1、 第 1 页 共 8页 七年级上册数学 第四单元 一元一次方程应用题 知识点 1：数字问题 （ 1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为 a，十位数字是 b，个位数字为 c（其中 a、 b、c 均为整数，且 1 a 9， 0 b 9， 0 c 9）则这个三位数表示为： 100a+10b+c（百位数字 a 100+十位数字 b 10+个位数字 c）。 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 （ 2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大 1；偶数用 2n 表示，连续的偶数用 2n+2 或 2n 2 表示；奇数用 2n+1 或 2n 1表示。 例 1.
2、 一个三位数，三个数位上的数字之和是 17，百位上的数比十位上的数大 7，个位上的数是十位上的数的 3 倍，求这个三位数。 分析 由已知条件给出了百位、个位与十位上的数的关系，若设十位上的数为 x，则百位上的数为 x+7，个位上的数是 3x，等量关系为三个数位上的数字和为 17。 解：设这个三位数十位上的数为 X，则百位上的数为 x+7，个位上的数是 3x x+x+7+3x=17 解得 x=2 x+7=9， 3x=6 答：这个三位数是 926 练习： 1. 一个两位数，个位上的数是十位上的数的 2 倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大 36，求原来的两位数。 2.有一个
3、两个位数，两个数位上的数字之和是 9，如果把个位数字与十位数字对调，那么所得的两位数比原来的两位数大 63.求原来的两位数。 知识点 2：若干应用问题等量关系的规律 （ 1）和、差、倍、分问题 此类题既可表示运算关系，又可表示相等关系，要结合题意特别注意题目中的关键词语的含义，如相等、和差、几倍、几分之几、多、少、快、慢等，它们能指导我们正确地列出代数式或方程式。 增长量原有量增长率 现在量 原有量增长量 （ 2）等积变形问题 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变 圆柱体的体积公式 V=底面积高 S h r2h 长方体的体积 V长宽高 abc 例 1.兄弟两人今年分别
4、为 15 岁和 9 岁，多少年后（或前）兄的年龄是弟的年龄的 2 倍。 解：设弟的年龄为 x 岁，根据题意得 15+x=2(9+x)，解得 x=-3 答： 3 年前兄的年龄是弟的年龄的 2 倍。 例 2：一个装满水的内部长、宽、高分别为 300 毫米， 300 毫米和 80 毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为 200 毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到 0.1 毫米， 3.14）。 解：设圆柱形水桶的高为 x 毫米，依题意，得 （ 2002 ） 2x=300 300 80 x 229.3 答：圆柱形水桶的高 约为 229.3 毫米。 例 3. 甲车队有 50 辆汽车，乙
5、车队有 41 辆汽车，如果要使乙车队汽车比甲车队汽车的辆数的 2 倍还多 1第 2 页 共 8页 辆，应从甲车队调多少辆车到乙队？ 分析 通过列表比较 车队 甲 乙 调配前 50 41 调配后 50-x 41+x 根据表格列方程： 41+x=2（ 50-x） +1，解得 x=20 辆 答：应从甲车队调 20 少辆车到乙队。 练习： 1在日历上，爷爷生日那天的上、下、左、右 4 个日期数的和为 80，你能说出爷爷的生日是几号吗？ 2.某粮库装粮食，第一个仓库是第二个仓库存粮的 3 倍，如果从第一个 仓库中取出 20 吨放入第二个仓库中，第二个仓库中的粮食是第一个中的 75 。问每个仓库各有多少粮
6、食？ 3.甲乙两桶内共有水 48 克，如果甲桶给乙桶加水一倍，然后乙桶又给甲桶加甲桶剩余水的一倍，这时两桶内水的质量相等，那么原来甲乙两桶各有多少千克水？ 4.长方体甲的长、宽、高分别为 260mm， 150mm， 325mm，长方体乙的底面积为 130 130mm2，又知甲的体积是乙的体积的 2.5 倍，求乙的高？ 知识点 3：行程问题 基本量之间的关系： 路程 速度时间 时间路程速度 速度路程时间 （ 1）相遇问题 快行距慢行距原距 （ 2）追及问题 快行距慢行距原距 （ 3）航行问题 顺水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度 逆水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度 抓住两码头间距离
7、不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系 例 1. 甲、乙两站相距 480 公里，一列慢车从甲站开出，每小时行 90 公里，一列快车从乙站开出，每小时行 140 公 里。 （ 1）慢车先开出 1 小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？ （ 2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距 600 公里？ （ 3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距 600 公里？ （ 4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？ 第 3 页 共 8页 （ 5）慢车开出 1 小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢
