2017年全国高中数学联赛模拟题2.DOC

1、2017 年全国高中数学联赛模拟题 2 一试 考试时间上午 8： 009： 20，共 80 分钟，满分 120 分 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分 .把答案填在横线上 . 1.方程2log sin 2xx 在区间 (0, 2 上的实根个数为 _. 2.设数列 118 ( )3 n的前 n 项和为 nS ，则满足不等式 1| 6| 125nS 的最小整数 n 是_. 3.已知 n （ nN ， 2n ）是常数，且 1x ， 2x ， ， nx 是区间 0,2内任意实数，则函数 1 2 1 2 2 3 1( , , , ) s i n c o s s i n c o

2、s s i n c o snnf x x x x x x x x x 的 最 大 值 等 于_. 4.圆周上给定 10 个点，每两点连一条弦，如果没有三条弦交于圆内一点，那么，这些弦在圆内一共有 _个交点 . 5.一只虫子沿三角形铁圈爬行，在每个顶点，它都等机会地爬向另外两个顶点之一，则它在n 次爬行后恰好回到起始点的概率为 _. 6.设 O 是平面上一个定点， A ， B ， C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足| | | |A C A BO P O AA C A B ，其中 0, ) ，则点 P 的轨迹为 _. 7.对给定的整数 m ，符号 ()m 表示 1,2,3 中使 ()mm

3、能被 3 整除的唯一值，那么2 0 1 0 2 0 1 0 2 0 1 0( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) _. 8.分别以直角三角形 的两条直角边 a ， b 和斜边 c 为轴将直角三角形旋转一周，所得旋转体的体积依次为 aV ， bV ， cV ，则 22abVV 与 2(2 )cV 的 大小关系是 _. 二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 1.（本小题满分 16 分）是否存在实数 a ，使直线 1y ax和双曲线 2231xy相交于两点 A 、 B ，且以 AB 为直径的圆恰好过坐标系的原点？ 2.（本小题满分 20

4、 分）求证：不存在这样的函数 : 1, 2,3fZ ，满足对任意的整数 x ， y ，若 | | 2,3,5xy ，则 ( ) ( )f x f y . 3. （本小题满分 20 分）设非负实数 a ， b ， c 满足 1abc ，求证：19 ( 1 9 )4a b c a b b c c a a b c 2017 年全国高中数学联赛模拟题 2 （ 加试） 9： 4012： 10 共 150 分钟 满分 180 分 平面几何、代数、数论、组合 1、 2、 设函数 f（ x）的定义域为 R，当 x 0 时， f（ x） 1，且对任意的实数 x， y R，有 f（ x+y） =f（ x） f（

5、y） （）求 f（ 0），判断并证明 函数 f（ x）的单调性； （）数列 an满足 a1=f（ 0），且 )()2( 1)( *1 Nnafaf nn 求 an通项公式。 当 a 1 时，不等式 )1l o g( l o g35121. . .11 1221 xxaaa aannn对不小于 2 的正整数恒成立，求 x 的取值范围。 3、 4、 2017 年全国高中数学联赛模拟题 2 一试 参考答案 一、填空题 1.设2( ) lo g sin 2f x x x ，则 1( ) cosln 2f x xx ， 0 2x ， 0 cos 1x，又 0 ln 12， ( ) 0fx ，即在区间 (

6、0, 2 上单调递增，故方程2log sin 2xx 在区间 (0, 2 上有且只有一个实根 . 2. 易 知 数 列 118 ( )3 n是 首 项 是 8 ，公比是 13 的 等 比 数 列 ， 18 1 ( ) 13 6 6 ( )1 31 ( )3nnnS ，于是 1| 6 | 125nS 1121 3 2 5 03 1 2 5 nn ， 53 243 250， 63 729 250，故最小整数 n 是 7. 3. 222abab ， 1 2 1 2 2 3 1( , , , ) s i n c o s s i n c o s s i n c o snnf x x x x x x x

7、x x 2 2 2 222 2 3 112 s i n c o s s i n c o ss i n c o s2 2 2nx x x xxx 2 2 2 2 2 21 1 2 2( s i n c o s ) ( s i n c o s ) ( s i n c o s )2 nnx x x x x x 2n ， 故所求函数的最大值等于 2n . 4. 圆周上任意四点构成一个四边形，四边形的两条对角线的交点必在圆内，所以四边形的个数与每两条弦的交点数相等，故有 410 1 0 9 8 7 2101 2 3 4C 个交点 . 5. 2 2( 1)32nnn, 设第 k 次到达点 A、点 B、点

