1、高中数学 试卷第 1页，共 9 页 圆锥曲线练习 一、选择题 (本大题共 13 小题，共 65.0分 ) 1.若曲线 表示椭圆，则 k 的取值范围是（ ） A.k 1 B.k -1 C.-1 k 1 D.-1 k 0 或 0 k 1 2.方程 表示椭圆的必要不充分条件是（ ） A.m （ -1， 2） B.m （ -4， 2） C.m （ -4， -1） （ -1， 2） D.m （ -1， + ） 3.已知椭圆： + =1，若椭圆的焦距为 2，则 k 为（ ） A.1 或 3 B.1 C.3 D.6 4.已知椭圆的焦点为（ -1， 0）和（ 1， 0），点 P（ 2， 0）在椭圆上，则椭圆的
2、标准方程为（ ） A. B. C. D. 5.平面内有两定点 A、 B 及动点 P，设命题甲是： “|PA|+|PB| 是定值 ” ，命题乙是： “ 点P 的轨迹是以 A、 B 为焦点的椭圆 ” ，那么 ( ) A.甲是乙成立的充分不必要条件 B.甲是乙成立的必要不充分条件 C.甲是乙成立的充要条件 D.甲是乙成立的非充分非必要条件 6.“ a 0， b 0” 是 “ 方程 ax2+by2=1 表示椭圆 ” 的（ ） A.充要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件 7.方程 + =10，化简的结果是（ ） A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. +
3、 =1 8.设椭圆 的左焦点为 F， P 为椭圆上一点，其横坐标为 ，则 |PF|=（ ） A. B. C. D. 9.若点 P 到点 F（ 4， 0）的距离比它到直线 x+5=0 的距离小 1，则 P 点的轨迹方程是（ ） A.y2=-16x B.y2=-32x C.y2=16x D.y2=32x 10.抛物线 y=ax2（ a 0）的准线方程是（ ） A.y=- B.y=- C.y= D.y= 11.设抛物线 y2=4x上一点 P 到直线 x=-3 的距离为 5，则点 P到该抛物线焦点的距离是（ ） A.3 B.4 C.6 D.8 高中数学 试卷第 2页，共 9 页 12.已知点 P 是抛
4、物线 x= y2上的一个动点，则点 P 到点 A（ 0， 2）的距离与点 P到 y轴的距离之和的最小值为（ ） A.2 B. C. -1 D. +1 13.若直线 y=kx-2 与抛物线 y2=8x交于 A， B 两个不同的点，且 AB 的中点的横坐标为 2，则 k=（ ） A.2 B.-1 C.2 或 -1 D.1 二、填空题 (本大题共 2 小题，共 10.0分 ) 14.在平面直角坐标系 xOy中，已知 ABC 顶点 A（ -4， 0）和 C（ 4， 0），顶点 B 在椭圆上，则 = _ 15.已知椭圆 ，焦点在 y轴上，若焦距等于 4，则实数k=_ 三、解答题 (本大题共 6 小题，共
5、 72.0分 ) 16.已知三点 P（ ， - ）、 A（ -2， 0）、 B（ 2， 0）求以 A、 B 为 焦点且过点 P 的椭圆的标准方程 17.已知椭圆 + =1（ a b 0）的离心率为 ，短轴长为 4椭圆与直线 y=x+2相交于 A、 B 两点 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）求弦长 |AB| 18.设焦点在 y轴上的双曲线渐近线方程为 y= x，且焦距为 4，已知点 A（ 1， ） （ 1）求双曲线的标准方程； （ 2）已知点 A（ 1， ），过点 A 的直线 L 交双曲线于 M， N 两点，点 A 为线段 MN 的中点，求直线 L 方程 高中数学 试卷第 3页，共 9 页 19
6、.已知抛物线的标准方程是 y2=6x， （ 1）求它的焦点坐标和准线方 程， （ 2）直线 L 过已知抛物线的焦点且倾斜角为 45 ，且与抛物线的交点为 A、 B，求 AB的长度 20.已知椭圆 的离心率 ，直线 y=bx+2 与圆 x2+y2=2 相切 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）已知定点 E（ 1， 0），若直线 y=kx+2（ k0 ）与椭圆相交于 C， D 两点，试判断是否存在实数 k，使得以 CD 为直径的圆过定点 E？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由 21.已知椭圆 C： 4x2+y2=1 及直线 L： y=x+m （ 1）当直线 L 和椭圆 C 有公共点时，求实数
