1、主要内容 :一等价向量组二向量组的极大线性无关组三向量组的秩与矩阵秩的关系第 3.4节 向量组的极大线性无关组一、等价向量组若同时向量组 B 也可以由向量组 A线性表示，就称 向量组 A与向量组 B等价。即表示，那么就称向量组 A可以由向量组 B线性表示。定义 1： 如果向量组 中的每一个向量 都 可以由向量组 线性等价向量组的基本性质 :定理： 设 与 是两个向量组，如果 :(2)则向量组 必线性相关。推论 1： 如果向量组 可以由向量组线性表示，并且 线性无关，那么推论 2： 两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。(1) 向量组 线性表示；可以由向量组二、向量组的极大线性无关组
2、定义 2:注 :（ 1） 只含零向量的向量组没有极大无关组 (零向量线性相关 )。简称 极大无关组。对向量组 A， 如果在 A中有 r个向量满足：线性无关。（ 1）那么称部分组 为向量组 的一个 极大线性无关组。（ 2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。（ 3）一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性表示。（ 2）向量组 A中每一个向量均可有 线性表示。例如： 在向量组 中， 首先 线性无关， 又 线性相关，所以 组成的部分组是极大无关组。还可以验证 也是一个极大无关组。注： 一个向量组的 极大无关组 一般 不是唯一的。极大无关组的一个基本性质：任意一个极大线性无关组都与向量组本身
3、等价。又，向量组的极大无关组不唯一，而每一个极大无关组都与向量组等价，所以：向量组的任意两个极大无关组都是等价的。由 等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量，可得定理 ： 一个向量组的任意两个极大无关组等价，且所含向量的个数相同。三、向量组的秩与矩阵秩的关系定义 3： 向量组的极大无关组所含向量的个数，称为这个 向量组的秩 , 记作例如： 向量组 的秩为 2。1. 向量组的秩（ 4） 等价的向量组必有相同的秩。关于向量组的秩的结论：（ 1）零向量组的秩为 0。（ 2）向量组 线性无关向量组 线性相关（ 3）如果向量组 可以由向量组线性表示，则注： 两个有相同的秩的向量组不一定等价。两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个 线性表示，则这两个向量组等价。2. 矩阵的秩把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些 行向量 组成，把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些 列向量 组成。定义 4： 矩阵的行向量的秩，就称为 矩阵的行秩 ;矩阵的列向量的秩，就称为 矩阵的列秩 。例如 ： 矩阵 的行向量组是可以证明， 是 A的 行向量组 的一个 极大无关组 ，因为，由即可知 即 线性无关 ；而 为零 向量，包含零向量的向量组线性相关，线性相关。所以向量组 的秩为 3， 所以矩阵 A的 行秩 为 3。
