1、- 1 - 全等三角形问题中常见的辅助线的作法 (有答案 ) 常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。 1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法 构造全等三角形 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法 构造全等三角形 3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（ 1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考 知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理（ 2）可以在
2、角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（ 3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。 4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段 的和、差、倍、分等类的题目 6) 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角
3、形。 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答 - 2 - D CBAEDFCBA一、倍长中线（线段）造全等 例 1、已知，如图 ABC 中， AB=5， AC=3，则中线 AD 的取值范围是 _. 例 2、如图， ABC 中， E、 F 分别在 AB、 AC 上， DE DF， D 是中点，试比较 BE+CF与 EF的大小 . 例 3、如图， ABC 中， BD=DC=AC， E 是 DC 的中点，求证： AD 平分 BAE. ED CBA应用： 1、（ 09 崇文二模）以 ABC 的两边 AB 、 AC为腰分别向外作等腰
4、Rt ABD 和等腰 Rt ACE ，9 0 ,B A D C A E 连接 DE， M、 N分别是 BC、 DE的中点探究： AM与 DE的位置关系及数量关系 （ 1）如图 当 ABC 为直角三角形时， AM与 DE的位置关系是 ， 线段 AM与 DE的数量关系是 ； （ 2）将图 中的等腰 Rt ABD 绕点 A沿逆时针方向旋转 (0AD+AE. ED CBA- 5 - OEDCBAFEDCBA四、借助角平分线造全等 1、如图，已知在 ABC 中， B=60， ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求证： OE=OD 2、如图， ABC 中， AD 平分 BAC， DG BC 且平
5、分 BC， DE AB 于 E， DF AC 于 F. （ 1）说明 BE=CF 的理由；（ 2）如果 AB=a ， AC=b ，求 AE、 BE 的长 . 应用： 1、如图， OP 是 MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （ 1）如图，在 ABC 中， ACB 是直角， B=60， AD、 CE 分别是 BAC、 BCA 的平分线， AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD之间的数量关系； （ 2）如图，在 ABC 中，如果 ACB 不是直角，而 (1)中的其它条件不变，请问，你在 (1
6、)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。 五、旋转 例 1 正方形 ABCD 中， E 为 BC 上的一点， F 为 CD 上的一点， BE+DF=EF，求 EAF 的EDGFCBA(第 23 题图 ) O P A M N E B C D F A C E F B D 图 图 图 - 6 - NMEFACBA度数 . 例 2 D 为等腰 Rt ABC 斜边 AB 的中点， DM DN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。 （ 1） 当 MDN 绕点 D 转动时，求证 DE=DF。 （ 2） 若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。 0120BDC，以例 3 如
7、图， ABC 是边长为 3 的等边三角形， BDC 是等腰三角形，且D 为顶点做一个 060 角，使其两边分别交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，连接 MN，则 AMN 的周长为 ； B CDNMA应用： 1、已知四边形 ABCD 中， AB AD ， BC CD ， AB BC ， 120ABC ， 60MBN ， MBN 绕B 点旋转，它的两边分别交 AD DC， （或它们的延长线）于 EF， 当 MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时（如图 1），易证 AE CF EF 当 MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予
