1、 -1- 卫生管理运筹学习题与参考答案 习题一 1某医学院动物房饲养某种动物供教学与研究使用，设每头该种动物每天至少需 700g 蛋白质， 30g 矿物质， 100mg 维生素。现有 5 种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量及单价如下表所示。要求确定既满足动物生长的营养需要，又使费用最省的饲料选用方案？只建模不求解。 各种饲料营养成分含量及单价表 饲料 蛋白质（ g） 矿物质（ g） 维生素（ mg） 价格（元 /kg） 1 3 1 0.5 0.2 2 2 0.5 1 0.7 3 1 0.2 0.2 0.4 4 6 2 2 0.3 5 18 0.5 0.8 0.8 2某食品厂用原料 A、
2、 B、 C 加工成 3 种不同类型的食品甲、乙、丙。已知各种类型食品中A、 B、 C 的含量，原料成本，各种原料每月的限制用量以及 3 种食品的单位加工费和售价（如下表所示）。问该厂每月生产这 3 种类型食品各多少公斤，可得到利润最大？只建模不求解。 食品、原料、费用分析表 原 料 食 品 原料成本 （元 /kg） 每月限制用量 （ kg） 甲 乙 丙 A 60% 15% 2.00 2000 B 无限制 无限制 无限制 1.50 2500 C 20% 60% 50% 1.00 1200 加工费（元 /kg） 0.50 0.40 0.30 售价（元 /kg） 3.40 2.85 2.25 3将下
3、列线性规划问题化为标准形式 -2- （ 1） Max 321 42 xxxZ 1 2 31 2 31 2 31 2 32 5 62 3 2 1 5.3 2 7, , 0x x xx x xstx x xx x x （ 2） Min 321 785 xxxZ 无 约 束 条 件321321321,0,015245106.xxxxxxxxxts 4用图解法求解下列线性规划问题，并指出哪个问题是具有唯一最优解、多重最优解、无界解或无可行解。 （ 1） Max 21 32 xxZ 12121226. . 5 3 15,0xxs t x xxx（ 2） Max 21 84 xxZ 0,81022.212
4、121xxxxxxts （ 3） Max 21 xxZ 0,4212642468.2122121xxxxxxxts （ 4） Max 21 23 xxZ 1212121. . 2 2 4,0xxs t x xxx（ 5） Max 21 93 xxZ -3- 1212212123 224. . 62 5 0,0xxxxs t xxxxx （ 6） Max 21 43 xxZ 12121212282 12.2 16,0xxxxstxxxx 5已知线性规划问题： Max 21 3xxZ 0,4105.543215242131xxxxxxxxxxxxts 下表所列的解均满足第 1 至第 3 个约束条件
5、，请指出表中那些解是可行解，那些是基本解，哪些是基本可行解。 表 满足第 1 至第 3 个约束条件的解 序号 1x 2x 3x 4x 5x A 2 4 3 0 0 B 10 0 -5 0 4 C 3 0 2 7 4 D 1 4.5 4 0 -0.5 E 0 2 5 6 2 F 0 4 5 2 0 6考虑下面线性规划问题： Max 21 95 xxZ -4- 121212120. 5 810.0. 5 6,0xxxxstxxxx （ 1）写出该线性规划问题的标准型； （ 2）在这个线性规划问题的基 本解中，将至少有多少个变量的取值为零？为什么？ （ 3）在这个线性规划问题中，共有多少种基本解？
6、（ 4）图解法求解此线性规划问题的可行域（观察可行域各顶点所对应的基本可行解），并求出最优解和最优值。 7用单纯形法求解下列线性规划问题 （ 1） Max 21 53 xxZ 12121242 12.3 2 18,0xxstxxxx （ 2） Max 214 xxZ 12121237. . 4 2 9,0xxs t x xxx8下表中给出线性规划问题计算过程中某次迭 代的单纯形表，目标函数为： Max 321 228 xxxZ ，约束条件均为 ，表中 4 5 6,x x x 为松弛变量，表中目标函数值14Z 。 某次迭代的单纯形表 1x 2x 3x 4x 5x 6x b 3x 0 1 1 3
7、0 -14/3 a 5x 0 5/2 0 6 d 2 5 1x 1 0 0 0 e f 0 jC 0 -1 g b c 0 -5- （ 1）求出 a-g 的值； （ 2）表中给出的解是否为最优解。 9用大 M 法求解下列线性规划问题，并指出问题的解属于哪一类？ （ 1） Max 21 123 xxZ 1212122 2 11. . 8,0xxs t x xxx （ 2） Min 21 34 xxZ 12112122 0 .5 1 024.4 4 3 2,0xxxstxxxx （ 3） Max 21 32 xxZ 12122128 6 243 6 12.5,0xxxxstxxx （ 4） Max
8、 3212 xxxZ 1 2 3121 2 31 2 34 2 2 42 4 2 0.4 8 2 1 6, , 0x x xxxstx x xx x x 习题二 1写出下列线性规划问题的对偶问题： （ 1） Max 321 210 xxxZ -6- 无约束 无约束 s.t.0,204102321321321xxxxxxxxx（ 2） Min 4321 4323 xxxxZ s.t. 32414321432432100247325433432xxxxxxxxxxxxxxx，（ 3） Min 321 765 xxxZ s.t. 3213213213210052010651535xxxxxxxxxx
