1、 九年级三角函数知识点、例题、中考真题 1、勾股定理：直角三角形两直角边 a 、 b 的平方和等于斜边 c 的平方。 222 cba 2、如下图，在 Rt ABC 中， C为直角，则 A的锐角三角函数为 ( A可换成 B)： 定 义 表达式 取值范围 关 系 正弦 斜边的对边AA sin caAsin 1sin0 A ( A 为锐角 ) BA cossin BA sincos 1co ssin 22 AA 余弦 斜边的邻边AA coscbAcos 1cos0 A ( A 为锐角 ) 正切 的邻边的对边Atan AA baAtan 0tan A ( A 为锐角 ) BA cottan BA ta
2、ncot AA cot1tan (倒数 ) 1cottan AA 余切 的对边的邻边AAA cot abAcot 0cot A ( A 为锐角 ) 3、 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 5、 0、 30、 45、 60、 90特殊角的三角函数值 (重要 ) 三角函数 0 30 45 60 90 sin 021 22 23 1 cos 123 2221 0 tan 0 33 1 3 - cot - 3 1 33 06、正弦、余弦的增减性： 当 0 90时， sin 随
3、 的增大而增大， cos 随 的增大而减小。 7、正切、余切的增减性： 当 0 90时， tan 随 的 增大而增大， cot 随 的增大而减小。 8、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）所有未知的边和角。 )90c o t(tan AA )90tan(cot AA BA cottan BA tancot )90c o s (s in AA )90s in(c o s AA BA cossin BA sincos A90B 90 得由 BA对边 邻边 斜边 A C B b a c A90B 90 得由 BA依据：边的关系： 222 cba ；角的关系： A+B=90；边角关系：
4、三角函数的定义。 (注意：尽量避免使用中间数据和除法 ) 9、应用举例： (1)仰角 ：视线在水平线上方的角； 俯角 ：视线在水平线下方的角。 仰角铅垂线水平线视线视线俯角(2)坡面的 铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡度 (坡比 )。用字母 i 表示，即 hi l 。坡度一般写成 1:m 的形式，如 1:5i等。 把坡面与水平面的夹角记作 (叫做坡角 )，那么 tanhi l 。 10、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图 3， OA、 OB、 OC、 OD 的方向角分别是： 45、135、 225。 11、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于 90的水平
5、角，叫做方向角。如图 4,OA、 OB、 OC、 OD 的方向角分别是：北偏东 30（东北方向） ， 南偏东 45（东南方向）， 南偏西 60（西南方向）， 北偏西 60（西北方向）。 12、 解斜三角形所根据的定理 (在 ABC 中 ) 正弦定理： S in CcS in BbS in Aa =2R. (R 是 ABC 外接圆半径 ). 余弦定理： c2=a2+b2 2abCosC； b2=c2+a2 2ca CosB； a2=c2+b2 2cbCosA. 互补的两个角的三角函数的关系： Sin(180 A)= sinA， Cos(180 A)= cosA ， tan(180 A)= cot
6、A， cotA(180 A)= tanA. S ABC 21 absinC= 21 bcsinA=21 casinB. 三角函数中考试题分类例题解说 :i h lhl一、三角函数的定义 例 1：（滨州市） 如图 1，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为 A ，关于 A 的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ） A sinA 的值越大，梯子越陡 B cosA 的值越大，梯子越陡 C tanA 的值越小，梯子越陡 D陡缓程度与 A 的函数值无关 分析：由锐角的正切、正弦和余弦的定义可知：锐角的正切、正弦值越大，梯子越陡，余弦值越小，梯子越陡。因此选 A。 二 、利用特殊角的三角函数值计算