7、 m的取值范围； （ 2）当直线 L 被椭圆 C 截得的弦最长时，求直线 L 所在的直线方程 答案和解析 【答案】 1.D 2.B 3.A 4.B 5.B 6.C 7.C 8.D 9.C 10.B 11.A 12.C 13.A 14. 15.816.解：（ 1） 2a=PA+PB=2 ， 所以 a= ，又 c=2，所以 b2=a2-c2=6 则以 A、 B 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程为：+ =1 17.解：（ 1） 椭圆 + =1（ a b 0） 的离心率为 ，短轴长为 4， ， 解得 a=4， b=2， 椭圆方程为 =1 高中数学 试卷第 4页，共 9 页 （ 2）联立 ，得 5x2
8、+16x=0， 解得 ， ， A （ 0， 2）， B（ - ， - ）， |AB|= = 18.解：（ 1）设双曲线的标准方程为 （ a 0， b 0），则 双曲线渐近线方程为 y= x，且焦距为 4， ， c=2 c2=a2+b2 a=1， b= 双曲线的标准方程为 ； （ 2）设 M（ x1， y1）， N（ x2， y2），代入双曲线方程可得 ， 两式相减，结合点 A（ 1， ）为线段 MN 的 中点，可得 = 直线 L 方程为 ，即 4x-6y-1=0 19.解：（ 1）抛物线的标准方程是 y2=6x，焦点在 x轴上，开口向右， 2p=6， = 焦点为 F（ ， 0），准线方程： x
9、=- ， （ 2） 直线 L 过已知抛物线的焦点且倾斜角为 45 ， 直线 L 的方程为 y=x- ， 代入抛物线 y2=6x化简得 x2-9x+ =0， 设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），则 x1+x2=9， 所以 |AB|=x1+x2+p=9+3=12 故所求的弦长为 12 20.解：（ 1）因为直线 l： y=bx+2 与圆 x2+y2=2 相切， ， b=1， 椭圆的离心率 ， ， 高中数学 试卷第 5页，共 9 页 a2=3， 所求椭圆的方程是 （ 2）直线 y=kx+2 代入椭圆方程，消去 y可得：（ 1+3k2） x2+12kx+9=0=36 k2-36 0， k
10、 1 或 k -1， 设 C（ x1， y1）， D（ x2， y2），则有 ， ， 若以 CD 为直径的圆过点 E，则 ECED ， ， ， （ x1-1）（ x2-1） +y1y2=0 （ 1+k2） x1x2+（ 2k-1）（ x1+x2）+5=0 ， 解得 ， 所以存在实数 使得以 CD 为直径的圆过定点 E 21.解：（ 1）由方程组 ，消去 y， 整理得 5x2+2mx+m2-1=0（ 2 分） =4 m2-20（ m2-1） =20-16m2（ 4 分） 因为直线和椭圆有公共点的条件是 0 ，即 20-16m20 ， 解之得 - （ 5 分） （ 2）设直线 L 和椭圆 C 相交
11、于两点 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）， 由韦达定理得 ，（ 8 分） 弦长 |AB|= = = ， - ， 当 m=0 时， |AB|取得最大值，此时直线 L 方程为 y=x（ 10 分） 【解析】 1. 解： 曲线 表示椭圆， ，解得 -1 k 1，且k0 故选： D 曲线 表示椭圆，可得 ，解出即可得出 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 高中数学 试卷第 6页，共 9 页 2. 解：方程 表示椭圆的充要分条件是 ，即 m（ -4， -1） （ -1， 2） 由题意可得，所求的 m的范围包含集合（ -4， -1） （ -1，
12、 2）， 故选： B 由条件根据椭圆的标准方程，求得方程 表示椭圆的充要条件所对应的 m的范围，则由题意可得所求的 m的范围包含所求得的 m范围，结合所给的选项，得出结论 本题 主要考查椭圆的标准方程，充分条件、必要条件，要条件的定义，属于基础题 3. 解： 椭圆 + =1，中 a2=2， b2=k， 则 c= ， 2 c=2 =2， 解得 k=1 椭圆 + =1，中 a2=k， b2=2， 则 c= ， 2 c=2 =2， 解得 k=3 综上所述， k 的值是 1 或 3 故选： A 利用椭圆的简单性质直接求解 本题考查椭圆的简单性质，考查对椭圆的标准方程中各字母的几何意义，属于简单题 4.