8、车？ 此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析。 （ 1）分析 ：相遇问题，画图表示为： 等量关系是：慢车走的路程 +快车走的路程 =480 公里。 解：设快车开出 x 小时后两车相遇，由题意得， 140x+90(x+1)=480 解这个方程， 230x=390 ,23161x 答：快车开出 23161 小时两车相遇 （ 2）分析：相背而行，画图表示为： 等量关系是：两车所走的路程和 +480 公里 =600 公里。 解：设 x 小时后两车相距 600 公里， 由题意得， (140+90)x+480=600 解这个方程， 230x=120 x= 2312 答
9、： 2312 小时后两车相距 600 公里。 （ 3）分析：等量关系为：快车所走路程慢车所走路程 +480 公里 =600 公里。 解：设 x 小时后两车相距 600 公里，由题意得， (140 90)x+480=600 50x=120 x=2.4 答： 2.4 小时后两车相距 600 公里。 （ 4）分析：追及问题，画图表示为： 等量关系为：快车的路程 =慢车走的路程 +480 公里。 解：设 x 小时后 快车追上慢车。 由题意得， 140x=90x+480 解这个方程， 50x=480 x=9.6 答： 9.6 小时后快车追上慢车。 （ 5）分析：追及问题，等量关系为：快车的路程 =慢车走
10、的路程 +480 公里。 解：设快车开出 x 小时后追上慢车。由题意得， 140x=90(x+1)+480 50x=570 x=11.4 答：快车开出 11.4 小时后追上慢车。 练习： 1. 甲乙两人在同一道路上从相距 5 千米的 A、 B 两地同向而行，甲的速度为 5 千米 /小时，乙的速度为 3 千米 /小时，甲带着一只狗，当甲追乙时，狗先追上乙 ，再返回遇上甲，再返回追上乙，依次反复，直至甲追上乙为止，已知狗的速度为 15 千米 /小时，求此过程中，狗跑的总路程是多少？ 2.已知甲、乙两地相距 120 千米，乙的速度比甲每小时快 1 千米，甲先从 A 地出发 2 小时后，乙从 B 地出
11、发，与甲相向而行经过 10 小时后相遇，求甲乙的速度？ 甲 乙 6 0 0 甲 乙 甲 乙 第 4 页 共 8页 3有一火车以每分钟 600 米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多 5 秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的 2 倍短 50 米，试求各铁桥的长。 例 2 某船从 A 地顺流而下到达 B 地，然后逆流返回，到达 A、 B 两地之间的 C 地，一共航行了 7 小时，已知此船在静水中的速度为 8 千米 /时，水流速度为 2 千米 /时。 A、 C 两地之间的路程为 10 千米，求 A、 B 两地之间的路程。 分析 这 典型的行船问题，这类问题中要弄清： （ 1）
12、 顺水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度 （ 2）逆水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度 本题中相等关系为：顺流航行的时间 +逆流航行灯时间 =7 小时。 解：设 A、 B 两码头之间的航程为 x 千米，则 B、 C 之间的航程为（ x-10）千米。 由题意得： 728 1028 xx ，解方程得 x=32.5 千米。 答： A、 B 之间的距离为 32.5 千米。 练习： 1. 一队学生去军事训练，走到半路，队长有事要从队头通知到队尾，通讯员以 18 米 /分的速度从队头至队尾又返回，已知队伍的行进速度为 14 米 /分。问： 若已知队长 320 米，则通讯员几分钟返回？ 若已知通讯
13、员用了 25 分钟，则队长为多少米？ 2一架飞机在两个城市之间飞行，风速为 24 千米 /小时，顺风飞行需要 2 小时 50 分，逆风飞行需要 3 小时，求两个城市之间的飞行路程？ 3一轮船在甲、乙两码头之间航行，顺水航行需要 4 小时，逆水航行需要 5 小时 ，水流的速度为 2 千米 /时，求甲、乙两码头之间的距离。 知识点 4：工程问题 工作量工作效率工作时间 工作效率工作量工作时间 工作时间工作量工作效率 完成某项任务的各工作量的和总工作量 1 例 1. 一件工作，甲独作 10 天完成，乙独作 8 天完成，两人合作几天完成？ 分析 甲独作 10 天完成，说明的他的工作效率是 ,101 乙
14、的工作效率是 ,81 等量关系是：甲乙合作的效率合作的时间 =1 第 5 页 共 8页 解：设合作 X 天完成 , 依题意得方程9401)81101( xx 解得答：两人合作 940 天完成 例 2. 一件工程，甲独做需 15 天完成，乙独做需 12 天完成，现先由甲、乙合作 3 天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？ 分析 设工程总量为单位 1，等量关系为：甲完成工作量 +乙完成工作量 =工作总量。 解：设乙还需 x 天完成全部工程，设工作总量为单位 1，由题意得， 5365331123)121151( xx 解之得 答：乙还需 536 天才能完成全部工程。