7、 例 4：（ 辽宁省十二市 ） 计算： 242 ( 2 c o s 4 5 sin 6 0 ) 4 解： 2 3 2 62 ( 2 )2 2 4 原 式662 22 2 点评：熟记特殊角的三角函数值是解决此类问题的关键。 三 、求线段的长度 例 5：（云南省） 已知：如图 3，在 ABC 中， B = 45 ， C = 60 ， AB = 6。 求 BC 的长（结果保留根号） 分析：解决此类问题需要根据题意构造直角三角形，在直角三角形中加以研究。如图 4，过点 A 作 AD BC 于点 D。 在Rt ABD 中， B =45，则 AD = BD。不妨设 AD = x，又 AB = 6，所以有
8、x 2 x 2 = 62，解得 x =3 ，即 AD = BD =3 。在 Rt ACD 中，由 ACD = 60得 CAD = 30而 tan30 = CDAD ，即32CD，解得 CD = 。因此BC = BD + DC =3 + 6 。 下 面也是 2007年关于 锐角三角函数 的中考题，请自己完成。 1、（ 江西省） 如图 5，在 Rt ABC 中， 90C ， a b c， ， 分别是 A B C ， ， 的对边，若 2ba ，则tanA 2、 （大连市） 在 ABC 中， C 90， AB 10cm， sinA 54 ，则 BC 的长为 _cm。 3、（丽水市） 如图 6，一架梯子
9、斜靠在墙上，若梯子到墙的距离 AC =3 米， 3cos 4BAC，则梯子 AB 的长度为 米。 4、 （天津市） 45cos45sin 的值等于（ ） A. 2 B. 213 C. 3 D. 1 5、 （ 连云港市） 计算： 02 1 2 2 sin 4 5 6、 （岳阳市） 计算： 10 )21()13( |2-3| sin245 图 1 图 3 图 4 A C B c b a 图 5 图 6 A B C 7、（眉山市） 计算： 2 sin450 cos300 tan600 2)3( 8、（中山市） 如图 7， Rt ABC 的斜边 AB 5， cosA 53 。 (1)用尺规作图作线段
10、AC 的垂直平分线 l(保留作图痕迹，不要求写 作法、证明 )； (2)若直线 l 与 AB、 AC 分别相交于 D、 E 两点，求 DE的长。 答案： 1、 12 。 2、 8。 3、 4。 4、 A。 5、 2。 6、 12。 7、 - 12。 8、 2。 图 7 A C B 一、 选择题 1.（ 2009漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则 tan 的值是（ ） A 35 B 43 C 34 D 45 2.（ 2008威海中考）在 ABC 中， C 90， tanA 13 ，则 sinB（ ） A 1010 B 23 C 34 D 31010 3.（ 2009湖州中考）如图，在
11、Rt ABC 中， ACBRt ， 1BC ， 2AB ，则下列结论正确的是（ ） A 3sin 2A B 1tan 2A C 3cos 2B D tan 3B 3 题 4 题 5 题 4.（ 2008温州中考）如图，在 Rt ABC 中， CD 是斜边 AB 上的中线，已知 2CD ， 3AC ，则 sinB 的值是（ ） A 23 B 32 C 34 D 43 5（ 2007泰安中考）如图，在 ABC 中， 90ACB， CD AB 于 D ，若 23AC ， 32AB ，则 tan BCD 的值为（ ） （ A） 2 （ B） 22 （ C） 63 （ D） 33 二、填空题 6.（ 2
12、009梧 州 中考）在 ABC 中， C 90， BC 6 cm， 53sin A ，则 AB 的长是 cm 7.（ 2009孝感中考）如图，角 的顶点为 O，它的一边在 x 轴的正半轴上，另一边 OA 上有一点 P（ 3， 4），则 sin 7 题 8 题 A C B D 8.（ 2009庆阳中考）如图，菱形 ABCD 的边长为 10cm， DE AB， 3sin5A，则这个菱形的面积 = cm2 三 、 解答题 9.（ 2008宁夏中考）如图，在 ABC 中， C =90， sinA =54 ， AB =15，求 ABC 的周长和 tanA 的值 10.（ 2007芜湖中考）如图，在 AB
13、C 中， AD 是 BC 上的高， tan cosB DAC， (1) 求证： AC=BD； (2)若 12sin 13C ， BC=12，求 AD 的长 一、 选择题 2.（ 2009长春中考）菱形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如 图所示， 4 5 2A O C O C ， ，则点 B 的坐标为（ ） A ( 21)， B (1 2)， C ( 2 11)， D (1 2 1)， 3.(2009定西中考 )某人想沿着梯子爬上高 4 米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于 60，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ） A 8 米 B 83米 C 833 米 D 433 米 4