8、证明；若不成立，线段 AE CF， ， EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明 （图 1） A B C DE FM N （图 2） A B C D E FM N （图 3） A B C DE FM N - 7 - 2、（西城 09 年一模） 已知 :PA= 2 ,PB=4,以 AB 为一边作正方形 ABCD,使 P、 D 两点落在直线 AB 的两侧 . (1)如图 ,当 APB=45时 ,求 AB 及 PD 的长 ; (2)当 APB 变化 ,且其它条件不变时 ,求 PD 的最大值 ,及相应 APB 的大小 . 3 、 在等 边 ABC 的两边 AB 、 AC 所 在 直 线 上分
9、 别 有两 点 M 、 N ， D 为 ABC 外一点，且 60MDN , 120BDC ,BD=DC. 探究：当 M、 N 分别在直线 AB、 AC 上移动时， BM、 NC、 MN 之间的数量关系及 AMN 的周长 Q 与等边 ABC 的周长 L 的关系 图 1 图 2 图 3 （ I） 如图 1，当点 M、 N 边 AB、 AC 上，且 DM=DN 时， BM、 NC、 MN 之间的数量关系是 ； 此时 LQ ； （ II） 如图 2，点 M、 N 边 AB、 AC 上，且当 DM DN 时，猜想 （ I） 问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （ III） 如图 3，当 M、
10、 N 分别在边 AB、 CA 的延长线上时， 若 AN=x ，则 Q= （用 x 、 L 表示） 参考答案与提示 一、倍长中线（线段）造全等 - 8 - D CBAEDFCBA例 1、（“希望杯”试题）已知，如图 ABC 中， AB=5， AC=3，则中线 AD 的取值范围是 _. 解：延长 AD 至 E 使 AE 2AD，连 BE，由三角形性质知 AB-BE 2ADAB+BE 故 AD 的取值范围是 1AD4 例 2、如图， ABC 中， E、 F 分别在 AB、 AC 上， DE DF， D 是中点，试比较 BE+CF与 EF的大小 . 解： (倍长中线 ,等腰三角形“三线合一”法 )延长
11、 FD至 G使 FG 2EF，连 BG， EG, 显然 BG FC， 在 EFG 中，注意到 DE DF，由等腰三角形的三线合一知 EG EF 在 BEG 中，由三角形性质知 EGBG+BE 故： EFBE+FC 例 3、 如图， ABC 中， BD=DC=AC， E 是 DC 的中点，求证： AD 平分 BAE. ED CBA解：延长 AE 至 G 使 AG 2AE，连 BG， DG, 显然 DG AC， GDC= ACD 由于 DC=AC，故 ADC= DAC 在 ADB 与 ADG 中， BD AC=DG， AD AD， ADB= ADC+ ACD= ADC+ GDC ADG 故 ADB
12、 ADG，故有 BAD= DAG，即 AD 平分 BAE 应用： 1、 1、（ 09崇 文二模）以 ABC 的两边 AB 、 AC为腰分别向外作等腰 Rt ABD 和等腰 Rt ACE ，9 0 ,B A D C A E 连接 DE， M、 N分别是 BC、 DE的中点探究： AM与 DE的位置关系及数量关系 （ 1）如图 当 ABC 为直角三角形时， AM与 DE的位置关系是 ， 线段 AM与 DE的数量关系是 ； （ 2）将图 中的等腰 Rt ABD 绕点 A沿逆时针方向旋转 (0 90)后，如图 所示，（ 1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由 - 9 - 解：（ 1） AM D
13、E， AM= DE； （ 2）结论仍然成立， 证明：如图，延长 CA 至 F，使 FA=AC， FA 交 DE 于点 P，连接 BF， DA BA， EA AF， BAF=90+DAF=EAD， 在 FAB 与 EAD 中： FA=AE， BAF=EAD， BA=DA， FABEAD（ SAS）， BF=DE， F=AEP， FPD+F=APE+AEP=90， FB DE， 又 CA=AF， CM=MB， AMFB 且 AM= FB， AM DE， AM= DE。 二、截长补短 1、如图， ABC 中， AB=2AC， AD 平分 BAC ，且 AD=BD，求证： CD AC 解：（截长法）在
14、 AB 上取中点 F，连 FD ADB 是等腰三角形， F 是底 AB 中点，由 三线合一知 DF AB，故 AFD 90 ADF ADC（ SAS） ACD AFD 90即 ： CD AC - 10 - EDCBADCBAPQCBA2、如图， AD BC， EA,EB 分别平分 DAB, CBA， CD 过点 E，求证 ;AB AD+BC 解：（截长法）在 AB 上取点 F，使 AF AD，连 FE ADE AFE（ SAS） ADE AFE， ADE+ BCE 180 AFE+ BFE 180 故 ECB EFB FBE CBE（ AAS） 故有 BF BC 从而 ;AB AD+BC 3、
15、如图，已知在 ABC 内， 060BAC， 040C ， P， Q 分别在 BC， CA 上，并且 AP， BQ 分别是 BAC ，ABC 的角平分线。求证： BQ+AQ=AB+BP 解：（补短法 , 计算数值法 ）延长 AB 至 D，使 BD BP，连 DP 在等腰 BPD 中，可得 BDP 40 从而 BDP 40 ACP ADP ACP（ ASA） 故 AD AC 又 QBC 40 QCB 故 BQ QC BD BP 从而 BQ+AQ=AB+BP 4、如图，在四边形 ABCD 中， BC BA,AD CD， BD 平分 ABC ， 求证： 0180 CA 解：（补短法）延长 BA 至 F，使 BF BC，连 FD BDF BDC（ SAS） 故 DFB DCB ， FD DC 又 AD CD
