.（本小题 13 分） 已知含 n 个元素的正整数集 12, , , nA a a a （ 12 na a a ， 3n ）具有性质 P ：对任意不大于 ()SA（其中 12() nS A a a a ）的正整数 k ，存在数集 A的一个子集，使得该子集所有元素的和等于 k （）写出 1a ， 2a 的值； （）证明：“ 1a ， 2a ， na 成等差数列”的充要条件是“ ( 1)() 2nnSA ”； （）若 ( ) 2017SA ，求当 n 取最小值时 na 的最大值 5 普通高等学校 招生全国
10、统一考试 模拟试卷 1（ 北京卷 ） 理科数学 参考答案 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） （ 1） C （ 2） A （ 3） D （ 4） C （ 5） A （ 6） B （ 7） D （ 8） B 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9.2， 21n 10. 22 13yx 11.2， 13 12.23 13. 12 14.22 三、选择题（共 6 小题，共 80 分） 15.（共 13 分） 解： （ I） 在 ADC 中，因为 17COS ADC，所以 43sin 7ADC。 . 2 所以 s i n s i n ( )B A D A D
11、 C B s i n co s co s s i n4 3 1 1 3 3 37 2 7 2 1 4A D C B A D C B . 6 （）在 ABD 中，由正弦定理得 338s in 14 3s in 437A B B A DBDA D B ， 9 在 ABC 中，由余弦定理得 2 2 2 2 c o sA C A B B C A B B C B 22 18 5 2 8 5 4 92 所以 7AC . 13 6 16.（本小题共 13 分） 解 ： （）设该公司购买的 B 品牌电动智能送风口罩的数量为 x 台 . . 0 则购买的 C 品牌电动智能送风口罩为 118 x 台 1 由题意得
12、 ： 118 x x =150.所以 x = 400. . 2 答 ： 该公司购买的 B 品牌电动智能送风口罩的数量为 400 台 . . 3 （）设 A 品牌待机时长高于 B 品牌的概率为 P 则 P = 768 = 748 .5 答 ： A 品牌待机时长高于 B 品牌的概率为 748. .6 （） X 可能的取值为 0,1,2 .7 P（ X=0） = 4262 = 25 8 P（ X=1） = 214162 = 815 9 P（ X=1） = 162 = 115 10 则 X 的分布列为 ： 11 X 0 1 2 P 25 815 115 则 X 的数学期望为： E(X) = 025 +
13、 1 815+2 115 = 23 13 17.（）证明：在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1CC 平面 ABC ， 故 1AC CC ， 由平面 1CCD 平面 11ACCA ，且平面 1CCD 平面 1 1 1ACC A CC ， 所以 AC 平面 1CCD ， . . .2 又 1CD 平面 1CCD ， . . .3 所以 1AC DC . .4 7 （）证明：在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1AA 平面 ABC ， 所以 1AA AB ， 1AA AC ， 又 90BAC ， 所以，如图建立空间直角坐标系 A xyz ， . .5 依据已知条件可得 (0
14、,0,0)A ， (0, 3,0)C ， 1(2, 3,0)C ， (0,0,1)B ， 1(2,0,1)B ， (1, 3,2)D ， 所以 1 (2,0,0)BB ， (1, 3,1)BD ， . . .6 设平面 1DBB 的法向量为 ( , , )n x y z ， 由 1 0,0,n BBn BD . . . .7 即 2 0,3 0,xx y z 令 1y ，则 3z ， 0x ，于是 (0,1, 3)n， 因为 M 为 1DC 中点，所以 3( , 3,1)2M ，所以 3( , 3,1)2AM ， .8 由 3( , 3 , 1 ) (0 , 1 , 3 ) 02A M n ，
15、可得 AM n ， .9 所以 AM 与平面 1DBB 所成角为 0， 即 /AM 平面 1DBB . . . 10 （）解：由（）可知平面 1BBD 的法向量为 (0,1, 3)n 设 BP BC ， 0,1 ， . . . 11 则 (0, 3 ,1 )P ， ( 1, 3 3 , 1 )DP . . 12 8 若直线 DP 与平面 1DBB 成角为3，则 2| | | 2 3 | 3| c o s , | 2| | | | 2 4 4 5n D Pn D P n D P ， . 13 解得 5 0,14 ， 故不存在这样的点 . . .14 18. 解：（ I）因为 ()fx=ln（ 1
