1、 1 唐山 市 2017-2018 学 年度第三年级第一学期期末考试 理 科数学 试卷 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 2 2 3 0A x x x= - - ?， lgB x y x=， 则 AB= ( ) A. )1,- +? B.( 0,1 C. )1,0- D.( 0,3 2.下图是一个边长为 4 的 正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400 个 点，其中落入黑色部分的有 225 个 点，据此可估计黑色部分的面积为 ( ) A.8 B.9 C.1
2、0 D.12 3.已 知 复数 31 iz i+= - ， 则关于 z 的 四个命题 ： 1:p z 的 虚部为 2i ； 2:p 5z= 3:p z 的 共轭复数为 12i- 4:p z 在 复平面内对应的点在第四象限 . 其中 的真命题为 ( ) A. 12,pp B. 24,pp C. 23,pp D. 34,pp 4.已 知 nS 为 等差数列 na 的 前 n 项 和 ，若 5 10S= ， 8 40S = ， 则 na 的 公差为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.已 知 偶函数 ()fx在 )0,+? 单调 递减，若 ( )20f -=， 则满足 ( )10xf x-的
3、 x 的 取值范围是( ) A.( ) ( ), 1 0, 3-? B.( ) ( )1, 0 3,- +? C.( ) ( ), 1 1,3-? 2 D.( ) ( )1,0 1,3- 6. ( ) 53121xx骣琪 +-琪桫的 展开式中的常数项为 ( ) A.12 B. 12- C. 8- D. 18- 7.一个几何体的三视图如图所示，则其体积为 ( ) A.10p+ B.2 2p+ C.2 12p+ D.2 4p+ 8.已知 12,FF为 双曲线 ( )2222: 1 0xy aabG - = 的 左、右焦点， P 为 双曲线 G左 支上一点，直线 1PF 与双曲线 G的 一条渐近线平
4、行， 12PF PF ， 则 a= ( ) A. 5 B.2 C.45 D.5 9.已 知 函数 ( ) 2 s in6f x x pw骣琪=+琪桫 ( )0w在 ( ),2pp上 单调递减，在 ( )2 ,3pp 上 单调递增，则( )f p = ( ) A.1 B.2 C. 1- D. 3 10.下图是一个程序框图，其中 0,1ia ， 1,2, ,in= ， 且 1na= ， 执行此程序，当输入 110011时，输出 b 的 值为 ( ) 3 A.19 B.49 C.51 D.55 11.在 三棱椎 P ABC- 中 ，底面 ABC 是 等边三角形，侧面 PAB 是 直角三角形，且 2P
5、A PB=，当三棱椎 P ABC- 表 面积最大时，该三棱椎外接球的表面积为 ( ) A.12p B.8p C.43p D.323p 12.设 3a= ， 33logb p= ， log 3c pp= ， 则 ,abc的 大小关系为 ( ) A.abc 的 焦距为 2c ， 圆 22: 2 0M x y cy+ - =与 椭圆 C 交 于 ,AB两点 ，若 OA OB (O 为 坐标原点 )，则椭圆 C 的 离心率为 . 16.在数列 na 中 ， 1 1a=- ， 2 2a= ， 4 8a= ， nS 为 数列 na 的 前 n 项 和，若 nS l+ 为 等比数列，则 l= . 三、解答题
6、 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. ABC 的 内角 ,ABC 的 对边分别为 ,abc， 已知 3 c o s 3 s inc B a b C-=. 4 (1)求 C ； (2)若 7c= ， ,abc成 等差数列，求 ABC 的 面积 . 18.如图，在四棱椎 P ABCD- 中 ，底面 ABCD 是 边长为 4 的 正方形，平面 PCD 平面 ABCD ，二面角 P AD C-为 30 ， 2PC= . (1)求证： PD 平面 PBC ； (2)求二面角 A PB C-的 余弦值 . 19.高 铁、购、移动支付和共享单车被誉为
7、中 国的 “ 新四大发明 ” ，彰显出中国式创新的强劲活力，某移动支付公司在我市随机抽取了 100 名 移动支付用户进行调查，得到如下数据： 每 周移动支付次数 1 次 2 次 3 次 4 次 5 次 6 次 及以上 男 4 3 3 7 8 30 女 6 5 4 4 6 20 合 计 10 8 7 11 14 50 (1) 如果认为每周使用移动支付超过 3 次 的用户 “ 喜欢使用移动支付 ” ，能否在犯错误概率不超过0.05 的 前提下，认为是否 “ 喜欢使用移动支付 ” 与性别有关？ (2) 每 周使用移动支付 6 次 及 6 次 以上的用户称为 “ 移动支付达人 ” ，视频率为概率，在我