9、xx，2. 已知线性规划问题用单纯形法计算时得到的初始单纯形表与最终单纯形表如下表，请将表中空白处数字填上。 表 初始与最终单纯形表 Bc jc 2 -1 1 0 0 0 b xj XB 1x 2x 3x 4x 5x 6x 0 4x 3 1 1 1 0 0 60 0 5x 1 -1 2 0 1 0 10 0 6x 1 1 -1 0 0 1 20 jC 2 -1 1 0 0 0 Z =0 -7- Bc jc 2 -1 1 0 0 0 b xj XB 1x 2x 3x 4x 5x 6x 0 4x 1 -1 -2 2 1x 0 1/2 1/2 -1 2x 0 -1/2 1/2 jC Z*= 3. 有
10、 LP 问题 Min 54321 32532 xxxxxW s.t.51,03324325432154321jxxxxxxxxxxxj已知其对偶问题的最优解为 1y =4/5, 2y =3/5，最优值为 Z =5，试用对偶理论求原问题的解。 4. 对偶单纯形法求解下列线性规划问题，并指出其对偶问题的最优解。 （ 1） Min 321 432 xxxZ s.t.0,43232321321321xxxxxxxxx （ 2） Min 321 23 xxxZ s.t. 0,3463213231321xxxxxxxxxx 5. 根据下列线性规划问题及其最终单纯形表： -8- Max 321 1226 x
11、xxZ s.t. 1 2 31 2 31 2 34 3 2 42 6 3 3 0, , 0x x xx x xx x x 表 最终单纯形表 Bc jc 6 2 12 0 0 b xj XB 1x 2x 3x 4x 5x 12 3x 4/3 1/3 1 1/3 0 8 0 5x -2 5 0 -1 1 6 jC -10 -2 0 -4 0 Z*= （ 1）写出线性规划原问题的最优解、最优值、最优基 B 及其逆 B-1。 （ 2）写出原问题的对偶问题，并从上表中直接求出对偶问题的最优解。 （ 3）试求出最优解不变时 c3 的变化范围。 （ 4）试求出最优基本变量不变时 b2 的变化范围。 （ 5）
12、在原线性规划的约束条件上，增加下面的约束条件 1 2 32 2 12x x x ，其最优解是否变化？如变化，试求出最优解？ 6. 某制药公司生产 A、 B、 C 三种药品，若设 x、 y、 z 分别为 A、 B、 C 三种药品的产量，为制定最优生产计划建立如下所示模型： Max 4 2 3Z x y z s.t.2 2 4 1003 6 1003 2 120, , 0x y zx y zx y zx y z 引入松弛变量 s1、 s2、 s3，利用单纯形法求解可得最终单纯形表如下： 原材料 1 约束 原材料 2 约束 原材料 3 约束 -9- 表 最终单纯形表 BC jc 4 2 3 0 0
13、0 b xj XB x y z 1s 2s 3s 2 y 0 1 0 3/4 -1/2 0 25 4 x 1 0 2 -1/4 1/2 0 25 0 3s 0 0 -4 0 -1 1 20 jC 0 0 -5 -1/2 -1 0 Z*=150 请分别就以下情况进行分析（各问题条件相互独立）： （ 1）由于市场需求变化，药品 B 的单位利润可能改变，试求出保持最优生产计划不需改变的药品 B 单位利润的变化范围；若药品 B 单位利润由 2 变为 5，求相应最优生产计划。 （ 2）由于原材料市场变化，原材料 1 的供应从 100 单位降低至 50 个单位，此时是否会影响最优生产计划？若影响，求其最优
14、生产计划。 （ 3）由于生产技术改进，每生产 1 个单位的药品 C 需消耗原材料 1、原材料 2 和原材料 3 的量由原来的 4、 6、 2 个单位依次变为 2、 2、 1 个单位，求相应的最优生产计划。 习题三 1已知 极小化运输问题的产销平衡及单位运价表如表 1 至表 3 所示，用最小元素法求各问题的初始调运方案并用表上作业法求最优解，同时用伏格尔法求各问题的近似最优解。 表 1 运输表（ 1） 销 地 产 地 B1 B2 B3 B4 产 量 A1 10 2 20 11 15 A2 12 7 9 20 25 A3 2 14 16 18 5 销 量 5 15 15 10 -10- 表 2 运
15、输表（ 2） 销 地 产 地 B1 B2 B3 B4 产 量 A1 9 8 12 13 18 A2 10 10 12 14 24 A3 8 9 11 12 6 A4 10 10 11 12 12 销 量 6 14 35 5 表 3 运输表（ 3） 销 地 产 地 B1 B2 B3 B4 产 量 A1 8 4 1 2 7 A2 6 9 4 7 25 A3 5 3 4 3 26 销 量 10 10 20 15 2某药品公司在 3 个不同的地区分别设有药厂，生产同一种药品，其产量分别为 300 箱、400 箱和 500 箱。该药厂需要在 4 个地区供应该种药品，这 4 个地区该种药品的需求量均 为300 箱。 3 个药厂到 4 个销地的单位运价如下表所示： 表 药厂到销地的单位运价 销 地 产 地 甲 乙 丙 丁 药厂 1 21 17 23 25 药厂 2 10 15 30 19 药厂 3 23 21 20 0 a.应如何安排运输方案，使得总运费最小？
