1、 导数应用 题 1. 如图，在半径为 1，圆心角为 2 (0 )2 的扇形 OAB 内作一内切圆 P，再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆 P 外切的小圆 Q （ 1）求圆 Q 的半径 Qr （用 表示）； （ 2）当 变化时，求 Qr 的最大值； （ 3）如果按照本 题的作法，再作下去，猜想第 n 个圆的半径 nr 用 表示的式子（不要证明，只要写出其关系式，设圆 P 是第一个圆） 2. 如图 , 有一块半径为 R的 半圆形空地 ,开发商计划征地建一个矩形游泳池 ABCD和其附属设施 ,附属设施占地形状是等腰 CDE,其中 O 为圆心 , A, B 在圆的直径上， C,D, E 在圆周上
2、. （ 1）设 BOC ,征地面积记为 ()f ,求 ()f 的表达式 ; （ 2）当 为何值时 ,征地面积最大 ? 解： （ 1）连接 OE ,可得 ,OE R cos , sinO B R BC R； 0,2 . 4 分 OED CBA 22 s in c o s c o sO B C Ef S R 梯 形 . 8 分 （ 2） 2 ( 2 s in 1 )(s in 1 )fR . 10 分 令 0f 01sin （舍）或者 21sin 2,0, 12 分 当 (0, )6, 0f , ( , )62, 0f , 14 分 3时 , ()f 取得最大 . 15 分 答 :3时 ,征地面积
3、最大 . 16 分 3. 交管部门遵循公交优先的原则 ,在某路段开设了一条仅供车身长为 10m 的公共汽车行驶的专用车道 . 据交管部门收集的大量数据分析发现 ,该车道上行驶着的前 、 后两辆公共汽车间的安全距离 d(m)与车速 v(km/h)之间满足二次函数关系 d=f(v). 现已知车速为15 km/h 时 ,安全距离为 8 m;车速 为 45 km/h 时 ,安全距离为 38 m;出现堵车状况时 ,两车安全距离为 2 m. (1)试确定 d 关于 v 的函数关系 d=f(v); (2)车速 v(km/h)为多少时 ,单位时段内通过这条车道的公共汽车数量最多 ,最多是多少辆 ? 解 (1)
4、由题设可令所求函数关系 f (v)=av2+bv+c. 由题意得 v=0 时 ,d=2; v=15 时 ,d=8; v=45 时 ,d=38 则 c 2，a15 2 15b c 8，a45 2 45b c 38.解得 :a=175,b=15 ,c=2 所以 d 关于 v 的函数关系为 d=175v2+15v+2(v0) (2)两车间的距离为 d (m),则一辆车占去的道路长为 d+10 (m) . 设 1 小时内通过该车道的公共汽车数量为 y 辆 , 则 y= 1000vv275v5 12由 y = 1000( v275 12)(v275v5 12)2=0,解得 v=30 当 00;当 v30
5、 时 ,y 15%, 当 2.5x 时 , ()gx 有最大值 0.1665=16.65%22%, 能采用函数模型 y= 31 ( 4 16)100 xx作为 生态环境改造投资方案 (2)由 (1)知 21 1 6( ) ( 4 )100yg x xxx , 依题意 ,当 , x ab ,a 、 *bN 时 ,15% ( ) 22%gx恒成立 ; 下面求 2 1615 4 22x x 的正整数解 . 令 2 16( ) 4h x x x , 由 (1)知 *xN , ()hx 在 ( ,2) 上是减函数 ,在 (2, ) 上是增函数 , 又由 (1)知 ,在 0x 时 , min( ) (2)
6、g x g ,且 (2)g =16%15%,22%, 2x合条件 ,经枚举 (1)g , (3)g 15%,22%, 而 (4)g 15%,22%,可得 1x 或 2x 或 3x , 由 ()gx 单调性 知 1, 2ab或 1, 3ab或 2, 3ab均合题意 6. 有一隧道既是交通拥挤地段，又是事故多发地段为了保证安全，交通部门规定，隧 道内的车距（）正比与车速（）的平方与自身长（）的积，且车距不得小于半个车身长而当车速 为（）时，车距为 .个车身长在交通繁忙时，应规定怎样的车速，可以使隧道的车流量最大？ 【解析】（ 1）依题意，设 2d kvl ，其中 k 是待定系数， 因为当 60v
7、时， 1.44dl 所以 21.44 60l k l ， 0.0004k ， 所以 20.0004 .d v l 因为 dl ，所以 20.0004v l l ， 50.v 所以最低车速为 50 / .kmh (2)因为两车间距为 d ，则两辆车头间的距离为 .ld 一小时内通过汽车的数量为21 0 0 0 1 0 0 010 .0 0 0 4 0 .0 0 0 4vQl v l lvv ， 因为 110 .0 0 0 4 2 0 .0 0 0 4 0 .0 4 ,vvvv 所以 25000.Q l 所以当 1 0.0004vv 即 50 /v km h 时，单位时段内通过的汽车数量最多 .