14、.（ 2008宿迁中考）已知 为锐角，且 23)10sin( ，则 等于（ ） 50 60 70 80 5.（ 2008毕节中考） A（ cos60， tan30）关于原点对称的点 A1 的坐标是（ ） A 1323，B 3323，C 1323，D 1322，6.（ 2007襄樊中考）计算： 2c o s 4 5 ta n 6 0 c o s 3 0 等于（ ） （ A） 1 （ B） 2 （ C） 2 （ D） 3 二、填空题 7. （ 2009荆门中考） 104 c o s 3 0 s in 6 0 ( 2 ) ( 2 0 0 9 2 0 0 8 ) =_ 8.（ 2009百色中考）如图，
15、在一次数学课外活动中，测得电线杆底部 B 与钢缆固定点 C 的距离为 4 米，钢缆与地面的夹角为60，则这条钢缆在电线杆上的固定点 A 到地面的 距离 AB 是 米（结果保留根号） 10.（ 2007济宁中考）计算 sin 60 tan 45cos 30 的值是 。 三、解答题 11.（ 2009黄石中考）计算： 3 1+(2 1)0 33 tan30 tan45 12.（ 2009崇左中考）计算： 0 200912 s in 6 0 3 ta n 3 0 ( 1 )3 要点三、解直角三角形在实际问题中的运用 一、 选择题 1.（ 2009白银中考）某人想沿着梯子爬上高 4 米的房顶，梯子的倾
16、斜角（梯子与地面的夹角）不能大于 60，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ） A 8 米 B 83米 C 833 米 D 433 米 2.（ 2009衢州中考）为测量如图所示上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据 (单位：米 )，则该坡道倾斜角 的正切值是（ ） A 14B 4 C 117D 4173.（ 2009益阳中考）如图，先锋村准备在坡角为 的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为 5 米，那么这两树在坡面上的距离 AB 为（ ） A. cos5 B. cos5C. sin5 D. sin5 1 题 2 题 3 题 4.（ 2009兰州中考）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相
17、邻两树间的水平距离）为 4m如果在坡度为 0.75 的山坡上种树，也要求株距为 4m，那么相邻两树间的坡面距离为（ ） A 5m B 6m C 7m D 8m 4 题 5 题 5.(2009潍坊中考 )如图，小明要测量河内小岛 B 到河边公路 l 的距离，在 A 点测得 30BAD ，在 C 点测得 60BCD ，又测得 50AC 米，则小岛 B 到公路 l 的距离为（ ）米 A 25 B 253 C 100 33 D 25 25 3 二、填空题 6.（ 2009沈阳中考）如图，市政府准备修建一座 高 AB 6m 的过街天桥，已知天桥的坡面 AC 与地面 BC 的夹角 ACB 的正弦值为 3
18、5 ，则坡面 AC 的长度为 m 7. （ 2009南宁中考）如图，一艘海轮位于灯塔 P 的东北方向，距离灯塔 402 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 30 方向上的 B 处，则海轮行驶的路程 AB 为 _海里（结果保留根号） 6 题 7 题 8 题 9 题 8.(2008庆阳中考 )如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离 AC =3 米， 3cos 4BAC，则梯子长 AB = 米 . 9.（ 2007湖州中考）小明发现在教学楼走廊上有一拖把以 15的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全。他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为 75，如果拖把的总长为 1.80m，则小明拓宽了行路通道 _m（结 5 米 A B 果保留三个有效数字，参考数据： sin1526， cos150.97） 三 、 解答题 10.（ 2009郴州中考）如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪 AB 的高度为 1.5 米，测 得仰角 为 30 ，点 B 到电灯杆底端 N 的距离 BN 为 10 米，求路灯的高度 MN 是多少米？（取 2 =1.414， 3 =1.732，结果保留两位小数）
