1、 1、证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。 例 1. 已知：如图 1 所示， ABC 中， C AC BC AD DB AE CF90 ， ， ，。 求证： DE DF C F BAED图1证明 ：连结 CD AC BCA BA C B AD DBCD BD AD DCB B AAE CF A DCB AD CD 90 ， ， ADE CDFDE DF例 2. 已知：如
2、图 2 所示， AB CD， AD BC， AE CF。 求证： E F DB CFEA图2 证明：连结 AC 在 ABC 和 CDA 中， AB CD BC AD AC CAABC CDA SSSB DAB CD AE CFBE DF ， ， ( )在 BCE 和 DAF 中， BE DFB DBC DABC E D AF SASE F ( ) 例 3. 如图 3 所示，设 BP、 CQ 是 ABC 的内角平分线， AH、 AK 分别为 A 到 BP、 CQ 的垂线。 求证： KH BC AB CM NQ PK H图3 证明：延长 AH 交 BC 于 N，延长 AK 交 BC 于 M BH
3、平分 ABC ABH NBH 又 BH AH AH B NH B 90 BH BH ABH N BH ASABA BN AH HN( )，同理， CA CM， AK KM KH 是 AMN 的中位线 KH MN/ / 即 KH/BC 例 4. 已知：如图 4 所示， AB AC， ， ，A AE BF BD DC 90 。 求证： FD ED B CAFED321图4 证明一：连结 AD AB AC BD DCD A E D A BBAC BD DCBD ADB D A B D A E ， ， ， 1 2 9090 在 ADE 和 BDF 中， AE BF B D A E AD BDA D E
4、 B D FFD ED ， ， 3 13 2 90证明二：如图 5 所示，延长 ED 到 M，使 DM ED，连结 FE， FM， BM B CAEFDM图5BD DCBD M C D E DM DEBD M C D ECE BM C C BMBM ACAABM AAB AC BF AEAF CE BM ， / /9090 AEF BFMFE FMDM DEFD ED 3、证明一线段和的问题 （一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法） 例 5. 已知：如图 6 所示在 ABC 中， B 60 ， BAC、 BCA 的角平分线 AD、 CE 相交于 O。
5、求证： AC AE CD 图6BCAE DFO1 42 356证明：在 AC上截取 AF AE BAD C A D AO AOAEO AFO SA S， 4 2又 B 60 5 6 601 602 3 1201 2 3 4 60 F O C DOC AASFC DC( )即 AC AE CD 例 6. 已知：如图 7 所示，正方形 ABCD 中， F 在 DC 上， E 在 BC 上， EAF 45 。 求证： EF BE DF G B E CAFD123图7 证明：延长 CB 至 G，使 BG DF 在正方形 ABCD 中， ABG D AB AD90 ， ABG AD F SASAG AF
6、 ( )， 1 3又 EAF 45 2 3 452 1 45 即 GAE FAE GE EFEF BE DF 4、中考题： 如图 8 所示，已知 ABC 为等边三角形，延长 BC 到 D，延长 BA 到 E，并且使 AE BD，连结 CE、 DE。 求证： EC ED EB DFAC图8 证明：作 DF/AC 交 BE 于 F ABC 是正三角形 BFD 是正三角形 又 AE BD AE FD BFBA AF EF 即 EF AC AC FDEAC EFDEAC DFE SASEC ED/ /( ) 例题：已知：如图 9 所示， 1 2， AB AC 求证： BD DC DBA1C2E图9 证
7、明一：延长 AC 到 E，使 AE AB，连结 DE 在 ADE 和 ADB 中， AE AB AD ADA D E A D BBD DE E BDCE BDCE EDE DC BD DC ， ，2 1 证明二：如图 10 所示，在 AB 上截取 AF AC，连结 DF DBA2C1F图1043则易证 ADF ADC 3 43 4，DF DCBFD BBFD BBD DFBD DC【实战模拟】 1. 已知：如图 11所示， ABC 中， C 90 ， D 是 AB 上一点， DE CD 于 D，交 BC于E，且有 AC AD CE 。求证： DE CD 12 C图1 1A BDE2. 已知：如
8、图 12 所示，在 ABC 中， A B2 ， CD是 C 的平分线。 求证： BC AC ADACBD图12 3. 已知：如图 13 所示， 过 ABC 的顶点 A，在 A 内任引一射线，过 B、 C 作此射线的垂线 BP 和 CQ。设 M 为 BC 的中点。 求证： MP MQBPMQCA图13 4. ABC 中， BAC AD BC90 ， 于 D，求证： AD AB AC BC 14 【试题答案】 1. 证明：取 CD的中点 F，连结 AF 3 EA D4 1CBF AC ADAF CDAFC CDE 90又 1 4 90 1 3 90， 4 312 AC CEAC F C ED AS
9、ACF EDDE CD ( )BDCAE证明：延长 CA至 E，使 CE CB，连结 ED 在 CBD 和 CED 中， CB CEBCD ECDCD CDCBD CEDB EBAC BBAC E 22又 BAC ADE E A D E E AD AEBC CE AC AE AC AD，3. 证明：延长 PM交 CQ 于 RQPBM CAR CQ AP BP APBP CQPBM RCM ，/ / 又 BM CM B M P C M R ， BPM CRMPM RMQM 是 RtQPR 斜边上的中线 MP MQ 4. 取 BC 中点 E，连结 AE AB CD E BACAE BC902 AD BC AD AEBC AE AD ，2 2 AB AC BCBC AB AC BCAD AB AC BCAD AB AC BC 2414
