1、第五章 实际流体动力学基础5 0 实际流体动力学51 实际流体的运动微分方程 纳维 -斯托克斯方程52 实际流体元流的伯努利方程53 实际流体总流的伯努利方程第五章 实际流体动力学基础55 总流的动量方程5-0 实际流体动力学50 实际流体动力学1、实际流体动力学（ fluid dynamics）的力学性质： 实际流体具有粘性。在作用面上的表面力不仅有压应力即动压强，还有切应力。2、 作用在一平面上 M点的表面应力表面应力 pn 在 x、 y、 z三个轴向都有三个分量：与平面成法向的压应力 pzz，即动压强；与平面成切向的切应力 zx，和 zy。3、 通过任一点在三个互相垂直的作用面上的表面应
2、力。共有九个分量三个是压应力 px、 py、 pz。六个是切 应 力 xy、 xz、 yx、 yz、 zx、 zy。 压应力和切应力的第一个下标，表示作用面的法线方向，即表示应力的作用面与那一个轴相垂直；另两个下标，表示应力的作用方向，即表示应力作用方向与那一个轴相平行。5-1 实际流体的运动微分方程 纳维 -斯托克斯方程5-1 实际流体的运动微分方程 纳维 -斯托克斯方程5-1-1 以应力表示的实际流体的运动微分方程5-1 实际流体的运动微分方程 纳维 -斯托克斯方程5-1 实际流体的运动微分方程 纳维 -斯托克斯方程5-1-1 以应力表示的实际流体的运动微分方程设 M点的坐标为 (x,y,
3、z)，速度、压应力、切应力、单位质量力分别为 ux , uy , uz ,px ,py ,pz ,xy ,xz ,yz ,zx ,zy ,zx , fx , fy , fz 。压力为： 质量力为： x 轴方向受力分析： 惯性力为： 左右面、上下面的切力为： dzdxdyyz yxpyyxzxypxxzx zypzzxyxz pxxyzyxpyyzy zxpzzxyz5-1 实际流体的运动微分方程 纳维 -斯托克斯方程化简移项后得 和上式即为以 应力形式表示的实际流体的运动微分方程 。 同理 ： 根据牛顿第二定律(5-1) 对于不可压缩均质流体来讲，密度 为常数，单位质量力的分量 fx、 fy、
4、 fz通常是已知的，所以上式中有表面应力的九个分量和速度的三个分量，共十二个未知量。式 (5-1)只有三个方程式，加上连续性微分方程也只有四个方程式，所以无法求解，需找出其他的关系式。这些其他的关系式需从分析流体质点的应力状态中获得。dzdxdyyz yxpyyxzxypxxzx zypzzxyxz pxxyzyxpyyzy zxpzzxyz5-1 实际流体的运动微分方程 纳维 -斯托克斯方程1、切应力的特性和大小5-1-2 流体质点的应力状态（ 1）切应力的互等定律-(5-2)在九个表面应力分量中，实际上只有六个是独立的，即为px ,py ,pz ,xy ,yz ,zx（ 2）切应力和它的应
5、变 (变形 )之间的关系 广义牛顿内摩擦定律-(5-3) 5-1 实际流体的运动微分方程 纳维 -斯托克斯方程2、 压应力的特性和大小（ 1） 同一点上三个正交方向的压应力的平均值 p 是单值，它与方位无关。在实际问题中，某点压应力的各向差异并不很大，平均值 p作为该点的压应力是允许的。（ 2） 各个方向的压应力可认为等于这个平均值加上一个附加压应力：-(5-4) 负号是与流体微团的拉伸和压缩相适应，即周围流体对它作用的是拉力和压力。-(5-5) 则各个方向的压应力5-1 实际流体的运动微分方程 纳维 -斯托克斯方程3、 实际流体中任一点的应力状态 讨论（ 1） 理想流体， =0,px=py=
6、pz=p 。（ 2） 实际 流体的均匀直 线 流中 ux=a(不 为 零的常数 )， uy=O， uz=0和固体 边 壁 处 ux = uy = uz= 0。（ 3）在实际流体中任一点的应力状态就可由一个压应力 (即 动压 强 ) p 和三个切 应 力xy,yz,zx 来表示。 px=py=pz=p 。5-1 实际流体的运动微分方程 纳维 -斯托克斯方程1、纳维 -斯托克斯方程5-1-3 实际流体的运动微分方程 纳维 -斯托克斯方程N-S方程中有四个未知数 p、 ux、 uy、 uz，因 N-S方程 组 和 连续 性方程共有四个方程式，所以从理 论 上 讲 是可求解的，但 实际 上由于数学上的困 难 ， N-S方程尚不能求出普遍解。 上式即为 不可压缩均质实际流体的运动微分方程 ，称 纳维 -斯托克斯 (Navier-stokes)方程 ，简称 N-S方程。 N-S方程是不可压缩均质流体的普遍方程。-(5-6) 拉普拉斯算符：考虑：不可压缩流体的连续性微分方程，切应力与主应力的关系表达式，得：5-1 实际流体的运动微分方程 纳维 -斯托克斯方程式中： 分别为单位质量力在 坐标轴上的分量。2、 在柱坐 标 系中， 纳维 -斯托克斯方程-(5-7)