8、C 分别为事件 Ak、 Bk、 Ck, k=1,2,3,.,n, 从点B 到点 A 为事件 D, 从点 C 到点 A 为事件 E, 则 An=Bn-1*D+Cn-1*E, 则（顺便说明一下： A是出发点） 6. | | | |A C A BO P O AA C A B ， ()| | | |A B A CO P O A A B A C ， 即 ()| | | |A B A CAP A B A C，又|ABAB，|ACAC为单位向量，由向量加法的平行四边形法则，知点 P 的轨迹为 BAC 的平分线 . 7.由二项式定理知， 2 0 1 0 1 0 0 5 1 0 0 52 4 ( 3 1 ) 3

9、 1p ，即 20102 被 3 除余 1， 2010(2 1) 3 ， 2010(2 2) 1 2010(2 3) 2 ， 故 2 0 1 0 2 0 1 0 2 0 1 0( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 6 . 8. 222 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )3 3 9 9abV V b a a b a b a b a b c ， 2 2 4 42 2 2 4 2244( 2 ) ( 2 ( ) ) ( )3 9 9c a b a bV h a b ccc ， 作商，有 22 4 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2( ) ( 2 )

10、1( 2 ) 4 4 4abcVV c a b a bV a b a b a b ，故 2 2 2(2 )a b cV V V . 二、解答题 9.解：设交点 A 、 B 的坐标为 11( , )Ax y 、 22( , )Bx y ，由22131y axxy 消去 y ，得 22(3 ) 2 2 0a x a x ， 由韦达定理，得12 223 axx a， 12 223xx a ， 以 AB 为直径的圆恰好过坐标系的原点， OA OB ， 1 2 1 2 0x x y y， 即 1 2 1 2( 1 ) ( 1 ) 0x x a x a x ，整理，得 2 1 2 1 2( 1 ) ( )

11、 1 0a x x a x x 将代入，并化简得 221 03 aa ， 1a ， 经检验， 1a 确实满足题目条件，故 存在实数 a 满足题目条件 . 10.证明：假设 存在 这样的函数 f ，则对任意的整数 n ，设 ()f n a ， ( 5)f n b，其中 , 1,2,3ab ，由条件知 ab . 由于 | ( 5 ) ( 2 ) | 3nn ， | ( 2) | 2nn ， ( 2)f n a且 ( 2)f n b，即( 2)fn 是 1,2,3 除去 a ， b 后剩下的那个数，不妨设 ( 2)f n c 又 由于 | ( 5) ( 3) | 2nn ， | ( 3) | 3nn

12、 ， ( 3) ( 2)f n f n . 以 1n 代替 n ，得 ( 4) ( 3) ( 2)f n f n f n ，但这与 | ( 4) ( 2) | 2nn 矛盾！ 因此假设不成立，即不存在这样的函数 f . 11.证明：先证左边的不等式 . 1abc ， 2 2 2 2 2 2( ) ( ) 3a b b c c a a b b c c a a b c a b a b b c b c a c a c a b c 6 3 9a b c a b c a b c 或者 1 1 1()a b b c c a a b c abc ,只证 1 1 9abc 用排序或者 1 的代换易证。 再 证

13、右边的不等式 . 不妨设 abc ，注意到条件 1abc ，得 31 4 ( ) 9 ( ) 4 ( ) ( ) 9a b b c c a a b c a b c a b c a b b c c a a b c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a b a c b b a b c c c a c b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0a b a a c b b c c c a c b ， 所以 1 (1 9 )4a b b c c a a b c ， 综上， 19 (1 9 )4a b c a b b c c a a b c . 二试 1、 2、解：（） 0),()()

14、(, xyfxfyxfRyx 时， f（ x） 1 令 x= 1， y=0 则 f（ 1） =f（ 1） f（ 0） f（ 1） 1 f（ 0） =1 若 x 0，则 f（ x x） =f（ 0） =f（ x） f（ x）故 )1,0()(1)( xfxf故 x R f（ x） 0 任取 x1 x2 )()()()( 1211212 xxfxfxxxfxf )()(1)(00 121212 xfxfxxfxx 故 f（ x）在 R 上减函数 （） )2()2( 1)(,1)0( 11 nnn afafaffa 由 f（ x）单调性知， an+1=an+2 故 an等差数列 12 nan 223212211. . .11,1. . .11 nnnnnnnn aaabaaab 则12 134 114 1111 122121 nnnaaabb nnnnn,0)12)(34)(14( 1 nbnnn 是递增数列 当 n 2 时，3512715111)( 432m i n aabb n)1lo g( lo g35123512 1 xx aa 即 xxxx aaaa lo glo g11lo glo g 11 而 a 1， x 1 故 x 的取值范围（ 1， +）