8、市所有“ 移动支付达人 ” 中， 随机 抽取 4 名 用户， (i) 求 抽取的 4 名 用户中，既有男 “ 移动支付达人 ” 又有女 “ 移动支付达人 ” 的概率； (ii)为 了鼓励女性用户使用移动支付，对抽出的女 “ 移动支付达人 ” 每人奖励 500 元 ，记奖励总金额为 X ， 求 X 的 数学期望 . 附 表及公式： ( )( ) ( ) ( ) ( )22 n a d b cK a b c d a c b d-= + + + + 5 ( )2 0P K K 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.0722.706 3.841 5.0
9、24 6.635 7.879 10.828 20.已 知 F 为 抛物线 E ： 2 4xy= 的 焦点，过点 ( )2,0P 作 两条互相垂直的直线 ,mn， 直线 m 交 E 于不同的两点 ,AB， 直线 n 交 E 于 不同的两点 ,CD， 记直线 m 的 斜率为 k . (1)求 k 的 取值范围； (2)设线段 ,ABCD 的 中点分别为点 ,MN， 求证： MFN 为 钝角 . 21.已 知 函数 ( ) 2si nxf x e x ax=-. (1)求曲线 ( )y f x= 在 点 ( )( )0, 0f 处 的切线方程； (2)若 ( ) 0fx 在 区间 0,2p轾犏犏臌上
10、 恒成立，求 a 的 取值范围 . 22.在直角坐标系 xOy 中 ，椭圆 C 关 于坐标轴对称，以坐标原点 O 为 极点，以 x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系， 36,4A p骣琪琪桫， ( )2 3,0B 为 椭圆 C 上 两 点 . (1)求直线 OA的 直角坐标方程与椭圆 C 的 参数方程； (2)若点 M 在 椭圆 C 上 ，且点 M 在 第一象限内，求四边形 OAMB 面积 S 的 最大值 . 23.已知函数 ( ) 11f x x x= + - -， ( ) 2 2g x x ax= + -. (1)当 3a= 时， 求不等式 ( ) ( )f x g x 的 解集； (2)若
11、不等式 ( ) ( )f x g x 的 解集包含 1,1- ， 求 a 的 取值范围 . 6 唐山市 2017 2018 学年度高三年级第一学期期末考试 理科 数学 参考答案 一 选择题： A 卷 ： DBCBA CDAAC AB B 卷 ： DBCCA BDAAC AB 二填空题 ： （ 13） 1 （ 14） 9 （ 15） 5 12 （ 16） 1 3或 3 三解答题 ： （ 17） 解： （ ） 由 3ccos B 3a bsin C 及 正弦定理得 ， 3sin Ccos B 3sin A sin Bsin C， 因为 sin A sin (B C) sin Bcos C sin
12、Ccos B， 所以 3sin Bcos C sin Bsin C 因为 sin B 0， 所以 tan C 3， 因为 C (0， )，所以 C 23 （ ） 由 a， b， c 成等差数列得 2b a c， 又 c 7， 所以 a 2b 7 由余弦定理得 c2 a2 b2 ab， 所以 (2b 7)2 b2 (2b 7)b 49， 整理得 b2 5b 0， 解得 b 5 所以 a 3， 故 S ABC 1 2 3 5 32 15 34 （ 18） 解： （）因为 平面 PCD平面 ABCD， 且平面 PCD平面 ABCD CD， AD CD， 所以 AD平面 PCD，又 PD平面 PCD，
13、 则 PD AD， 所以 PDC 即为 二面角 P-AD-C 的平面角 ， PDC 30， 在 PDC 中，由余弦定理可得 PD 2 3， 所以 PD2 PC2 CD2，从而有 PD PC， 又因为 PD AD， AD BC， 所以 PD BC 又因为 PC BC C， 所以 PD平面 PBC （）以 D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz， 7 则 D(0， 0， 0)， A(4， 0， 0)， B(4， 4， 0)， C(0， 4， 0)， P(0， 3， 3)， DP (0， 3， 3)， AP ( 4， 3， 3)， AB (0， 4， 0) 由（）可知， DP 是平面
14、PBC 的一个法向量 设平面 PAB 的一个法向量为 n (x， y， z)， 由 AP n 0， AB n 0 得： 4x 3y 3z 0，4y 0， 令 x 3，得 n ( 3， 0， 4) cosn， DP n DP|n|DP | 2 1919 ， 又因为二面角 A-PB-C 为钝二面角， 所以 二面角 A-PB-C 的余弦值 为 2 1919 （ 19） 解： （）由图中表格可得列联表 不喜欢移动支付 喜欢移动支付 合计 男 10 45 55 女 15 30 45 合计 25 75 100 将列联表中的数据代入公式计算得 k n(ad bc)2(a b)(c d)(a c)(b d)1