16、+x） -ln（ 1-x），所以 ()fx = 11xx， (0)f =2. . .2 又因为 (0)f =0，所以曲线 y= ()fx在点（ 0 ， (0)f ）处的切线方程为 y=2x. . . . .4 （）令 ()gx = ()fx-2(x+ 33x )，则 ()gx = ()fx -2（ 1+ 2x ） = 4221xx. . .6 因为 ()gx 0（ 0 (0)g =0， x（ 0， 1）， . .7 即当 x （ 0， 1）时， ()fx2(x+ 33x ). . .8 （ ）由 （ ）知，当 k 2 时， ()fxk(x+ 33x )对 x （ 0， 1）恒成立 . 当 k2
17、 时，令 ()hx = ()fx- k(x+ 33x )，则 ()hx = ()fx -k（ 1+ 2x ） = 4221kx kx. . .10 所以当 4 20 kx k 时， ()hx 2 时， ()fx k(x+ 33x )并非对 x （ 0， 1）恒成立 . 综上可知， k 的最大值为 2。 . . . . .13 19.解：（）由已知可知 1( 1,0)F ，又直线 l 的斜率为 1，所以直线 l 的方程为 1yx， 9 设 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y ， . . . . . .1 由 221,1,2yxx y 解得 110,1,xy 224,31.3xy
18、. . . .2 所以 AB 中点 21( , )33M ， . . . . . .3 于是直线 OM 的斜率为1132 23 . . . . . 4 （）假设存在直线 l ，使得 2| | | | | |A M C M D M成立 当直线 l 的斜率不存在时， AB 的中点 ( 1,0)M ， 所以 2|2AM ， | | | | ( 2 1 ) ( 2 1 ) 1C M D M ，矛盾； . .6 故可设直线 l 的方程为 ( 1)( 0)y k x k ，联立椭圆 G 的方程， 得 2 2 2 2( 2 1 ) 4 2 ( 1 ) 0k x k x k ， 设 11( , )Ax y ，
19、 22( , )Bx y ，则 212 2421kxx k ， 212 22( 1)21kxx k ， .7 于是 21 2 1 2222( 1 ) ( 1 )2 2 2 1 2 1y y x x kkkk kk ， 点 M 的坐标为 2222( , )2 1 2 1kk ， . . . . . .9 2 2 22 2 2 212 2 2 24 2 ( 1 ) 2 2 ( 1 )| | ( 1 ) ( ) 1 ( ) 42 1 2 1 2 1k k kA B k x x k k k k . . . . . . . . . . . . . . .10 直线 CD 的方程为 12yxk ，联立椭圆
20、 G 的方程，得 222421kx k ， 设 00( , )Cx y ，则 22 2 2 20 0 0221 4 1| | (1 )4 2 1kO C x y xkk ， . .11 由题知，10 2 2 2| | 4 | | | | 4 ( | | | |) ( | | | |) 4 ( | | | | )A B C M D M C O O M C O O M C O O M ， 即 2 2 2 2 22 2 2 2 28 (1 ) 4 1 ( 4 1 )4 ( )( 2 1 ) 2 1 ( 2 1 )k k k kk k k ， . . . . . . .12 化简，得 2 12k ，故
21、 22k ， . . . . . . . . . .13 所以直线 l 的方程为 2 ( 1)2yx， 2 ( 1)2yx . . . . .14 阅卷说明 ： 第 13、 14 分若少一种情况，可得一分 . 20.解：（） 1 1a ， 2 2a . . . . . . . . . . . .3 （）先证必要性： 因为 1 1a ， 2 2a ，又 1a ， 2a ， na 成等差数列， . . . . .4 故 nan ，所以 ( 1)() 2nnSA ； . . . . . . . . .5 再证充分性： 因为 12 na a a ， 1a ， 2a ， na 为正整数数列，故有 1 1
22、a ， 2 2a ， 3 3a ， 4 4a ， nan ， 所以12 ( 1 )( ) 1 2 2n nnS A a a a n ， . . . .6 又 ( 1)() 2nnSA ，故 mam （ 1m ， 2 ， n ），故 1a ， 2a ， na 为等差数列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 （）先证明 12mma （ 1m ， 2 ， n ） 假设存在 12ppa ，且 p 为最小的正整数 . . . . . . . . 9 依题意 3p ，则 1 2 1pa a a 211 2 2 2 1pp ，又因为 12 na a a ， 故当 1(2 1, )p pka时， k 不能等于集合 A 的任何一个子集所有元素的和 故假设不成立，即 12mma （ 1m ， 2 ， n ）成立 . . .10 因此 1122 0 1 7 1 2 2 2 1nnna a a ， 即 2 2018n ，所以 11n . . . . . . . . . . .11