15、 例 3. 一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管 6 小时可注满水池；单独开乙管 8 小时可注满水池，单独开丙管 9 小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放 2 小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池？ 分析 等量关系为：甲注水量 +乙注水量 -丙排水量 =1。 解：设打开丙管后 x 小时可注满水池， 由题意得， 1342133019)2()8161( xxx 解这个方程得 答：打开丙管后 1342 小时 可注满水池。 练习： 1.一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需 6 小时，乙独做需 4 小时，甲先做 30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需
16、多少小时才能完成工作？ 2.某车间有 16 名工人，每人每天可加工甲种零件 5 个或乙种零件 4 个在这 16 名工人中，一部分人加工 甲种零件，其余的加工乙种零件 已知每加工一个甲种零件可获利 16 元，每加工一个乙种零件可获利 24 元若此车间一共获利 1440 元， 求这一天有几个工人加工甲种零件。 3.一项工程甲单独做需要 10 天，乙需要 12 天，丙单独做需要 15 天，甲、丙先做 3 天后，甲因事离去，乙参与工作，问还需几天完成？ 知识点 5：市场经济、打折销售问题 （ 1）商品利润商品售价商品成本价 （ 2）商品利润率 商品利润商品成本价 100% （ 3）商品销售额商品销售价
17、商品销售量（ 4）商品的销售利润（销售价成本价）销售量 第 6 页 共 8页 （ 5）商品打几折出售，就是按原价的百分之几十出售，如商品打 8 折出售，即按原价的 80%出售。 例 1. 某商店开张，为了 吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种皮鞋进价 60 元一双，八折出售后商家获利润率为 40%，问这种皮鞋标价是多少元？优惠价是多少元？ 分析 通过列表分析已知条件，找到等量关系式 进价 折扣率 标价 优惠价 利润率 60 元 8 折 X 元 80%X 40% 等量关系：商品利润率 =商品利润 /商品进价 解：设标价是 X 元， 80% 60 4060 100x 解之： x=105
18、优惠价为 ),(841 0 51 0 080%80 元x 答：这种 皮鞋标价是 105 元。优惠价是 84 元。 例 2. 一家商店将某种服装按进价提高 40%后标价，又以 8 折优惠卖出，结果每件仍获利 15 元，这种服装每件的进价是多少？ 分析 探究题目中隐含的条件是关键，可直接设出成本为 X 元 进价 折扣率 标价 优惠价 利润 X 元 8 折 （ 1+40%） X 元 80%（ 1+40%） X 15 元 等量关系：（利润 =折扣后价格 进价）折扣后价格进价 =15 解：设进价为 X 元， 80%X（ 1+40%） X=15， X=125 答：进价是 125 元。 练习： 1.一家商店
19、将一种自行车按进价提高 45%后标价， 又以八折优惠卖出，结果每辆仍获利 50 元，这种自行车每辆的进价是多少元？若设这种自行车每辆的进价是 x 元，那么所列方程为（ ） A. 45%（ 1+80%） x-x=50 B. 80%（ 1+45%） x - x = 50 C. x-80%（ 1+45%） x = 50 D. 80%（ 1-45%） x - x = 50 2某商品的进价为 800 元，出售时标价为 1200 元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于 5%，则至多打几折。 3一家商店将某种型号的彩 电先按原售价提高 40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”。经
20、顾客投拆后，拆法部门按已得非法收入的 10 倍处以每台 2700 元的罚款，求每台彩电的原售价。 知识点 6 储蓄、储蓄利息问题 (1）顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的 20%付利息税 (2）利息 =本金利率期数 本息和 =本金 +利息 利息税 =利息税率（ 20%） 第 7 页 共 8页 (3） %,1 0 0本金每个期数内的利息利润例 1. 某同学把 250 元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和 252.7 元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税） 分析 等量关系：本息和