15、00(45 15 30 10)225 75 55 45 3.03 3.841， 所以，在犯错误概率不超过 0.05 的前提下，不能认为 是否“喜欢使用移动支付”与性别有关 （ ） 视频率为概率， 在我市 “移动支付达人” 中，随机抽取 1 名用户，该用户为男“ 移动 支付达人”的概率为 3 5 ，女“移动支付达人”的概率为 2 5 （ ） 抽取的 4 名用户中，既有男“移动支付达人”，又有女“移动支付达人”的概率 P 1 ( 3 5 )4 8 ( 2 5 )4 528625； （ ）记 抽出的女 “移动支付达人”人数为 Y，则 YB(4, 2 5 )， E(Y) 8 5 ， 所以 X 的数学期
16、望 E(X) 500E(Y) 800 元 （ 20）解： （）由题可知 k 0，设直线 m 的方程为 y k(x 2)，与 x2 4y 联立， 整理得 x2 4kx 8k 0， 由 16k2 32k 0， 解得 k 0，或 k 2 设直线 n 的方程为 y t(x 2)，与 x2 4y 联立， 同理可得， t 0，或 t 2 因为 m n，所以 kt 1，得 1 k 0，或 1 k 2， 解得 k 0 或 1 2 k 0 故 k 的取值范围为 k| 1 2 k 0 或 k 2 （）设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， M(x0， y0) 由得， x1 x2 4k，则 x0 2k， y
17、0 2k2 2k，则 M(2k， 2k2 2k) 同理可得 N(2t， 2t2 2t)，又 F(0， 1)， 所以 FM (2k， 2k2 2k 1)， FN (2t， 2t2 2t 1)， FM FN 4kt (2k2 2k 1)(2t2 2t 1)， 将 kt 1 代入得， FM FN 2k2 2t2 6(k t) 3 2(k t)2 6(k t) 7 2(k t 3 2 )2 5 2 0 因为 2k(2t2 2t 1) 2t(2k2 2k 1) 2( 1 k k) 0，所以 FM 与 FN 不共线 综上， MFN 为钝角 （ 21） 解：（ ） 由 f (x) exsin x ax2，
18、得 f (0) 0 由 f (x) ex(cos x sin x) 2ax， 得 f (0) 1， 则切线斜率为 1 所以 切线方程为 y x （ ） （ ）当 x 0 时 ， f (0) 0，所以 a R （ ） 当 0 x 2 时 ， a exsin xx2 令 g (x) exsin xx2 ， x (0， 2 ，则 g (x)exx(sin x cos x) 2sin xx3 9 令 G (x) x(sin x cos x) 2sin x， x (0， 2 ， 则 G (x) (cos x sin x)(x 1)， 当 0 x 4 时 ， G (x) 0， G (x)单调递减； 当 4
19、 x 1 时 ， G (x) 0， G (x)单调递增； 当 1 x 2 时 ， G (x) 0， G (x)单调递减， 又 G (0) 0， G (1) cos 1 sin 1 0， 所以 G (x) 0，即 g (x) 0， 所以 g (x)在 (0， 2 上单调递减， g (x) g ( 2 ) 4e 22 ， 故 a 4e 22 （ 22） 解： （ ） 由 A( 6， 34 )得直线 OA 的倾斜角为 34 ， 所以直线 OA 斜率为 tan 34 1，即 OA： x y 0 由 x cos ， y sin 可得 A 的直角坐标为 ( 3， 3)， 因为 椭圆 C 关于坐标轴对称，且
20、 B(2 3， 0)， 所以可设 C： x212y2t 1，其中 t 0 且 t 12， 将 A( 3， 3)代入 C，可得 t 4，故椭圆 C 的方程为 x212y24 1， 所以椭圆 C 的参数方程为 x 2 3cos，y 2sin （ 为参数） （）由 （ ） 得 M(2 3cos ， 2sin )， 0 2 点 M 到直线 OA 的距离 d 6cos 2sin 所以 S S MOA S MOB (3cos 3sin ) 2 3sin 3cos 3 3sin 6sin( 6 )， 所以当 3 时，四边形 OAMB 面积 S 取得最大值 6 （ 23） 解： （） 不等式 |x 1| |x 1| x2 3x 2 等价于 x 1，2 x2 3x 2， 或 1 x 1，2x x2 3x 2， 或 x 1， 2 x2 3x 2 解得 ，或 1 x 1，或 3 x 1 所以不等式 f (x) g (x)的解集是 x| 3 x 1 （） x 1， 1， 令 F (x) g (x) f (x) x2 (a 2)x 2 不等式 f (x) g (x)的解集包含 1， 1等价于 10 F (1) a 3 0，F ( 1) 1 a 0， 解 得 1 a 3， 所以 a 的取值范 围为 1， 3. 欢迎 访问 “高 中试卷网 ”http:/sj.fjjy.org