13、 解：设椭圆方程为 =1（ a b 0）， 由题意可得 c=1， a=2， b= ， 即有椭圆方程为 + =1 故选： B 设椭圆方程为 =1（ a b 0），由题意可得 c=1， a=2，再由 a， b， c的关系，可得 b，进而得到椭圆方程 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用待定系数法，考查椭圆的焦点的运用，属于基础题 5. 解：命题甲是： “|PA|+|PB| 是定值 ” ， 命题乙是： “ 点 P 的轨迹是以 A B 为焦点的椭圆 当一个动点到两个顶点距离之和等于定值时， 再加上这个和大于两个定点之间的距离， 可以得到动点的轨迹是椭圆，没有加上的条件不一定推出， 而点 P 的轨迹是以
14、A B 为焦点的椭圆，一定能够推出 |PA|+|PB|是定值， 甲是乙成立的必要不充分条件 故选 B 6. 解： a 0， b 0，方程 ax2+by2=1 不一定表示椭圆，如 a=b=1； 反之，若方程 ax2+by2=1 表示椭圆，则 a 0， b 0 “ a 0， b 0” 是 “ 方程 ax2+by2=1 表示椭圆 ” 的必要分充分条件 故选： C 高中数学 试卷第 7页，共 9 页 直接利用必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法结合椭圆标准方程得答案 本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查了椭圆的标准方程，是基础题 7. 解： 由 + =10，可得点（ x， y
15、）到 M（ 0， -3）、 N（ 0， 3）的距离之和正好等于 10， 再结合椭圆的定义可得点（ x， y）的轨迹是以 M、 N 为焦点的椭圆，且 2a=10、 c=3， a=5，b=4， 故要求的椭圆的方程为 + =1， 故选： C 有条件利用椭圆的定义、标准方程，以及简单性质，求得椭圆的标准方程 本题主要考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题 8. 解：椭圆 的左焦点为 F（ - ， 0），右焦点为（ ， 0）， P 为椭圆上一点，其横坐标为 ， P 到右焦点的距离为 椭圆的长轴长为 4P 到左焦点的距离 |PF|=4- = 故选 D 确定椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义，
16、即可求得 P 到左焦点的距离 本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查椭圆的定义，属于中档题 9. 解： 点 P 到点（ 4， 0）的距离比它到直线 x+5=0 的距离少 1， 将直线 x+5=0 右移 1 个单位，得直线 x+4=0，即 x=-4， 可得点 P 到直线 x=-4 的距离等于它到点（ 4， 0）的距离 根据抛物线的定义，可得点 P 的轨迹是以点（ 4， 0）为焦点，以直线 x=-4 为准线的抛物线 设抛物线方程为 y2=2px，可得 =4，得 2p=16， 抛物线的标准方程为 y2=16x，即为 P 点的轨迹方程 故选： C 根据题意，点 P 到直线 x=-4 的距离等于它到点（
17、 4， 0）的距离由抛物线的定义与标准方程，不难得到 P 点的轨迹方程 本题给出动点 P 到定直线的距离比到定点的距离大 1，求点 P 的轨迹方程，着重考查了抛物线的定义与标准方程和动点轨迹求法等知识，属于基础题 10. 解：抛物线 y=ax2（ a 0）可化为 ，准线方程为 故选 B 抛物线 y=ax2（ a 0）化为标准方程，即可求出抛物线的准线方程 本 题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，抛物线方程化为标准方程是关键 11. 解：抛物线 y2=4x的准线为 x=-1， 点 P 到直线 x=-3 的距离为 5， 点 p到准线 x=-1 的距离是 5-2=3， 根据抛物线的定义可知，点
18、P 到该抛物线焦点的距离是 3， 故选 A 先根据抛物线的方程求得抛物线的准线方程，根据点 P 到直线 x=-3 的距离求得点到准线的距离，进而利用抛物线的定义可知点到准线的距离与点到焦点的距离相等，从而求高中数学 试卷第 8页，共 9 页 得答案 本题主要考查了抛物线的定义充分利用了抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的 距离相等这一特性 12. 解：抛物线 x= y2，可得： y2=4x，抛物线的焦点坐标（ 1， 0） 依题点 P 到点 A（ 0， 2）的距离与点 P 到 y轴的距离之和的最小值，就是 P到（ 0， 2）与 P 到该抛物线准线的距离的和减去 1 由抛物线的定义，可得则点 P