8、7. 据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为 k ( 0)k 现已知相距 18km 的 A， B 两家化工厂（污染源）的污染强度分别为 ,ab，它们连线上任意一点 C 处的污染指数 y 等于两化工厂对该处的污染指数之和设 AC x （ km ） （ 1）试将 y 表示为 x 的 函数； （ 2）若 1a ，且 6x 时， y 取得最小值，试求 b 的值 解 ： （ 1）设点 C受 A 污染源污染程度为2kax，点 C受 B 污染源污染程度为2(18 )kbx，其中 k为比例系数，且 0k 4 分 从而点 C 处受污染程度22(18 )ka
9、 kby xx 6 分 （ 2）因为 1a ，所以，22(18 )k kby xx ， 8 分 3322(18 )byk xx ，令 0y ，得3181x b ， 12 分 又此时 6x ，解得 8b ，经验证符合题意 所以，污染源 B 的污染强度 b 的值为 8 14 分 8. 因发生意外交通事故 ,一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中 .为了治污 ,根据环保部门的建议 ,现决定 在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂 .已知每投放(1 4aa,且 )aR个单位的药剂 ,它在水中释放的浓度 y (克 /升 )随着时间 x (天 )变化的函数关系式近似为 ()y a f x ,其中16
10、1 (0 4)8()15 ( 4 10)2 xxfxxx. 若多次投放 ,则某一时刻水中的药剂浓度为 每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和 .根据经验 ,当水中药剂的浓度不低于 4(克 /升 )时 ,它才能起到有效治污的作用 . （）若一次投放 4 个单位的药剂 ,则有效治污时间可达几天 ? （）若第一次投放 2 个单位的药剂 ,6天后再投放 a 个单位的药剂 ,要使接下来的 4 天中能够持续有效治污 ,试求 a 的最小值 (精确到 0.1,参考数据 : 2 取 1.4). 18解：（）因为 4a ,所以 64 4 (0 4 )82 0 2 (4 1 0 )xy xxx 1 分 则当 04
11、x时 ,由 64 448 x ,解得 0x ,所以此时 04x 3 分 当 4 10x 时 ,由 20 2 4x,解得 8x ,所以此时 48x 5分 综合 ,得 08x,若一次投放 4 个单位的制剂 ,则有效治污时间可达 8 天 6 分 （）当 6 10x 时 , 1 1 62 (5 ) ( 1 )2 8 ( 6 )y x a x 9 分 = 1610 14 axax = 16(14 ) 414 axax ,因为 14 4,8x ,而 14a, 所以 4 4,8a ,故当且仅当 14 4xa 时 ,y 有最小值为 84aa 12 分 令 8 4 4aa ,解得 24 16 2 4a ,所以
12、a 的最小值为 24 16 2 1.6 14 分 【 2012 高考冲刺样本】 12 试题精粹 2 17、（宿迁市高三 12 月联考）（本题满分 14 分）某森林出现火灾，火势正以每分钟 2m100 的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后 5 分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火 2m50 ，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟 125 元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械 和装备等费用平均每人 100 元，而烧毁一平方米森林损失费为 60 元 （ 1）设派 x 名消防队员前去救火，用 t 分钟将火扑灭，试建立 t 与 x 的函数关系式； （
13、2）问应该派多少名消防队员前去救火，才能使总损失最少？ （总损失灭火材料、劳务津贴等费用车辆、器械和装备费用森林损失费） 17、解：（ 1） 21010050 1005 xxt 5 分 （ 2）总损失为 y，则 y灭火劳务津贴车辆、器械和装备费森林损失费 y 125tx 100x 60（ 500 100t） 9 分 26 0 0 0 03 0 0 0 01 0 02101 2 5 xxxx 10 分 2600030000)22(1002 221250 xxxx 26 2 5 0 0)2(1 0 03 1 4 5 0 xx 11 分 3 6 4 5 06 2 5 0 01 0 023 1 4 5
14、 0 12 分 当且仅当 262500)2(100 xx ，即 x 27 时， y 有最小值 36450 13 分 答：略 14 分 17（无锡市 1 月期末调研）（本小题满分 14 分） 已知 A、 B 两地相距 2R ，以 AB 为直径作一个半圆，在半圆上取一点 C，连接 AC、 BC，在三角形 ABC 内种草坪（如图）， M、 N 分别为弧 AC、弧 BC 的中点，在三角形 AMC、三角形BNC 上种花，其余是空地设花坛的面积为 1S ，草坪的面积为 2S ，取 ABC 用 及 R 表示 1S 和 2S ； 求12SS的最小值 17（ 1）因为 ABC ，则 2 s in , 2 c o