21、=本金（ 1+利率） 解：设半年期的实际利率为 X，依题意得方程 250（ 1+X） =252.7， 解得 X=0.0108 所以年利率为 0.0108 2=0.0216 答：银行的年利率是 21.6% 例 2. 为了准备 6 年后小明上大学的学费 20000 元，他的父亲现在就参加了教育储蓄，下面有三种教育储蓄方式： (1）直接存入一个 6 年期； (2）先存入一个三年期， 3 年后将本息和自动转存一个三年期； (3）先存入一个一年期的，后将本息和自动转存下一个一年期；你认为哪种教育储蓄方式开始存入的本金比较少？ 分析 这种比较几种方案哪种合理的题目，我们可以分别计算出每种教育储蓄的本金是多
22、少，再进行比较。 解： (1）设存入一个 6 年的本金是 X 元 ,依题意得方程 X（ 1+6 2.88%） =20000，解得 X=17053 (2）设存入两个三年期开始的本金为 Y 元， Y（ 1+2.7% 3） (1+2.7% 3） =20000， X=17115 (3）设存入一年期本金 为 Z 元 ， Z（ 1+2.25%） 6=20000， Z=17894 所以存入一个 6 年期的本金最少。 练习 1小刚的爸爸前年买了某公司的二年期债券 4500 元，今年到期，扣除利息税后，共得本利和约 4700 元，问这种债券的年利率是多少（精确到 0.01%）。 2（北京海淀区）白云商场购进某种
23、商品的进价是每件 8 元，销售价是每件 10 元（销售价与进价的差价 2元就是卖出一件商品所获得的利润）现为了扩大销售量， 把每件的销售价降低 x%出售， 但要求卖出一件商品所获得的利润是降价前所获得的利润的 90%，则 x 应等于（ ） 。 A 1 B 1.8 C 2 D 10 3.用若干元人民币购买了一种年利率为 10% 的一年期债券，到期后他取出本金的一半用作购物，剩下的一半和所得的利息又全部买了这种一年期债券（利率不变），到期后得本息和 1320 元。问张叔叔当初购买这咱债券花了多少元？ 知识点 7：方案选择问题 例 1某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为 1000
24、 元， 经粗加工后销售，每吨 利润可达 4500 元，经精加工后销售，每吨利润涨至 7500 元，当地一家公司收购这种蔬菜 140 吨，该公司 的加工生产能力是： 如果对蔬菜进行精加工，每天可加工 16 吨，如果进行精加工，每天可加工 6 吨，但 一年 2.25 三年 2.70 六年 2.88 第 8 页 共 8页 两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在 15 天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为 此公司研制了三种可行方案： 方案一：将蔬菜全部进行粗加工。 方案二：尽可能多地对蔬菜进行粗加工，没来得及进行加工的蔬菜， 在市场上直接销售。 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行
25、粗加工，并恰好 15 天完成。 你认为哪种方案获利最多？为什么？ 解：方案一：获利 140 4500=630000（元） 方案二：获利 15 6 7500+（ 140-15 6） 1000=725000（元） 方案三：设精加工 x 吨，则粗加工（ 140-x）吨。 依题意得 1406 16xx =15 解得 x=60 获利 60 7500+（ 140-60） 4500=810000（元） 因为第三种获利最多，所以应选择方案三。 例 2 某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全 球通”使用者先缴 50 元月基础费，然后每通话 1 分钟，再付电话费 0.2 元；“神州行”不缴月基础费，每通话 1
26、分钟需付话费 0.4 元（这里均指市内电话） 。 若一个月内通话 x 分钟，两种通话方式的费用分别为 y1元和 y2元 。 （ 1）写出 y1， y2与 x 之间的函数关系式（即等式） （ 2）一个月内通话多少分钟，两种通话方式的费用相同？ （ 3）若某人预计一个月内使用话费 120 元，则应选择哪一种通话方式较合算？ 解：（ 1） y1=0.2x+50， y2=0.4x （ 2）由 y1=y2得 0.2x+50=0.4x，解 得 x=250 即当一个月内通话 250 分钟时，两种通话方式的费用相同。 （ 3）由 0.2x+50=120，解得 x=350 由 0.4x+50=120，得 x=3
27、00 因为 350300 故第一种通话方式比较合算 练习： 1某家电商场计划用 9 万元从生产厂家购进 50 台电视机已知该厂家生产 3 种不同型号的电视机，出厂价分别为 A 种每台 1500 元， B 种每台 2100 元， C种每台 2500元。 （ 1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共 50 台，用去 9 万元，请你研究一下商场的进 货方案。 （ 2）若商场销售一台 A 种电视机可获利 150 元，销售一台 B 种电视机可获利 200 元， 销售一台 C 种电视机可获利 250 元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？ 2某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时 0.40 元，若每月用电量超过 a 千瓦时，则超过部分按基本电价的 70%收费。（ 1）某户八月份用电 84 千瓦时，共交电费 30.72 元，求 a （ 2）若该用户九月份的平均电费为 0.36 元，则九月份共用电多少千瓦时？ 应交电费是多少元？