19、到点 A（ 0， 2）的距离与 P 到该抛物线焦点坐标的距离之和减 1， 可得： -1= 故选： C 先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义转化求解即可 本小题主要考查抛物线的定义解题，考查了抛物线的应用，考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想 13. 解：联立直线 y=kx-2 与抛物线 y2=8x， 消去 y，可得 k2x2-（ 4k+8） x+4=0，（ k0 ）， 判别式（ 4k+8） 2-16k2 0，解得 k -1 设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）， 则 x1+x2= ， 由 AB 中点的横坐标为 2， 即有 =4， 解得 k=2 或 -1（舍去）， 故选： A
20、 联立直线 y=kx-2 与抛物线 y2=8x，消去 y，可得 x的方程，由判别式大于 0，运用韦达定理和中点坐标公式，计算即可求得 k=2 本题考查抛物线的方程的运用，联立直线和抛物线方程，消去未知数，运用 韦达定理和中点坐标公式，注意判别式大于 0，属于中档题 14. 解：利用椭圆定义得 a+c=25=10 b=24=8 由正弦定理得= 故答案为 先利用椭圆的定义求得 a+c，进而由正弦定理把原式转换成边的问题，进而求得答案 本题主要考查了椭圆的定义和正弦定理的应用考查了学生对椭圆的定义的灵活运用 15. 解：将椭圆的方程转化为标准形式为 ， 显然 k-2 10-k，即 k 6， ，解得
21、k=8 故答案为： 8 16. 利用椭圆定义，求出 2a，得出 a，可求得椭圆的标准方程 本题考查了椭 圆方程的求法，是基础题，解题时要注意椭圆的简单性质的合理运用 17. （ 1）由椭圆的离心率为 ，短轴长为 4，列出方程组，能求出椭圆方程 高中数学 试卷第 9页，共 9 页 （ 2）联立 ，得 5x2+16x=0，由此能求出弦长 |AB| 本题考查椭圆方程的求法，考查弦长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用 18. （ 1）设出双曲线的标准方程，利用双曲线渐近线方程为 y= x，且焦距为 4，求出几何量，即可求双曲线的标准方程； （ 2）利用点差法，求出直线的斜率，即
22、可求直线 L 方程 本题考查双曲线的标准方程， 考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题 19. （ 1）抛物线的标准方程是 y2=6x，焦点在 x轴上，开口向右， 2p=6，即可求出抛物线的焦点坐标和准线方程， （ 2）先根据题意给出直线 l 的方程，代入抛物线，求出两交点的横坐标的和，然后利用焦半径公式求解即可 本题考查了直线与抛物线的位置关系中的弦长问题，因为是过焦点的弦长问题，所以利用了焦半径公式属于基础题 20. （ 1）利用直线 l： y=bx+2 与圆 x2+y2=2 相切，求出 b，利用椭圆的离心率求出 a，得到椭圆方程 （ 2）直线 y=kx+2 代入椭圆方
23、程，消去 y可得：（ 1+3k2） x2+12kx+9=0，设 C（ x1， y1）， D（ x2， y2），则利用韦达定理结合 ECED ，求解 k，说明存在实数 使得以 CD 为直径的圆过定点 E 本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查存在性问题的处理方法，设而不求的应用，考查计算能力 21. （ 1）由方程组 ，得 5x2+2mx+m2-1=0，由此利用根的判别式能求出实数m的取值范围 （ 2）设直线 L 和椭圆 C 相交于两点 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），由韦达定理求出 弦长|AB|= ，由此能求出当 m=0 时， |AB|取得最大值，此时直线 L 方程为 y=x 本题考查实数的取值范围的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式的合理运用