15、 sA C R B C R， 则 222 1 2 s i n c o s s i n 22S A C B C R R 3 分 设 AB 的中点为 O，连 MO、 NO，则 ,M O AC NO BC 易得三角形 AMC 的面积为 2 sin (1 cos )R ， 5 分 三角形 BNC 的面积为 2 cos (1 sin )R ， 7 分 1S 2 sin (1 cos )R + 2 sin (1 cos )R 2( s i n c o s 2 s i n c o s )R 8 分 （ 2）2122 ( sin c o s 2 sin c o s ) sin c o s 12 sin c o
16、 s 2 sin c o sS RSR ， 10 分 令 sin co s (1, 2 t ，则 22 sin cos 1t 1 2211111S tStt t 12 分 12SS的最小值为 21 14 分 18（徐州市 12 月高三调研） (本小题满分 16 分 ) 某广告公司为 2010 年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示 . 其上部分是以 AB 为直径的半圆，点 O 为圆心，下部分是以 AB 为斜边的等腰直角三角形， ,DEDF是两根支杆，其中 2AB 米， 2 ( 0 )4E O A F O B x x . 现在弧 EF 、线段 DE 与线段 DF 上装彩灯，在弧 A
17、E 、弧 BF 、线段 AD 与线段 BD 上装节能灯 . 若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为 2k ，节能灯的比例系数为 ( 0)kk ，假定该霓虹灯整体的“心悦 效果” y 是所有灯“心悦效果”的和 . （）试将 y 表示为 x 的函数； （）试确定当 x 取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳？ 18解：（）因为 2EOA FOB x ,所以弧 EF、 AE、 BF 的长分别为 4 ,2 ,2xxx 3 分 连接 OD，则由 OD=OE=OF=1， 2 2F O D E O D x ，所以 1 1 2 c o s ( 2 ) 2 2 s i n 2
18、 2 ( s i n c o s )2D E D F x x x x 6 分 所以 2 ( 2 2 ( s i n c o s ) 4 ) ( 2 2 4 )y k x x x k x 2 ( 2 2 ( s in c o s ) 2 2 )k x x x 9 分 （）因为由 4 ( 2 (c o s s in ) 1) 0y k x x 11 分 解得 1cos( )42x ，即 12x 13 分 又当 (0, )12x 时， 0y ，所以此时 y 在 (0, )12 上单调递增； 当 ( , )12 4x 时， 0y ，所以此时 y 在 ( , )12 4上单调递减 . 故当 12x 时，
19、该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳 16 分 18（盐城市第一次调研） (本小题满分 14 分 ) 因发生意外交通事故 ,一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中 .为了治污 ,根据环保部门的建议 ,现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂 .已知每投放 (1 4aa,且D O A B E F 第 18题 2x )aR个单位的药剂 ,它在水中释放的浓度 y (克 /升 )随着时间 x (天 )变化的函数关系式近似为 ()y a f x ,其中16 1 (0 4)8()15 ( 4 10)2 xxfxxx. 若多次投放 ,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和 .根
20、据经验 , 当水中药剂的浓度不低于 4(克 /升 )时 ,它才能起到有效治污的作用 . （）若一次投放 4 个单位的药剂 ,则有效治污时间可达几天 ? （）若第一次投放 2 个单位的药剂 ,6 天后再投放 a 个单位的药剂 ,要使接下来的 4 天中能够持续有效治污 ,试求 a 的最小值 (精确到 0.1,参考数据 : 2 取 1.4). 18解：（）因为 4a ,所以64 4 (0 4 )82 0 2 (4 1 0 )xy xxx 1 分 则当 04x时 ,由 64 448 x ,解得 0x ,所以此时 04x 3 分 当 4 10x 时 ,由 20 2 4x,解得 8x ,所以此时 48x
21、5 分 综合 ,得 08x ,若一次投放 4 个单位的制剂 ,则有效治污时间可达 8 天 6 分 （）当 6 10x 时 ,1 1 62 (5 ) ( 1 )2 8 ( 6 )y x a x 9 分 = 1610 14 axax = 16(14 ) 414 axax ,因为 14 4,8x ,而 14a, 所以 4 4,8a ,故当且仅当 14 4xa 时 ,y 有最小值为 84aa 12 分 令 8 4 4aa ,解得 24 16 2 4a ,所以 a 的最小值为 24 16 2 1.6 14 分 17. （苏北四市 2011 届高三第二次调研）（本小题满分 14 分） 据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为 k ( 0)k 现已知相距 18km 的 A， B 两家化工厂（污染源）的污染强度分别为 ,ab，它们连线上任意一点 C 处的污染指数 y 等于两化工厂对该处的污染指数之和设AC x （ km ） （ 1）试将 y 表示为 x 的函数；
